2個中檔導(dǎo)數(shù)小題的簡單思考

鄧鑫

下面我們看2個例題。

1.（2019·贛州模擬）若函數(shù)f（x）=aex-x-2a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.

很多同學(xué)拿到這個題目就直接求導(dǎo)，甚至是二次求導(dǎo)，最終事倍功半。

下面我們來分析題目。首先提個問題，這是個什么函數(shù)？先看它的組成，有指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)。指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)都是我們常見的基本函數(shù)。這個函數(shù)由指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)加減組合而成，我們不妨稱之為“組合函數(shù)”。題干給出的條件是這個函數(shù)有兩個零點?？吹搅泓c首先想到的是什么？函數(shù)與x軸的交點或者兩個函數(shù)的交點。這樣的話，我們必須畫出f（x）的圖像，用數(shù)形結(jié)合的辦法。令h（x）=aex，g（x）=x+2a.由函數(shù)f（x）=aex-x-2a有兩個零點我們可以知道h（x）與g（x）有兩個交點。參照三角函數(shù)，我們知道h（x）=aex是基本函數(shù)y=ex的幅度變換，可能單增，也可能單減，由a的符號決定。g（x）=x+2a是個簡單的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，截距為2a.通過分類討論和排除法，我們最終可得如下圖像。

分析題意，我們可知，要有兩個零點，h（x）=aex必須往下凹。所以2a>a即可，即a>0.

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

點評：這道題目加深了我們對零點相關(guān)定理的理解。

2.命題p：?x0∈R，使 為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________.

很多同學(xué)，拿到題目也是求導(dǎo)，最后不知所云。其實求導(dǎo)只是手段（工具），最終還是要依靠函數(shù)的分析方法。

由題意，命題p為假命題。“翻譯”一下，變成：?x∈R， .仿照上面的例題，我們設(shè)h（x）= ，g（x）= .由題意h（x）= 和g（x）= 沒有交點。下面我們同樣是畫圖像分析。

由圖可知m的兩個臨界狀態(tài) 和 。 顯然是0.那么 怎么求？

我們注意到g（x）= 是正比例函數(shù)。那么求 就轉(zhuǎn)化為求過（0，0）點的h（x）= 的切線方程的斜率問題啦。

設(shè)切點為（ ， ），過切點的切線方程可設(shè)為 。因為，切線過（0，0）點，所以，可得 ，又因為 ，所以 ， = 。所以切線方程為 ，即 = 。

所以， 的范圍為 .

總結(jié)：有些函數(shù)問題，有時候因為導(dǎo)數(shù)工具的引入，反而變得復(fù)雜啦。其實我們在考題中見到的函數(shù)大部分是基本函數(shù)的四則運算組合而成，本質(zhì)還是考查函數(shù)的思考方法。所以，我認(rèn)為，數(shù)學(xué)題目想得越簡單越好。