基于誤差修正的GM(1,1)導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)算法

牛樹(shù)華，于 燁，黃 默，周智勇

(1.海軍裝備部裝備裝備審價(jià)中心，北京 100040；2.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所，北京 100029； 3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)之中，星載原子鐘的鐘差是定位、導(dǎo)航和授時(shí)(PNT)的主要誤差源之一。目前，國(guó)際IGS(International GNSS Service)數(shù)據(jù)分析中心發(fā)布的事后精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品的精度小于0.1 ns，可以實(shí)現(xiàn)厘米級(jí)的精密單點(diǎn)定位(PPP)的需求，但是該產(chǎn)品需要在13天之后才能獲取，不能滿(mǎn)足用戶(hù)對(duì)實(shí)時(shí)性的需求。因此，獲得高精度、實(shí)時(shí)性好的衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品對(duì)于實(shí)現(xiàn)PPP顯得極為重要[1-3]。所以，如何去提高衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的精度和準(zhǔn)確度一直都是GNSS中一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)進(jìn)行了多角度和多方位的研究，提出了多種衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的方法。主要有：二次多項(xiàng)式模型(QPM)、灰色模型(GM (1,1))、卡爾曼濾波模型(KF)、自回歸模型(AR(p))、自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)模型、泛函網(wǎng)絡(luò)模型和支持向量機(jī)(SVM)模型等[4-15]。這些預(yù)報(bào)方法分別適用于不同情況下導(dǎo)航衛(wèi)星星載原子鐘鐘差的短期、中長(zhǎng)期和長(zhǎng)期的預(yù)報(bào)，但也均有各自的適用范圍和局限性。例如：灰色模型適合處理數(shù)據(jù)量少、樣本小、信息不全的不確定性問(wèn)題，計(jì)算簡(jiǎn)便，抗干擾能力強(qiáng)[16]。但是，研究者們?cè)趹?yīng)用灰色模型預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差時(shí)，沒(méi)有考慮到灰色模型在建立模型預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差時(shí)的模型殘差，致使灰色模型的預(yù)報(bào)精度不高。

本文針對(duì)灰色模型在預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差時(shí)精度的不足，提出了應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型去修正灰色模型建模殘差的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)算法。該算法首先采用灰色模型對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行建模，在建模的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生模型殘差，然后對(duì)模型殘差應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行建模，之后再進(jìn)行預(yù)報(bào)。最后將灰色模型預(yù)報(bào)的結(jié)果與模型殘差預(yù)報(bào)的結(jié)果對(duì)應(yīng)相加即得到衛(wèi)星鐘差的最終預(yù)報(bào)值。同時(shí)，將該誤差修正后的灰色模型應(yīng)用到了衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)之中，從預(yù)報(bào)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該修正方法的有效性和優(yōu)越性。

1 GM(1，1)預(yù)報(bào)模型

設(shè)有1組衛(wèi)星鐘差序列：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，對(duì)這組衛(wèi)星鐘差序列進(jìn)行一次累加操作處理[17]，生成1組新的數(shù)據(jù)序列X(1)：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}

(1)

對(duì)生成的這組新的數(shù)據(jù)序列X(1)建立如下的一階微分方程模型：

(2)

式中：系數(shù)a稱(chēng)為灰色模型的發(fā)展系數(shù)；系數(shù)u稱(chēng)為灰色模型的灰作用量。

對(duì)式(2)進(jìn)行離散化操作處理，可得到如下的矩陣方程：

(3)

根據(jù)最小二乘法可得到上式矩陣方程的最小二乘解為：

(4)

將式(4)代入式(2)得：

(5)

求解時(shí)間響應(yīng)函數(shù)式(5)的解為：

k=1,2,…,n-1

(6)

由于數(shù)據(jù)序列X(1)是衛(wèi)星鐘差序列X(0)的累加序列，所以衛(wèi)星鐘差序列X(0)的預(yù)報(bào)模型為：

(7)

式中：k=1，2，…，n-1。

更一般的形式為：

(8)

