吊艙平臺微電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔特性分析*

江樂果，王一波，焦 彤，胡百振，孟祥福

( 1.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109； 2. 中國航天科技集團(tuán)有限公司紅外探測技術(shù)研發(fā)中心·上海·201109)

0 引 言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，精確制導(dǎo)武器在局部戰(zhàn)爭中對于各國奪取主動權(quán)起到了至關(guān)重要的作用。由于在制導(dǎo)精度、靈敏度及抗干擾能力等方面的突出優(yōu)點，紅外探測技術(shù)已經(jīng)成為了國內(nèi)外一個重要的研究方向，其中光電吊艙承擔(dān)著制導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵作用。吊艙平臺隨動系統(tǒng)的作用是保持探測器的穩(wěn)定，通過在視場內(nèi)搜索、捕獲及跟蹤目標(biāo)，為末段制導(dǎo)提供彈體的位姿信息。

在彈體主發(fā)動機(jī)工作過程中，高速彈旋制約著制導(dǎo)系統(tǒng)的探測性能，通過微電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的消旋作用，為光學(xué)探測器提供可靠的工作平臺保障。當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)時，紅外探測器將目標(biāo)視線與光軸的偏差角信息提供給控制電路，從而產(chǎn)生相應(yīng)的控制電流并輸送至力矩器。在力矩作用下，陀螺平臺轉(zhuǎn)子軸向目標(biāo)方向進(jìn)動，形成閉合回路，實現(xiàn)對目標(biāo)的實時跟蹤。因此，微型電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定特性將影響到整個吊艙平臺的跟蹤性能，通過分析平臺的非線性動態(tài)特性，對彈體制導(dǎo)精度的提高有著十分重要的作用。

1 框架式穩(wěn)定平臺的非線性動力學(xué)模型

吊艙平臺電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過一對滾動軸承支承轉(zhuǎn)子及穩(wěn)定平臺，其構(gòu)成了剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，吊艙平臺微電機(jī)轉(zhuǎn)子模型如圖1所示。在模型當(dāng)中，需綜合考慮轉(zhuǎn)子組件的質(zhì)量不平衡、滾動軸承的內(nèi)部游隙等要素對系統(tǒng)的非線性影響。軸承外圈剛性固定支承在制導(dǎo)框架系統(tǒng)上，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子軸固聯(lián)在一起，鋼球在套圈滾道間做純滾動。

圖1 光電吊艙平臺微電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型圖Fig.1 Model diagram of micro-motor rotor system of optoelectronic pod platform

1.1 電機(jī)轉(zhuǎn)子軸承的非線性接觸力

由滾動軸承的運動學(xué)理論可知，假設(shè)滾動體通過保持架等距離分布在內(nèi)、外圈滾道之間，并在滾道內(nèi)做純滾動，如圖2所示。在忽略潤滑油膜影響的前提下，滾動體的中心角速度wcage=wrotorRi/(Ri+Re)。其中，wrotor為吊艙平臺的轉(zhuǎn)子角速度，吊艙平臺角速度可轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)速nrotor，換算關(guān)系為：nrotor=wrotor/(2π)；Re為外圈滾道半徑；Ri為內(nèi)圈滾道半徑。

圖2 滾動軸承非線性接觸模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of nonlinear contact model of rolling bearing

由Hertz 接觸理論可知，滾動體與內(nèi)外滾道的局部彈性接觸力F與彈性接觸變形量相關(guān)，軸承的x和y方向上的接觸力分別為

(1)

式(1)中，F(xiàn)x和Fy分別表示滾動體與滾道間的彈性恢復(fù)力在水平和垂直兩個方向上的分量，x和y分別表示軸承內(nèi)圈質(zhì)心點在水平方向和垂直方向上的位移，θi為第i個滾動體的方位角，Kc為球與滾道的接觸剛度，γ0表示軸承的徑向間隙。其中，(Δ)+表示括號內(nèi)的值為非負(fù)，即當(dāng)Δ≤0時，軸承中第i個滾動體未處于載荷區(qū)內(nèi)，對應(yīng)的滾動體與滾道間的彈性接觸變形為0。

根據(jù)Hertz接觸理論，點接觸類型的兩物體的接觸剛度可表示為

(2)

式(2)中，E為材料的彈性模量，μ為材料的泊松比，∑ρ為接觸點的曲率和，δ*為接觸變形系數(shù)。

因此，滾動體與滾道間的接觸剛度可表示為

(3)

