立體幾何中的向量方法

吳麗萍

摘 要：本文從現(xiàn)行高考對立體幾何中的向量方法內(nèi)容的命題要求，對選修2-1的3.2內(nèi)容作了調(diào)整后進行教學，更有利于學生的掌握.

關鍵詞：空間向量? 平行關系? 垂直關系? 空間角? 空間距離? 探索性問題

隨著新課改的實施，新的課程標準的出現(xiàn)，高中數(shù)學的有關內(nèi)容也作了相應的調(diào)整。比如引入了“立體幾何中的向量方法”?，F(xiàn)行人教版教材在選修2—1的3.2就本塊內(nèi)容作了介紹。本人認為本節(jié)內(nèi)容教材的編寫較粗線條，不利于平時的教學安排及學生的掌握，特別是剛走上講臺的新教師在教學時更無從下手。本人根據(jù)平時的教學經(jīng)驗，以及高考對此部分內(nèi)容的命題要求（1、理解直線的方向向量與平面的法向量;2、會用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系;3、會用向量方法證明直線和平面位置關系的有關命題;4、能用向量方法解決異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的作用。）對此部分內(nèi)容作了以下處理。

一、學這部分內(nèi)容前可先學習必修2的3.4空間坐標系。

二、再學習選修2—1的3.2內(nèi)容，且將這部分內(nèi)容調(diào)整為以下四部分：

（一）第一部分：空間向量與平行關系

1、先介紹直線的方向向量與平面的法向量概念：

4）賦值：取其中一個為非零值;

5）得結(jié)論：得到平面的一個法向量。

（2）實例求平面的法向量：

4、用空間向量證明平行問題。

（1）例3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1，DD1的中點，求證：

1）FC1∥平面ADE

2）平面ADE∥平面B1C1F

（2）思路點撥：1）只需證明直線FC1的方向向量與平面ADE的法向量垂直即可;

2）只需證明兩平面的法向量平行即可。

**小結(jié)：用向量法處理空間中平行關系的關鍵是求得直線的方向向量與平面的法向量，借助直線的方向向量與平面的法向量之間的關系確定空間中的線、面平行問題。

（二）第二部分：空間向量與垂直關系

1、證明線線垂直：用向量法證明空間兩直線相互垂直，其主要思路就是證明兩直線的方向向量相互垂直。

（1）例4： 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN=CC1/4，求證：AB1⊥MN

3、證明面面垂直：用向量法證明平面與平面垂直，其主要思路就是證明兩個平面的法向量垂直。

**小結(jié)：用向量法求空間角關鍵是求得直線的方向向量與平面的法向量，借助直線的方向向量與平面的法向量之間的關系并利用公式求解即可。

（四）第四部分：利用空間向量解決立體幾何中的綜合問題

以棱柱、棱錐為背景，利用空間向量證明空間中線面關系、計算空間中的各種角是高考對立體幾何的常規(guī)考法。隨著新課改的深入，利用空間向量解決立體幾何中的探索性問題越來越突出的表現(xiàn)出來。如：浙江高考以探索性問題的形式考查空間向量在解決空間角、空間位置關系及兩點間的距離問題等方面的綜合應用，是高考命題的一個新方向。

利用空間向量解決立體幾何中的問題，首先要探索如何用空間向量來表示點，直線，平面在空間的位置以及它們之間的關系。也就是說，要建立立體圖形與向量之間的關系，然后將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行解決。

參考文獻：

（1）普通高中課程標準實驗教科書選修2-1? 人民教育出版社;

（2）三維設計選修2-1? 南方出版社