數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)滲透下的《正態(tài)分布》教學(xué)設(shè)計

夏靜

數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)除了以數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的主題進(jìn)行系統(tǒng)化的培養(yǎng)之外，在平時的課程中數(shù)學(xué)建模的滲透也是發(fā)展數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行之有效的方法。本文將以“正態(tài)分布”教學(xué)設(shè)計中正態(tài)分布概念的提出一部分為例，以建構(gòu)主義理論知識作為指導(dǎo)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想方法，將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，在數(shù)學(xué)建模滲透完成對正態(tài)分布概念的學(xué)習(xí)。

正態(tài)分布在生產(chǎn)和生活中是廣泛存在和應(yīng)用的，比如某班級學(xué)生的成績、身高、體重等一般都滿足正態(tài)分布。因此選擇生活中的服從正態(tài)分布的實例作為本堂課的引入，既有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，又讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是來源于生活，應(yīng)用于生活。

人教A版是通過高爾頓釘板實驗進(jìn)行引入，許多教師也就是參照教材上的引入，在網(wǎng)絡(luò)上找到高爾頓釘板實驗的相關(guān)視頻，雖然采用了視頻的方式來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然而學(xué)生對于高爾頓釘釘板實驗也是一知半解，難以達(dá)到預(yù)期的效果。對于高爾頓釘板實驗的設(shè)計是十分巧妙的，但脫離了實際生活作為現(xiàn)實意義的載體，不能充分體現(xiàn)正態(tài)分布在生產(chǎn)和生活中的廣泛存在和應(yīng)用，也難以體現(xiàn)正態(tài)分布的應(yīng)用價值，因此筆者沒有沿用教材上的高爾頓釘板實驗，而從學(xué)生習(xí)以為常的滿足正態(tài)分布的生活實例出發(fā)，在起到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。筆者此處采用了學(xué)生熟悉的上學(xué)交通工具的選擇情景作為引入，通過數(shù)學(xué)建模解決問題的過程讓學(xué)生認(rèn)識正態(tài)分布。

（1）問題的發(fā)現(xiàn)，提出問題

問題：每天上學(xué)的時候總是感覺時間很緊張，公交車、單車是學(xué)生上學(xué)放學(xué)常見的兩種交通工具，選擇哪一種使得上學(xué)更不容易遲到？

學(xué)生憑借各自的生活經(jīng)驗可能會有不同的答案，只憑借經(jīng)驗做出的判斷不一定是可靠的，因此教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考如何解決這個問題。

（2）問題的探究，求解問題

問題1：運用統(tǒng)計的思維，如何從數(shù)學(xué)的角度解決交通工具選擇問題？

通過對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從數(shù)據(jù)分析的角度解決交通工具選擇問題，不妨就選擇其中一位甲同學(xué)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。（如表1、表2）

問題2：有一天，甲同學(xué)只有32分鐘就要上課了，選擇哪一種交通工具更不容易遲到？

在具體的問題情境下分析數(shù)據(jù)，學(xué)生很容易想到通過平均值進(jìn)行分析，教師肯定平均值是一種分析方法，并引導(dǎo)學(xué)生還可以通過頻率分布直方圖來分析數(shù)據(jù)。（如圖2）學(xué)生經(jīng)歷繪制頻率分布直方圖的過程，對頻率分布直方圖相關(guān)知識起著回顧作用。

問題3：根據(jù)頻率分布直方圖選出上學(xué)最不容易遲到的交通方式？

通過繪制頻率分布直方圖的過程，對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，學(xué)生都能夠選擇出公交車，但大多數(shù)同學(xué)都不是從概率角度分析頻率分布直方圖得出的結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧頻率分布直方圖小矩形面積表示的概率含義，從具體問題中的32分鐘作為切入點，在時間不超過32分鐘的時候，觀察得到公交車小矩形面積大于單車小矩形面積，也就是乘坐公交車不遲到的概率大于騎單車不遲到的概率，因此得出選擇公交車的結(jié)論。由此，在頻率分布直方圖的已有知識基礎(chǔ)上解決了交通工具的選擇問題。

（3）問題的深入探究，完善模型

問題4：由這樣30個數(shù)據(jù)得出的結(jié)論可不可靠？怎樣使得結(jié)論更加可靠？

在上一個過程中，已經(jīng)初步解決了交通工具的選擇問題。在必修三用樣本估計總體內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道樣本容量越大越能反映總體的情況，由此學(xué)生大多都能得出增加樣本數(shù)據(jù)能夠提高結(jié)論的可靠度的結(jié)論。