式中，ke表示滾動體與外圈的接觸剛度，ki表示滾動體與內(nèi)圈的接觸剛度。

第i個滾動體的方位角θi可表示為

建設(shè)綠色礦山、發(fā)展綠色礦業(yè)是礦業(yè)行業(yè)當(dāng)前的必然選擇和唯一選擇，是礦業(yè)行業(yè)落實新發(fā)展理念的具體行動。建設(shè)綠色礦山，大力發(fā)展循環(huán)經(jīng)濟(jì)，協(xié)調(diào)礦山資源環(huán)境之間的關(guān)系，是樹立起良好形象、實現(xiàn)轉(zhuǎn)型升級的重要方式。

(4)

其中，Nb為滾動體的個數(shù)，t為轉(zhuǎn)子運行時間。

光電吊艙微電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

Fr+Meewcage2cos(wcaget)

Meewcage2sin(wcaget)

(5)

式中，Me為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量，C為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼系數(shù)，F(xiàn)r為作用在轉(zhuǎn)子上的恒定徑向載荷，e為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡偏心距。

1.2 轉(zhuǎn)子非線性分岔與混沌理論

1.2.1 分岔

分岔是帶有參數(shù)的動力系統(tǒng)隨著參數(shù)的變化，做出的相應(yīng)的定性行為和定量行為。

定義：考慮含有參數(shù)的常微分方程組

其中,J是開集，x是狀態(tài)變量，u是分岔參數(shù)。當(dāng)u連續(xù)地變動，如果系統(tǒng)的定性行為發(fā)生突然變化，則系統(tǒng)在uo處將發(fā)生分岔，uo∈J。該系統(tǒng)的定性或定量行為隨參數(shù)u的變化而變化的圖形即為分岔圖。

1.2.2 混沌

混沌運動是一種不穩(wěn)定有限定常運動，為全局壓縮和局部不穩(wěn)定的運動?；煦绲膹?fù)雜性一般可通過時間歷程圖、相圖、龐加萊(Poincaré)截面法等特征表現(xiàn)出來，利用一定的理論方法可解析證明系統(tǒng)的混沌特性。

設(shè)∑?Rn是某一n-1維超曲面的一部分，若對于任意的x?∑,∑的法向量n(x)滿足與向量場f(x,u)的無切條件

nT(x)·f(x,u)≠0

則稱∑是向量場f(x,u)的Poincaré截面?？筛鶕?jù)Poincaré截面的情況來判斷系統(tǒng)的運動特性，當(dāng)截面上有一個不動點時，系統(tǒng)處于1周期運動；當(dāng)截面上有n個不動點時，系統(tǒng)為n周期運動態(tài)；當(dāng)Poincaré截面出現(xiàn)一封閉曲線時，系統(tǒng)為擬周期運動；當(dāng)截面上為有界無窮的點集合時，系統(tǒng)為混沌態(tài)。

2 轉(zhuǎn)速對吊艙電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響分析

根據(jù)文中1.1節(jié)的內(nèi)容對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行了分析，著重考慮了轉(zhuǎn)速對吊艙電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，探討出了不同轉(zhuǎn)速變化范圍下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，從而在設(shè)計中可避免混沌分叉效應(yīng)對吊艙平臺跟蹤精度及穩(wěn)定性的影響。在滿足光電吊艙穩(wěn)定平臺啟動力矩使用要求的前提下，以某型號微型電機(jī)球軸承為例進(jìn)行了分析，其特征參數(shù)為：滾動體數(shù)Nb=8；外圈溝道半徑Re=2.25mm；內(nèi)圈溝道半徑Ri=3.75mm；阻尼C=50.0Ns/m；徑向游隙γ0=5μm；吊艙平臺系統(tǒng)的質(zhì)量Mplatform=0.15kg。

吊艙平臺的穩(wěn)定性會隨著微型電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速而發(fā)生變化，從而影響到安裝在穩(wěn)定平臺上的光電探測系統(tǒng)的跟蹤穩(wěn)定性。在吊艙電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受的探測器平臺等的系統(tǒng)質(zhì)量及等效阻尼確定的情況下，將電機(jī)控制轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速作為變量參數(shù)(取值范圍為：500r/min～15000r/min)可研究微型電機(jī)在從低速啟轉(zhuǎn)至高速轉(zhuǎn)動的過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定響應(yīng)狀態(tài)。通過對式(5)的動力學(xué)方程進(jìn)行求解，可得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移、速度等參數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化的Poincaré 圖及分岔圖。圖3為框架平臺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的中心在x方向上的位移-轉(zhuǎn)速分岔圖，圖3給出了不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子中心的 Poincaré 圖和質(zhì)心軌跡圖。

