貝特朗悖論新說(shuō)

陳召召　陳城　楊靜

摘 要：先引入單位圓中點(diǎn)的分布實(shí)例，論述了原始三種方法的不足，給出兩種新的求解方法，構(gòu)建其求解模型，分別為“r類點(diǎn)”模型以及“？茲弧弦”模型.文中對(duì)貝特朗問(wèn)題，提出基于兩種新模型的兩種新解法，分別為點(diǎn)弦法和點(diǎn)點(diǎn)法.點(diǎn)弦法最終結(jié)果為0.6089977810.點(diǎn)點(diǎn)法最終結(jié)果為0.7468300049.文章的末尾，對(duì)點(diǎn)弦法與點(diǎn)點(diǎn)法做出相應(yīng)的評(píng)價(jià)與分析.點(diǎn)弦法為直接以線構(gòu)造弦方面做出的解釋，而點(diǎn)點(diǎn)法則為以兩點(diǎn)確立一條直線的原理來(lái)構(gòu)造弦方面做出的解釋.

關(guān)鍵詞：貝特朗悖論;概率論;點(diǎn)弦法;點(diǎn)點(diǎn)法

中圖分類號(hào)：O211.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2019）11-0022-04

1 引言

伯特蘭悖論也就是貝特朗問(wèn)題是法國(guó)學(xué)者貝特朗于1899年針對(duì)幾何概念提出的理論，內(nèi)容如下：“在一個(gè)圓內(nèi)任意選一條弦，這條弦的弦長(zhǎng)長(zhǎng)于這個(gè)圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？”

由于取弦的確切方式并沒(méi)有交代，導(dǎo)致了按照不同取弦方式會(huì)有不同的解法，目前有三種公認(rèn)的解法，分別對(duì)應(yīng)了不同的取弦方式.

1.1 解法一

按照弦的中點(diǎn)必定在某條直徑上，然后取一條直徑，并認(rèn)為弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，按照幾何概型，概率為1/2.

1.2 解法二

認(rèn)為弦的兩端點(diǎn)在圓周上等可能分布，取定一端點(diǎn)，讓另一段點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)弧長(zhǎng)比或者角度占比，得出概率為1/3.

1.3 解法三

認(rèn)為弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，確定了一個(gè)弦的中點(diǎn)就確定了一條弦，根據(jù)面積之比，得出概率為1/4.

三種解法均有自己的等可能假設(shè)，都有自己的樣本空間，得出的結(jié)論都是對(duì)的，準(zhǔn)確地說(shuō)，在各自的樣本空間中得出的結(jié)論是對(duì)的.文中的認(rèn)為是，三種解法都并沒(méi)有達(dá)到題目最開始、最想要、最原始的那種“理想”“期望“.

1.4 三種解法的不足

在介紹三種解法的不足之前，先引入一個(gè)例子.

1.4.1 單位圓中點(diǎn)的分布實(shí)例

例 點(diǎn)隨機(jī)地落在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓的圓周上，并且對(duì)弧長(zhǎng)是均勻分布的，求這點(diǎn)橫坐標(biāo)的概率密度（可理解為弦的中點(diǎn)在直徑上分布的情況）[4].

1.4.2 三種方法的不足之處

利用上例的結(jié)果，可以解釋為什么文中認(rèn)為三種解法都沒(méi)有達(dá)到題目的“期望”.實(shí)際上，貝特朗問(wèn)題的三種解法在計(jì)算時(shí)對(duì)“等可能性”做了不同的假設(shè).解法一的假設(shè)是假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，結(jié)果為1/2;解法二的假設(shè)是假定弦的端點(diǎn)在圓周上均勻分布，結(jié)果為1/3;解法三的假設(shè)是假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，結(jié)果為1/4;而根據(jù)本例的結(jié)果，若弦的端點(diǎn)在圓周上均勻分布，則弦的中點(diǎn)在直徑上就不可能均勻分布.同樣，也可以設(shè)計(jì)其他例子，得出三中解法的三種假設(shè)是兩兩不可同時(shí)滿足.因此，三種解法的三種結(jié)果針對(duì)的只是不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于各自的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)及樣本空間而言，它們都是正確的，但不足就是，它們?nèi)咭捕际遣蛔愕摹⒉粔颉熬鶆颉钡?，并不能照顧到各種假設(shè)之外的點(diǎn)是否均勻分布.所以，為了針對(duì)傳統(tǒng)的三種解法的不夠“均勻”性，文中提出了兩大類更加“均勻”的解法思路以及相應(yīng)的解法過(guò)程.

2 新模型的準(zhǔn)備工作

在介紹文中的兩種解法前，在此先介紹一下文中兩種解法將會(huì)用到的一些假設(shè)和模型.