式中：j為參與建模的衛(wèi)星鐘差的個(gè)數(shù)，j=1，2，…，n；p為預(yù)報(bào)的點(diǎn)數(shù)，p=1，2，…，m。

2 誤差修正的GM(1,1)預(yù)報(bào)模型的構(gòu)建

結(jié)合式(3)和式(4)可知，灰色模型在建模的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生如下的模型殘差：

(9)

為了減小灰色模型的建模誤差，這里使用如下的方法對(duì)灰色模型的建模誤差進(jìn)行修正。對(duì)灰色模型的模型殘差e={e1,e2,…,en}建立如下的模型，然后進(jìn)行預(yù)報(bào)：

e=rt2+s

(10)

由最小二乘法可得如下的矩陣方程：

(11)

由式(10)和式(11)，即可得到灰色模型的模型殘差的預(yù)報(bào)模型為：

(12)

結(jié)合式(8)和式(12)，即可得到誤差修正后的灰色模型的最終預(yù)報(bào)模型為：

(13)

由以上預(yù)報(bào)模型即可對(duì)未來(lái)任意時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)。

3 試驗(yàn)與分析

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源

為了驗(yàn)證本文算法的有效性和可行性，從國(guó)際IGS服務(wù)器(ftp://cddis.gsfc.nasa.gov)上下載了2018年5月6日00:00至2018年5月7日12:00共36 h的IGS事后精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)，其采樣間隔為15 min，即1 h記錄4個(gè)歷元的衛(wèi)星鐘差?？紤]到目前在軌的GPS衛(wèi)星有31顆，且有29顆衛(wèi)星搭載的是銣原子鐘，所以隨機(jī)選取了3顆搭載銣原子鐘衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)。它們分別是PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，截止2019年5月10日，它們的相關(guān)信息如表1所示。

表1 選擇的衛(wèi)星相關(guān)信息

3.2 預(yù)報(bào)方案與結(jié)果分析

本試驗(yàn)采用12 h的衛(wèi)星鐘差，即：2018年5月6日00∶00至5月6日12∶00，共計(jì)49個(gè)歷元分別去建立二次多項(xiàng)式模型(QPM)、灰色模型(GM(1,1))和誤差修正的灰色模型(修正GM(1,1))。然后用建立好的模型去預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差，即預(yù)報(bào)歷元的步長(zhǎng)為24、47、72和96個(gè)，將接下來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h的實(shí)際觀測(cè)衛(wèi)星鐘差與各模型預(yù)報(bào)的衛(wèi)星鐘差相減就得到了預(yù)報(bào)誤差。因?yàn)閲?guó)際IGS服務(wù)器上發(fā)布的為事后衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，其自身誤差小于0.1 ns，所以，可以作為“真值”，使用均方根誤差(RMS)(其計(jì)算公式見(jiàn)式(14))和最大誤差與最小誤差之差的絕對(duì)值，即極差Range(其計(jì)算公式見(jiàn)式(15))作為評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量，去檢驗(yàn)QPM、GM(1,1)和修正GM(1,1)模型所預(yù)報(bào)結(jié)果的好壞程度。其中RMS表征了預(yù)報(bào)結(jié)果的精度，Range表征了算法的穩(wěn)定性[18]。

(14)

(15)

圖1～圖3和表2分別給出了QPM、GM(1,1)和修正GM(1,1)模型預(yù)報(bào)誤差的變化情況和預(yù)報(bào)誤差的統(tǒng)計(jì)特性。

