應(yīng)用二元一次方程組

冷曉冰

教材分析：本節(jié)課是北師版八年級(jí)上冊(cè)第五章第三節(jié)，是應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的第一節(jié)課。根據(jù)北師大版本教材的編寫(xiě)意圖，教材當(dāng)中，連續(xù)三節(jié)課的內(nèi)容都是二元一次方程組的應(yīng)用，按照難易程度區(qū)分。本節(jié)課是應(yīng)用二元一次方程組的第一節(jié)課，要求學(xué)生能夠分析簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并通過(guò)建立方程組解決問(wèn)題。

教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)與技能：能分析簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系；能根據(jù)得到的數(shù)量關(guān)系建立方程（組），解決問(wèn)題；體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想和應(yīng)用意識(shí)；2.過(guò)程與方法：本節(jié)課以游戲引入，讓學(xué)生分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系；以《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》等著作中的題目貫穿于教學(xué)中，用不斷傳授給學(xué)生“武功秘籍”的方法鼓勵(lì)學(xué)生，使不同層次的學(xué)生都能夠得到最大的提升；通過(guò)“稀有殘卷”的研討將整個(gè)課程的思維高度推向高潮；3.情感態(tài)度及價(jià)值觀：本節(jié)課引用的所有題目均出自中國(guó)古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，并在學(xué)案（秘籍）中清晰注明，希望學(xué)生能夠通過(guò)這樣的方式了解中國(guó)的數(shù)學(xué)文化，以中國(guó)的數(shù)學(xué)文化為驕傲。并且，鼓勵(lì)學(xué)生，中國(guó)數(shù)學(xué)的崛起不僅要依靠先輩的智慧結(jié)晶，此時(shí)此刻的不懈努力更為重要。

教學(xué)過(guò)程：

一、引入新聞熱點(diǎn)

以新聞熱點(diǎn)作為引入，激起學(xué)生興趣。以感受數(shù)學(xué)世界的武俠情懷為主線(xiàn)，從學(xué)生興趣出發(fā)開(kāi)展游戲。

游戲目標(biāo)：通過(guò)游戲，使學(xué)生能夠體會(huì)數(shù)量關(guān)系，會(huì)列簡(jiǎn)單的二元一次方程。再通過(guò)小組合作，學(xué)會(huì)列二元一次方程組。

設(shè)計(jì)意圖：活潑輕松的情景引入讓孩子更加迅速地進(jìn)入了愉快的課堂氛圍中，體現(xiàn)出綠色課堂學(xué)科生活化、生活學(xué)科化的理念。

【游戲情景一】（武俠劇當(dāng)中閉關(guān)修煉的情景）男孩修煉時(shí)需要雙腳站立，女孩修煉時(shí)需四腳著地，打開(kāi)密室需要20只腳同時(shí)踩到機(jī)關(guān)，不能多，也不能少。

教師：請(qǐng)問(wèn)，需要幾位男同學(xué)、幾位女同學(xué)共同開(kāi)啟密室之門(mén)？

學(xué)生們隨意列舉，列舉的過(guò)程中

教師追問(wèn)：你是怎樣確定一共有20只腳的？

連續(xù)找三名學(xué)生作答。

教師：老師發(fā)現(xiàn)，每一位回答問(wèn)題的同學(xué)都列舉出了一種可以開(kāi)啟練功密室的方案，一共有多少種開(kāi)啟密室的方案呢？這些方案都是什么？請(qǐng)小組討論后報(bào)告。

教師提問(wèn)：你們小組是怎樣得到這樣的結(jié)論？

預(yù)設(shè)回答：數(shù)數(shù)得到的。

教師補(bǔ)充提問(wèn)：在數(shù)數(shù)的過(guò)程當(dāng)中，你能發(fā)現(xiàn)男生人數(shù)、女生人數(shù)與20之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生：男生人數(shù)乘以2加上女生人數(shù)乘以4等于20。

此處板書(shū)：男生人數(shù)×2+女生人數(shù)×4=20。

設(shè)計(jì)意圖：得出表格后，如果情況合適，教師可以提一句：我們列舉發(fā)現(xiàn)，隨著男生人數(shù)的增加，女生人數(shù)就要減少。

【游戲情景二】進(jìn)入密室后，我們發(fā)現(xiàn)這門(mén)武功只能7個(gè)人同時(shí)修煉，這時(shí)，請(qǐng)問(wèn)方案中還有哪些是可行的？

學(xué)生：一共去4名男生、3名女生。教師：只剩這一種組合方案了嗎？學(xué)生：是。教師：為什么？學(xué)生：因?yàn)槟猩藬?shù)、女生人數(shù)要滿(mǎn)足：男生人數(shù)×2+女生人數(shù)×4=20。

此處板書(shū)：此外，還要滿(mǎn)足： 男生人數(shù)+女生人數(shù)=7。

設(shè)計(jì)意圖：此處讓學(xué)生自主感受并表達(dá)。由于本節(jié)課是應(yīng)用二元一次方程組的第一節(jié)課，可以在此處適當(dāng)補(bǔ)充解釋本題與普通二元一次方程的差別，例如為什么本題的二元一次方程不是無(wú)數(shù)組解等等。

