架起學(xué)生“數(shù)”與“形”的立交橋

趙長(zhǎng)遠(yuǎn)

摘要：學(xué)生在解決一些圖形問(wèn)題時(shí)常常感覺(jué)有困難，而教師在平時(shí)的教學(xué)中比較重視學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)，卻忽視了學(xué)生形象思維的發(fā)展。如何促進(jìn)學(xué)生的思維與能力協(xié)同發(fā)展？最好的方法就是為學(xué)生搭起一座橋梁——“數(shù)形結(jié)合”。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)做個(gè)有心人，充分利用“一圖抵百語(yǔ)”的優(yōu)勢(shì)，向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)的神奇殿堂。

關(guān)鍵詞：抽象思維;形象思維;數(shù)形結(jié)合

邏輯思維的始祖亞里士多德說(shuō)過(guò)：“心靈沒(méi)有意象就永遠(yuǎn)不能思考?！睌?shù)學(xué)知識(shí)本身具有很強(qiáng)的抽象性。數(shù)學(xué)是什么？18世紀(jì)，恩格斯在考察了整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史后指出：“純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系這一非?，F(xiàn)實(shí)的材料為對(duì)象的?！币虼?，教師在教學(xué)中必須突出數(shù)形結(jié)合思想這一數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。

聯(lián)系平時(shí)的課堂，以及對(duì)學(xué)生進(jìn)行的調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)目前有相當(dāng)一部分學(xué)生在解決一些圖形問(wèn)題時(shí)常常感覺(jué)有困難，而我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，比較重視學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)，卻忽視了學(xué)生形象思維的發(fā)展。那么，如何促進(jìn)學(xué)生的思維與能力協(xié)同發(fā)展？

一、數(shù)形結(jié)合——培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，要善于利用“數(shù)形結(jié)合”的方法，啟發(fā)學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

在學(xué)生用通分的方法算出第①小題后，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：還有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法？如果學(xué)生一時(shí)想不出，我們可以這樣巧妙地引入：一塊菜地，它的? ? 用來(lái)種青菜，它的? ? ?用來(lái)種蘿卜， 用來(lái)種土豆，它的? ? ? 用來(lái)種西紅柿，這四種蔬菜的面積一共占這塊地的幾分之幾？

教師引導(dǎo)學(xué)生想到借助畫(huà)圖來(lái)理解，配合圖形進(jìn)行分圖巧算，充分利用“數(shù)形結(jié)合”，將學(xué)生的思維引向深入。可以先畫(huà)一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的一半就是它的? ? ，剩下長(zhǎng)方形的一半就是它的? ? ?，再把剩下的正方形平均分成兩份，一份就是大正方形的? ? ?……

這一過(guò)程絕不是簡(jiǎn)單的模仿和記憶，而是在將數(shù)字的計(jì)算與圖形的分割巧妙結(jié)合之后，將抽象的純數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體形象的、便于學(xué)生理解的表象，從而將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生思維的靈活性。

二、數(shù)形結(jié)合——培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維的深刻性是小學(xué)生思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。教師在平時(shí)的教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)問(wèn)題與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，由數(shù)想形，以形思數(shù)，把抽象的問(wèn)題直觀化，具體化，引領(lǐng)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的目的。

例：小軍收集了一些畫(huà)片，他拿出畫(huà)片的一半還多3張送給小明，自己還剩25張。小軍原來(lái)有多少?gòu)埉?huà)片？

學(xué)生通過(guò)看圖，一目了然地看出題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，實(shí)際上“拿出畫(huà)片的一半還多3張”也就是：先給一半，再送3張。這時(shí)還剩25張，學(xué)生很自然地理解了解決問(wèn)題的方法：先用（25+3），得到總張數(shù)的一半，再乘2，得到小軍原來(lái)有多少?gòu)埉?huà)片。

當(dāng)然，有的老師通過(guò)實(shí)物演示，也達(dá)到了很好的效果：讓學(xué)生親自到前面拿出畫(huà)片的一半，再抽出3張，這時(shí)告訴學(xué)生還剩25張，學(xué)生也很容易倒過(guò)來(lái)進(jìn)行推想。