結(jié)合圖1～圖3和分析表2可知：

圖1 PRN02號(hào)衛(wèi)星6 h、12 h、18 h和24 h的預(yù)報(bào)誤差

圖2 PRN22號(hào)衛(wèi)星6 h、12 h、18 h和24 h的預(yù)報(bào)誤差

圖3 PRN32號(hào)衛(wèi)星6 h、12 h、18 h和24 h的預(yù)報(bào)誤差

(1) 在建立衛(wèi)星鐘差模型中，應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型時(shí)，其預(yù)報(bào)誤差呈快速上升趨勢(shì)。對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小均方根誤差分別為0.38 ns、1.06 ns、2.21 ns和3.29 ns。應(yīng)用灰色模型時(shí)，其預(yù)報(bào)誤差也呈快速上升趨勢(shì)。對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小均方根誤差分別為0.28 ns、0.83 ns、1.78 ns和2.63 ns。而應(yīng)用誤差修正的灰色模型時(shí)，其預(yù)報(bào)誤差呈緩慢上升趨勢(shì)。對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小均方根誤差分別為0.20 ns、0.37 ns、0.56 ns和1.05 ns。從以上分析可以看出，誤差修正的灰色模型算法的預(yù)報(bào)精度比二次多項(xiàng)式模型和灰色模型的預(yù)報(bào)精度都要好。

(2) 在建立衛(wèi)星鐘差模型中，應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型時(shí)，對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小極差分別為0.88 ns、2.42 ns、4.55 ns和6.59 ns。應(yīng)用灰色模型時(shí)，對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小極差分別為0.77 ns、1.60 ns、3.41 ns和4.50 ns。而應(yīng)用誤差修正的灰色模型時(shí)，對(duì)于PRN02、PRN22和PRN32號(hào)衛(wèi)星，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h衛(wèi)星鐘差時(shí)，預(yù)報(bào)誤差的最小極差分別為0.34 ns、1.07 ns、1.37 ns和2.92 ns。從以上分析可以看出，誤差修正的灰色模型算法相比于二次多項(xiàng)式模型和灰色模型有更好的算法穩(wěn)定性。

表2 衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果 (單位：ns)

(3)應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型時(shí)，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差時(shí)的平均均方根誤差分別為1.39 ns、2.61 ns、4.49 ns和6.61 ns，平均極差分別為2.11 ns、4.42 ns、8.50 ns和12.63 ns；應(yīng)用灰色模型時(shí)，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差時(shí)的平均均方根誤差分別為0.73 ns、1.25 ns、2.06 ns和2.88 ns，平均極差分別為1.32 ns、2.41 ns、3.99 ns和5.37 ns；而應(yīng)用誤差修正的灰色模型時(shí)，預(yù)報(bào)未來(lái)6 h、12 h、18 h和24 h的衛(wèi)星鐘差時(shí)的平均均方根誤差分別為0.23 ns、0.54 ns、1.12 ns和1.88 ns，平均極差分別為0.69 ns、1.57 ns、2.66 ns和4.40 ns，它相比于二次多項(xiàng)式模型的平均均方根誤差分別提高了83.50%、79.30%、75.10%和71.60%，平均極差分別提高了67.30%、64.50%、68.70%和65.20%；相比于灰色模型的平均均方根誤差分別提高了68.50%、56.80%、45.60%和34.70%，平均極差分別提高了47.70%、26.60%、33.30%和18.10%。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)灰色模型在預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差時(shí)精度的不足，本文提出了應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型去修正灰色模型在建模過(guò)程中產(chǎn)生的模型殘差的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)算法。該算法首先采用灰色模型對(duì)衛(wèi)星鐘差進(jìn)行建模，在建模的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生模型殘差，然后對(duì)模型殘差應(yīng)用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行建模，之后再進(jìn)行預(yù)報(bào)。最后將灰色模型預(yù)報(bào)的結(jié)果與模型殘差預(yù)報(bào)的結(jié)果對(duì)應(yīng)相加，即得到了衛(wèi)星鐘差的最終預(yù)報(bào)值。這種模型殘差修正的方法把2種模型的預(yù)報(bào)優(yōu)勢(shì)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而提高了灰色模型的預(yù)報(bào)性能，進(jìn)一步提高了衛(wèi)星鐘差的預(yù)報(bào)精度。經(jīng)預(yù)報(bào)試驗(yàn)分析，結(jié)果也表明了該修正方法的有效性和可行性，并且具有較好的算法穩(wěn)定性，為衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)研究在實(shí)際的應(yīng)用中提供了一種新的思路。