2.1 “r類點(diǎn)”模型

為了讓每點(diǎn)都是等可能的被取到，文中假設(shè)每點(diǎn)被取到的概率為這點(diǎn)的面積與整個(gè)圓的面積之比.但由于點(diǎn)沒(méi)有面積，所以，文中提出了“r類點(diǎn)”這種模型來(lái)解決取到每點(diǎn)的概率為零的問(wèn)題.由于圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，圓中任一圓周上的點(diǎn)有著幾乎完全一樣的性質(zhì)，故將這一圓周上的所有點(diǎn)放在一起形成一個(gè)點(diǎn)的集合來(lái)討論.但由于圓周一圈也并沒(méi)有面積，取到任一圓周的概率仍為零，所以繼續(xù)往前出發(fā).取距離圓心r處，寬度為dr的細(xì)小圓環(huán).由于圓環(huán)的環(huán)寬度dr極小，可以將圓環(huán)看作距離圓心r處的圓周，而圓周上的所有點(diǎn)又有著幾乎完全的性質(zhì).所以，這個(gè)距離圓心r處，寬度為dr的細(xì)小圓環(huán)上的所有點(diǎn)，在隨著dr取極限小的時(shí)候?qū)⒂兄鴰缀跸嗤男再|(zhì)，故為了研究以及求解的方便，將這一圓環(huán)上所有的點(diǎn)用距離圓心為r的一點(diǎn)代替，此點(diǎn)就稱作“一類點(diǎn)”或叫“r類點(diǎn)”，而取到這一點(diǎn)的概率就用距離圓心r處，寬度為dr的細(xì)小圓環(huán)的面積與整個(gè)圓的面積之比來(lái)代替，即.

2.2 “？茲弧弦”模型

為了讓過(guò)某一點(diǎn)的所有弦，即過(guò)某一點(diǎn)每個(gè)方向上的弦都是等可能的被取到，文中假設(shè)過(guò)某一點(diǎn)的每一條弦被取到的概率為這條弦所占的弧度與2？仔之比.但由于過(guò)某一點(diǎn)的每一條弦所占的弧度為零，所以，文中提出了“？茲弧度”這種模型來(lái)解決取到過(guò)某一點(diǎn)每條弦的概率為零的問(wèn)題.類似于“r類點(diǎn)”模型，取過(guò)某一點(diǎn)的小扇形，假設(shè)過(guò)某一點(diǎn)的每條弦被取到的概率為小扇形所占的弧度×2與2？仔之比（共線反向的兩條弦算作兩條）.定義過(guò)某一點(diǎn)的1弧度上均勻分布著k條弦（k為映射系數(shù)，可取大于零的任意值），這樣，過(guò)某一點(diǎn)每？茲弧度就有k？茲條弦，即取到每？茲弧度弦的概率為k？茲/2？仔k=？茲/2？仔.因此過(guò)任一點(diǎn)的弦弦長(zhǎng)大于或等于的概率就是一個(gè)確定的數(shù).

3 模型的求解

根據(jù)一類點(diǎn)模型的提出以及弧度模型的表述，文中提出兩大類貝特朗問(wèn)題的全新解法，分別為根據(jù)一點(diǎn)一方向確定一條弦來(lái)建立的點(diǎn)弦法和根據(jù)兩點(diǎn)確定一條弦而建立的點(diǎn)點(diǎn)法.

3.1 新解法一：點(diǎn)弦法

任取單位圓中（包含圓周上）一點(diǎn).每點(diǎn)取到的可能性相等，用“r類點(diǎn)”的模型來(lái)解決每點(diǎn)取到的概率問(wèn)題.事件A：此點(diǎn)在單位圓內(nèi)接正三角形的內(nèi)接圓中（后稱此圓為小圓，單位圓為大圓），事件B：過(guò)此點(diǎn)的弦長(zhǎng)大于等于.則

4 結(jié)論

由上面的解法過(guò)程可知，點(diǎn)弦法和點(diǎn)點(diǎn)法最終解出的答案并不相同，其原因主要也是因?yàn)闃颖究臻g的選取有關(guān).點(diǎn)弦法中，弦的構(gòu)造由線直接構(gòu)成，點(diǎn)點(diǎn)法中，弦的構(gòu)造與傳統(tǒng)三種解法一樣，皆為弦由兩點(diǎn)來(lái)構(gòu)造的，即兩點(diǎn)確定一條直線.但點(diǎn)點(diǎn)法中，較傳統(tǒng)三種解法，兩點(diǎn)的選取更加均勻，更加隨機(jī)，更加貼近原問(wèn)題中要求在圓中隨機(jī)選取弦的問(wèn)題假設(shè).而點(diǎn)弦法更加另辟蹊徑，弦的選取直接由線來(lái)確定，將每條弦選取概率為零的尷尬轉(zhuǎn)化為選??？茲弧弦.其答案與傳統(tǒng)解法一中選取的弦所構(gòu)成圖形的面積相等，即圖8中陰影部分的面積，大小為■/2？仔+1/3.而傳統(tǒng)解法一則認(rèn)為每條弦選到的概率與直徑上點(diǎn)的概率有關(guān)，而非弦的概率與陰影面積成正比.總而言之，文中提出的兩種解法分別在弦的兩種構(gòu)造方式上建立出的樣本空間中，更加地接近原問(wèn)題中那種隨機(jī)性，均勻性.

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