其實(shí)不管是畫(huà)圖演示，還是通過(guò)實(shí)物演示，都是從數(shù)學(xué)的感性材料出發(fā)，通過(guò)邏輯思維，揭示數(shù)與形的本質(zhì)特征，透過(guò)表面揭示問(wèn)題本質(zhì)。

三、數(shù)形結(jié)合——培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性

在面對(duì)一些新問(wèn)題時(shí)，能采用相應(yīng)的對(duì)策，思維不循常規(guī)，并且能采用獨(dú)特、新穎的解題方法，這就是思維的獨(dú)創(chuàng)性。在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題中的數(shù)量關(guān)系、問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行探索，尋求規(guī)律，把數(shù)與具體圖形或?qū)嵨锝Y(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生借助具體形象進(jìn)行抽象思維，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

例：在一個(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶里，把一段半徑是5厘米的圓鋼全部放入水中，水面就上升9厘米;把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圓鋼的體積。

【分析與思考】仔細(xì)讀題，題目的意思還真是有點(diǎn)難理解。為了幫助學(xué)生理解題意，我一共畫(huà)了三幅圖：首先，在一個(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶中，原來(lái)有一些水（圖1）。接著，將一個(gè)底面半徑為5厘米的圓鋼全部放入水中，水面上升了9厘米，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：圓鋼的體積就相當(dāng)于上升的水的體積。最后，又出示了第三幅圖，將圓鋼拉出8厘米，水面下降了4厘米，說(shuō)明拉出的一部分圓鋼體積就等于下降的水的體積。引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察這三幅圖。并思考：可以從何處入手呢？

一些學(xué)生通過(guò)觀察，動(dòng)腦筋想出了解決問(wèn)題的辦法：先求出拉出水面的圓鋼的體積，也就是下降了4厘米水的體積，用5×5×3.14×8=628（立方厘米）;再求出圓柱形儲(chǔ)水桶的底面積，用628÷4=157（平方厘米）;最后求上升了9厘米水的體積，也就是整個(gè)圓鋼的體積，用157×9=1413（立方厘米）。

我表?yè)P(yáng)了這些學(xué)生善于觀察、善于思考，同時(shí)激發(fā)學(xué)生思考：解決這一問(wèn)題，你還有更簡(jiǎn)便的方法嗎？經(jīng)過(guò)思考，幾位學(xué)生激動(dòng)地舉起了小手。A同學(xué)發(fā)現(xiàn)了這樣的方法：圓鋼拉出水面8厘米，水面就下降了4厘米，8厘米正好是4厘米的2倍;而將圓鋼全部放入水中時(shí)，水面上升了9厘米，說(shuō)明圓鋼的高度是9厘米的2倍，也就是18厘米！那求圓鋼的體積就很簡(jiǎn)單了：5×5×3.14×18=1413（立方厘米）。真不錯(cuò)！

愛(ài)動(dòng)腦筋的B同學(xué)想到：我們可以將圓鋼看作兩段，水面以上的為一段，水面以下的為一段。結(jié)合圖2，這兩部分都沉入水中時(shí)，水面上升9厘米;一部分圓鋼到了水上，水面就下降了4厘米，那水下的那部分圓鋼，就相當(dāng)于（9-4）=5厘米水的體積。根據(jù)4：5的關(guān)系，用8÷4×5=10（厘米），求出圓鋼在水面以下的高度，再用（8+10）×5×5×3.14=1413（立方厘米），就可以求出圓鋼的體積。

也許受剛才同學(xué)的啟發(fā)，C同學(xué)又想到一種方法：求出水面以上的圓鋼體積，因?yàn)?厘米占9厘米的? ? ，說(shuō)明露在水面以上的圓鋼體積也是占整個(gè)圓鋼體積的? ? ，可以用5×5×3.14×8÷? ?=1413（立方厘米）。

課上，不斷閃爍的學(xué)生創(chuàng)新思維的火花，來(lái)自于教師的巧妙引導(dǎo)與激發(fā)，更來(lái)自于教師為學(xué)生構(gòu)建的橋梁——數(shù)形結(jié)合。