通過將與甲同學(xué)住在同一小區(qū)的其他幾個同學(xué)收集的數(shù)據(jù)也納入分析，展示樣本容量不斷增加時候的頻率分布直方圖。（如圖3）引導(dǎo)學(xué)生從頻率分布直方圖的形狀和頻率分布折線圖的光滑度這兩方面進(jìn)行分析，學(xué)生通過觀察由公交車的數(shù)據(jù)繪制的幾個頻率分布直方圖，可以總結(jié)出中間高兩邊低的形狀特點。但是對于頻率分布折線圖隨著樣本容量不斷增加而更加光滑的結(jié)論學(xué)生不易自主觀察出，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察隨著樣本容量不斷增加，頻率分布折線圖折痕越來越多，但是折痕越來越不明顯，從這個角度來說明頻率分布折線圖隨著樣本容量的不斷增加越來越光滑的趨勢，最終近似為一條光滑的曲線。（如圖4）由此在沒有極限思想作為支撐的條件下，學(xué)生也是能夠理解的。這條曲線也并不是完全陌生的，實際上就是以前學(xué)習(xí)過的總體密度曲線。在觀察得出公交車的數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖、折線圖的特點后，學(xué)生能夠類比觀察出由單車數(shù)據(jù)制的頻率分布直方圖、折線圖在形狀和光滑度方面也相同的特點，再次加深了對正態(tài)曲線形成過程的體會。

通過介紹數(shù)學(xué)家高斯，結(jié)合德國鈔票上的正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式給出正態(tài)密度函數(shù)，既避免了教材上直接給出正態(tài)密度函數(shù)表達(dá)式導(dǎo)致的學(xué)生難以接受的問題，又借此布置相關(guān)的正態(tài)分布發(fā)展史的閱讀作業(yè)，豐富了數(shù)學(xué)文化知識。（如圖5）

（4）問題的深入解決，體會正態(tài)曲線的產(chǎn)生過程

問題5：增加樣本容量之后，乘坐公交車和騎單車不遲到的具體概率？

教師引導(dǎo)學(xué)生從正態(tài)曲線的產(chǎn)生出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生得出正態(tài)曲線與橫坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域面積表示概率，于是乘坐公交車和騎單車上學(xué)不遲到的概率就是時間在區(qū)間（0，32]與正態(tài)曲線圍成區(qū)域的面積。通過對比公交車和單車的正態(tài)曲線與橫坐標(biāo)在（0，32]內(nèi)圍成的面積大小，在增加樣本容量的情況下，得出仍然選擇公交車上學(xué)更不容易遲到的結(jié)論。

乘坐公交車和騎單車不遲到的具體概率就是時間在區(qū)間（0，32]與正態(tài)曲線圍成區(qū)域的面積。通過老師的引導(dǎo)，學(xué)生基本上能夠想到用定積分求出時間在區(qū)間（0，32]與正態(tài)曲線圍成區(qū)域的面積，即乘坐公交車不遲到的概率，同理也能求出騎單車不遲到的概率。特殊的時間區(qū)間（0，32]上的概率學(xué)生會求解，對于任意時間區(qū)間（a，b]上的概率學(xué)生也能快速得出，充分認(rèn)識到正態(tài)曲線的幾何意義。

通過增加樣本容量對交通工具選擇問題進(jìn)行深入探究，學(xué)生體會了正態(tài)曲線的產(chǎn)生過程，對正態(tài)分布也有一定的認(rèn)識，于是在此基礎(chǔ)上提出正態(tài)分布的定義。

（5）抽象概括，獲得新知——正態(tài)分布定義的提出

一般地，如果對于任何實數(shù)，隨機變量X滿足

則稱隨機變量X服從正態(tài)分布。如果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為（）。

正因為正態(tài)分布在日常生產(chǎn)、生活中的廣泛存在和應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模又是基于現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，從而能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實問題、進(jìn)而用數(shù)學(xué)方法構(gòu)造模型來解決問題，充分考慮到學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，從已有的通過頻率分布直方圖分析數(shù)據(jù)的知識出發(fā)，通過數(shù)學(xué)建模實現(xiàn)對現(xiàn)實問題的解決，既反映了正態(tài)分布的廣泛存在性，又在數(shù)學(xué)建模解決問題的過程中體會了正態(tài)曲線的產(chǎn)生過程。實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模與課堂內(nèi)容的良好結(jié)合，達(dá)到了數(shù)學(xué)建模的有效滲透。