圖3 x方向上的位移轉(zhuǎn)速分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of displacement and rotational speed in the x direction

從圖3可見，在轉(zhuǎn)速變化過程中，吊艙平臺系統(tǒng)的運動十分復(fù)雜，系統(tǒng)經(jīng)歷了多周期運動、擬周期和混沌態(tài)交替變化的過程。在500r/min≤nrotor≤2500r/min時，系統(tǒng)處于多周期運動狀態(tài)；在2500r/min≤nrotor≤6500r/min時，系統(tǒng)處于小范圍混沌態(tài)響應(yīng)狀態(tài)；在7000r/min≤nrotor≤11000r/min時，系統(tǒng)進(jìn)入到擬周期態(tài)；當(dāng)11000r/min≤nrotor≤12500r/min時，系統(tǒng)進(jìn)入到多周期態(tài)；當(dāng)進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)速12500r/min≤nrotor≤15000r/min時，系統(tǒng)進(jìn)入多周期及混沌態(tài)交替混合區(qū)，對探測器對目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤造成了較大影響。

(a)當(dāng)nrotor=3500r/min時，x方向上的Poincaré截面圖中的動點無規(guī)則分散在速率為±2000μm/s的小范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心軌跡在水平x和垂直y方向的跳動范圍分別為(-0.5μm，0.5μm)和(-1.5μm，2.5μm)，表明系統(tǒng)處于多周期運動態(tài)。

圖4 nrotor=3500r/min時的質(zhì)心運動軌跡圖Fig.4 Centroid motion trajectory diagram at nrotor=3500r/min

圖6 nrotor=3500r/min時的水平x方向時域圖Fig.6 Time-domain diagram in the x direction at nrotor=3500r/min

圖7 nrotor=3500r/min時的垂直y方向時域圖Fig.7 Time-domain diagram in the y direction at nrotor=3500r/min

(b)當(dāng)轉(zhuǎn)子速度nrotor=8000r/min時，由Poincaré圖和質(zhì)心軌跡圖可知，轉(zhuǎn)子質(zhì)心在小范圍內(nèi)運動。Poincaré圖的變化呈現(xiàn)出發(fā)散的趨勢，系統(tǒng)運動呈現(xiàn)出輕微向外發(fā)散的過程，系統(tǒng)處于窄范圍混沌態(tài)。

圖8 nrotor=8000r/min時的質(zhì)心運動軌跡圖Fig.8 Centroid motion trajectory diagram at nrotor=8000r/min

圖9 nrotor=8000r/min時的Poincaré圖Fig.9 Poincaré diagram at nrotor=8000r/min

圖10 nrotor=8000r/min時的水平x方向時域圖Fig.10 Time-domain diagram in the x direction at nrotor=8000r/min

圖11 nrotor=8000r/min時的垂直y方向時域圖Fig.11 Time-domain diagram in the y direction at nrotor=8000r/min

(c)當(dāng)轉(zhuǎn)速nrotor=13500r/min時，Poincaré圖形成了一個明晰的多重封閉曲線，這表明平臺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于一個多周期狀態(tài)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心也做近似規(guī)則的運動。水平x和垂直y方向的時域圖表明系統(tǒng)長時間處于低幅值跳動狀態(tài)，在其余工作時間內(nèi)有規(guī)則地跳動到較大幅值區(qū)域。

圖12 nrotor=13500r/min時的質(zhì)心運動軌跡圖Fig.12 Centroid motion trajectory diagram at nrotor=13500r/min

圖13 nrotor=13500r/min時的Poincaré圖Fig.13 Poincaré diagram at nrotor=13500r/min

圖14 nrotor=13500r/min時的水平x方向時域圖Fig.14 Time-domain diagram in the x direction at nrotor=13500r/min

圖15 nrotor=13500r/min時的垂直y方向時域圖Fig.15 Time-domain diagram in the y direction at nrotor=13500r/min

3 結(jié) 論

隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化，光電吊艙平臺電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)可能會出現(xiàn)周期、擬周期、分岔和混沌的振動狀態(tài)。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)分析中，滾動軸承的接觸剛度、徑向游隙、不平衡質(zhì)量和滾動體的個數(shù)等參數(shù)都會影響整個穩(wěn)定平臺系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性。在對紅外光電吊艙系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計的過程中，需要充分考慮微型電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性分岔特性。通過調(diào)整軸承轉(zhuǎn)子的內(nèi)部剛度特性，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)盡量避開混沌分岔工作的轉(zhuǎn)速范圍，進(jìn)而可確保制導(dǎo)系統(tǒng)的探測精度。