四、數(shù)形結(jié)合——培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力

發(fā)展學(xué)生的空間觀念包括發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、空間思維能力及操作實(shí)踐能力。當(dāng)前學(xué)生的空間觀念有待加強(qiáng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，最有效的途徑是“數(shù)形結(jié)合”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖，逐步培養(yǎng)其空間想象力。

例如，六年級(jí)上冊(cè)長(zhǎng)方體和正方體單元，有這樣一道思考題：

一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)4厘米，在它的表面涂上紅色，每個(gè)面等距離地切三刀，平均分成64塊小正方體。問(wèn)：

（1）三個(gè)面涂紅色的小正方體有多少塊？

（2）兩個(gè)面涂紅色的小正方體有多少塊？

（3）一個(gè)面涂紅色的小正方體有多少塊？

學(xué)生通過(guò)觀察、比較、討論、分析，得出一致結(jié)論：（1）三個(gè)面涂紅色的小正方體在頂點(diǎn)處，共8塊;（2）兩個(gè)面涂紅色的小正方體在每條棱的中間處，共12×2=24塊;（3）一個(gè)面涂紅色的小正方體在每個(gè)面的中間處，共6×4=24塊。學(xué)生已經(jīng)能夠初步理解并獨(dú)立解決這道思考題。

不過(guò)，為了進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念和想象能力，我又設(shè)計(jì)了一道相似的拓展練習(xí)題：在長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體木塊表面涂上紅色，然后切成若干個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體。

（1）三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少塊？

（2）表面不涂色的小正方體有多少塊？

學(xué)生讀完題目，都感覺(jué)到這個(gè)問(wèn)題比較難，有些學(xué)生已經(jīng)自覺(jué)地在紙上涂涂畫(huà)畫(huà)，我立刻將這些學(xué)生的行為加以表?yè)P(yáng)，放大。解決這樣的問(wèn)題，直接在頭腦里思考是比較困難的，而把題中的圖形畫(huà)下來(lái)，就可以化抽象為具體，再加以觀察，分析，就可以化難為易，逐步解決問(wèn)題。

學(xué)生在畫(huà)出立體圖后，通過(guò)仔細(xì)觀察后得出：

（1）三面涂色的小正方體還是8塊（在8個(gè)頂點(diǎn)處）;兩面涂色的小正方體在每條棱的中間，就可以用：（3+2+1）×4=24塊;一面涂色的小正方體在每個(gè)面中間，可以用（6+3+2）×2=22塊。

（2）表面不涂色的小正方體在哪里呢？有學(xué)生想到了在中間，但想不清楚是幾塊，怎么辦呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)激烈的小組討論、全班交流后，得出了不同的方法：

①用總塊數(shù)減去三面、兩面、一面涂色小正方體的塊數(shù)，就可以得到中間沒(méi)有涂色的小正方體的塊數(shù)。先用5×4×3=60塊，再用60-8-24-22=6塊。

②將長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各減去2，就得到里面的長(zhǎng)、寬、高，再相乘，得到中間沒(méi)有涂色小正方體的塊數(shù)。用（5-2）×（4-2）×（3-2）=6塊。

這樣的問(wèn)題，也許有些難度，但卻很好地激發(fā)了學(xué)生的思維。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考，發(fā)展了空間想象力;更重要的是在這一學(xué)習(xí)思考的過(guò)程中，他們想到采用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決問(wèn)題，那真是一種境界的提升。

早在1637年，著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾就將相互對(duì)立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，研究產(chǎn)生了“解析幾何”。如今，數(shù)形結(jié)合不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是小學(xué)生解決問(wèn)題常用的方法之一，同時(shí)又是一種數(shù)學(xué)的思想。在教學(xué)過(guò)程中，我們教師應(yīng)做個(gè)有心人，充分利用“一圖抵百語(yǔ)”的優(yōu)勢(shì)，向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想，引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)的神奇殿堂。

（責(zé)任編輯：吳延甲）