此處板書(shū)，規(guī)范步驟。

教師引導(dǎo)：只規(guī)定男生人數(shù)與女生人數(shù)一個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)有多個(gè)組合方案滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系，但用兩個(gè)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行約束時(shí)，滿(mǎn)足條件的組合方案就只有一組。你想到了什么？

二、深化新知

情景引導(dǎo)：

教師：可以看出大家閉關(guān)修煉十分認(rèn)真，接下來(lái)看看大家能否順利出關(guān)，探索更深層次的知識(shí)。

出關(guān)檢驗(yàn)：

教師：《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代一部較為普及的算書(shū)，有一道和閉關(guān)修煉的題目極為相近的問(wèn)題。題目為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？如果學(xué)生理解困難，教師可問(wèn)：本題關(guān)鍵性條件是什么？（本題意在規(guī)范解題步驟。）

設(shè)計(jì)意圖：簡(jiǎn)單分析后，由學(xué)生在練本上獨(dú)立完成過(guò)程中，可觀察學(xué)生，找典型的例子，讓學(xué)生到黑板上演示，比如步驟規(guī)范、完全正確的學(xué)生；應(yīng)用一元一次方程解題的學(xué)生；用脫式計(jì)算解題的學(xué)生。然后討論哪種方法更好，進(jìn)而得到結(jié)論：沒(méi)有最好的方法，只有針對(duì)這個(gè)問(wèn)題最適合的方法。

此處總結(jié)，板書(shū)題目。

銜接語(yǔ)：恭喜孩子們順利出關(guān)，接下來(lái)，我們就可以修煉武功秘籍了。

說(shuō)明：完成每一本秘籍，出關(guān)檢測(cè)后，就可以學(xué)習(xí)更高的層次的秘籍，并且為每個(gè)層次的孩子都準(zhǔn)備相應(yīng)的閉關(guān)攻略。

初級(jí)武功閉關(guān)攻略：冷老師邀請(qǐng)小雞、小兔到家中做游戲，若將全部小雞平均分成三隊(duì)，則每隊(duì)小雞比小兔多五只，若將全部小雞平均分成四隊(duì)，則每隊(duì)小雞比小兔多一只，請(qǐng)問(wèn)，冷老師分別邀請(qǐng)了多少只小雞和小兔到家中做游戲？

處理方法：通過(guò)簡(jiǎn)單的問(wèn)題設(shè)置，讓學(xué)生得到重要的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)ppt互動(dòng)、研討，從而解決問(wèn)題：（1）本題如何設(shè)置未知數(shù)？______________________。（2）將小雞平均分成3隊(duì)，每隊(duì)小雞只數(shù)為_(kāi)____。根據(jù)每隊(duì)小雞比小兔多5只，可列方程：__________。（3）將小雞平均分成4隊(duì)，每隊(duì)小雞只數(shù)為_(kāi)____。根據(jù)每隊(duì)小雞比小兔多1只，可列方程：__________；

設(shè)計(jì)意圖：此處設(shè)計(jì)意圖是為了給孩子們鋪設(shè)臺(tái)階，教給孩子自主學(xué)習(xí)的方法，學(xué)會(huì)用“漁”解“魚(yú)”。

答：冷老師邀請(qǐng)了48只小雞、11只小兔。

初級(jí)武功檢測(cè)題：我國(guó)古算題以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多五尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，繩長(zhǎng)井深各幾何？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)比較兩道題的微小差異，讓學(xué)生對(duì)這種學(xué)習(xí)方法產(chǎn)生了興趣，使其在后續(xù)內(nèi)容當(dāng)中喜歡上這種能夠挖掘自身潛力、全身心投入思考、自主解決問(wèn)題的過(guò)程。

處理方法：跟孩子直接分析這道題與上一題的關(guān)系，得到結(jié)論：題目完全相同，進(jìn)而直接展示答案。

銜接語(yǔ)：說(shuō)明這一環(huán)節(jié)的規(guī)則，完成秘籍當(dāng)中的第一頁(yè)高級(jí)武功出關(guān)檢測(cè)，再到第三頁(yè)的答案當(dāng)中訂正，如果無(wú)誤，即可沖擊“絕世秘籍”。如果遇到困難，請(qǐng)到第二頁(yè)當(dāng)中參考高級(jí)武功閉關(guān)攻略，“絕世秘籍”的修煉方法與高級(jí)武功相同。

三、高效練習(xí)

高級(jí)武功檢測(cè)題：我國(guó)古算題大意為：5頭牛、2只羊共價(jià)值10兩“金”，2頭牛、5只羊共價(jià)值8兩金，每頭牛、每只羊各價(jià)值多少金？

高級(jí)武功攻略篇：冷老師邀請(qǐng)一部分小雞、小兔到家里做客，如果邀請(qǐng)五只小兔、兩只小雞，需要為它們準(zhǔn)備10個(gè)蘿卜作為午餐，如果邀請(qǐng)兩只小兔、五只小雞，需要為它們準(zhǔn)備8個(gè)蘿卜作為午餐，問(wèn)：午餐時(shí)，每只小兔和小雞各需要多少蘿卜作為午餐？

完整攻略：（1）設(shè)午餐時(shí)，小兔吃x個(gè)蘿卜，__________。（2）五只小兔吃蘿卜__________個(gè)，兩只小雞吃蘿卜__________個(gè)，五只小兔、兩只小雞共吃了10個(gè)蘿卜，可列方程為：__________。（3）兩只小兔吃蘿卜__________個(gè)，五只小雞吃蘿卜__________個(gè)，兩只小兔、五只小雞共吃了8個(gè)蘿卜，可列方程為：__________。

絕世秘籍檢測(cè)題：《算法統(tǒng)宗》中記載了一個(gè)問(wèn)題，大意是：100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，大和尚1人分3個(gè)饅頭，小和尚3人分1個(gè)饅頭，問(wèn)：大小和尚各有多少人？

設(shè)計(jì)意圖：基于對(duì)生命的尊重，所以教師做了這兩種類(lèi)型的攻略設(shè)計(jì)，期望每一個(gè)孩子都能根據(jù)自己的實(shí)際情況找到自己真正需要的梯子，爬到成功的高處?；竟ヂ灾饕?wù)于尋找等量關(guān)系有困難的學(xué)生，完整攻略主要服務(wù)于對(duì)方程有畏難情緒、無(wú)從下手的學(xué)生。

絕世秘籍攻略篇：冷老師為即將來(lái)家里做客的100只小雞、小兔準(zhǔn)備了100個(gè)蘿卜，已知每只小兔子吃3個(gè)蘿卜，3只小雞吃1個(gè)蘿卜，冷老師分別邀請(qǐng)了多少只小雞和小兔來(lái)家里做客呢？

基本攻略：（1）小雞和小兔的總數(shù)是__________只。（2）如何表示小兔吃掉的蘿卜總數(shù)？__________。（3）怎樣表示小雞吃掉的蘿卜總數(shù)？__________。（4）小雞和小兔吃掉的蘿卜總數(shù)是__________個(gè)。

完整攻略：設(shè)小雞有x只，小兔有y只。（1）小雞、小兔總數(shù)量為100只，可列方程為：__________。（2）小兔吃掉的蘿卜總數(shù)為：__________。（3）小雞吃掉的蘿卜總數(shù)為：__________。（4）小雞和小兔吃掉的蘿卜總數(shù)為100個(gè)，可列方程為：__________。（5）將兩個(gè)關(guān)于x和y的方程聯(lián)立方程組為：__________。

四、拓展提升

情景引導(dǎo)：

教師：以《紅樓夢(mèng)》為例，說(shuō)明殘缺的美引人無(wú)數(shù)遐想，今天，我們也在武功秘籍中兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)找到一副《稀有殘卷》，在這里跟大家分享。

稀有殘卷：

根據(jù)《九章算術(shù)》大意改編：有幾個(gè)人一起去買(mǎi)一件物品，每人出8元，多3元；_________殘卷丟失部分__________，問(wèn)有多少人？該物品價(jià)值多少錢(qián)？

小組討論方向：

所填內(nèi)容是否唯一？

所填內(nèi)容是否任意？

總結(jié)討論并引導(dǎo)：這類(lèi)問(wèn)題不能任意填寫(xiě)，是因?yàn)槭艿搅四承┮蛩氐南拗?，那為何不從受限制的因素出發(fā)，進(jìn)行逆向思考呢？先給出合理的解，再填寫(xiě)缺失條件。

設(shè)計(jì)意圖：本題全面考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的掌握，體現(xiàn)了檢驗(yàn)方程組的解的必要性，如果條件設(shè)置不當(dāng)，可能導(dǎo)致解出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，而在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中不符合題意，所以不能隨意在丟失的部分增添?xiàng)l件，需仔細(xì)思考。因此，會(huì)有一部分逆向思維比較活躍的孩子從解入手去思考，先給出合理的解，然后倒推增加合適的條件，從而全方位感受到方程模型。

五、總結(jié)升華

教師：今天大家在一本本武功秘籍中看到的題目都出自千百年前中國(guó)的數(shù)學(xué)名著，比如《孫子算經(jīng)》《九章算術(shù)》等等。同學(xué)們，你們作為學(xué)生，老師作為一名數(shù)學(xué)人，我們應(yīng)該為中華數(shù)學(xué)的歷史感到驕傲和自豪，在未來(lái)，為中華數(shù)學(xué)創(chuàng)造更為輝煌的歷史，興我中華數(shù)學(xué)深厚文化，這樣的重任，誰(shuí)來(lái)承擔(dān)？

學(xué)生：我們。

設(shè)計(jì)意圖：此處設(shè)計(jì)是個(gè)人一直以來(lái)比較執(zhí)著的情感升華環(huán)節(jié)，我們培養(yǎng)孩子擁有全面能力、綜合素養(yǎng)的目的就是為了讓學(xué)生具備這種社會(huì)責(zé)任和家國(guó)情懷。

（責(zé)編 唐琳娜）