基于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的50ETF期權(quán)定價(jià)研究

瞿 慧，何佳諾

南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093

引言

2015年2月9日，中國(guó)第一只股票期權(quán)類產(chǎn)品——上證50ETF期權(quán)在上海證券交易所正式掛牌上市。首只場(chǎng)內(nèi)期權(quán)的推出標(biāo)志著中國(guó)的期權(quán)交易正式進(jìn)入實(shí)質(zhì)性操作階段，中國(guó)資本市場(chǎng)開(kāi)始步入期權(quán)時(shí)代。期權(quán)作為金融衍生產(chǎn)品，具備雙刃劍作用。因此，其推出在豐富中國(guó)金融投資品種，為投資者提供價(jià)格發(fā)現(xiàn)、套利和套期保值工具的同時(shí)，也對(duì)期權(quán)定價(jià)的理論和實(shí)踐研究提出了迫切要求。

波動(dòng)率是期權(quán)定價(jià)模型的核心參數(shù)，準(zhǔn)確估計(jì)和預(yù)測(cè)波動(dòng)率對(duì)期權(quán)定價(jià)性能至關(guān)重要。使用日數(shù)據(jù)的情況下，資產(chǎn)波動(dòng)率無(wú)法觀測(cè)，因此大量研究采用自回歸條件異方差(GARCH)類模型或者隨機(jī)波動(dòng)率(SV)模型對(duì)其間接建模預(yù)測(cè)。這些模型使用日收益率通過(guò)復(fù)雜的參數(shù)估計(jì)預(yù)測(cè)未來(lái)波動(dòng)率，損失了日內(nèi)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的豐富信息，因而限制了對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)。近10年來(lái)，日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的日益可得為金融資產(chǎn)波動(dòng)率的估計(jì)、建模和預(yù)測(cè)提供了新的手段。利用高頻收益可以構(gòu)建非參數(shù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，使波動(dòng)率從隱變量轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢灾苯咏５目捎^測(cè)變量。已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率蘊(yùn)含了日內(nèi)收益波動(dòng)更豐富的信息，對(duì)波動(dòng)的估計(jì)更為準(zhǔn)確；其模型估計(jì)簡(jiǎn)單并具備比低頻模型更優(yōu)的預(yù)測(cè)性能，因此受到越來(lái)越多的關(guān)注。CORSI et al.[1]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率用于期權(quán)定價(jià)，為其構(gòu)建帶杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(heterogeneous autoregressive gamma with leverage, HARGL)模型，并實(shí)證得出該模型比常用的低頻GARCH類模型有顯著更強(qiáng)的S&P 500期權(quán)定價(jià)能力；MAJEWSKI et al.[2]在HARGL模型基礎(chǔ)上引入異質(zhì)杠桿，進(jìn)一步提升了對(duì)S&P 500期權(quán)的定價(jià)能力。

目前，對(duì)50ETF期權(quán)定價(jià)的研究還相對(duì)較少，尚未有研究將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率用于50ETF期權(quán)的定價(jià)研究中。鑒于此，提出將CORSI et al.[1]和MAJEWSKI et al.[2]的兩種異質(zhì)自回歸伽馬模型用于50ETF期權(quán)的定價(jià)并檢驗(yàn)其精度。進(jìn)一步的，考慮到日內(nèi)價(jià)格上行、下行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)可能具有不同影響，分別利用日內(nèi)正、負(fù)高頻收益率計(jì)算已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差，相應(yīng)改進(jìn)提出區(qū)分正、負(fù)半差貢獻(xiàn)的兩種異質(zhì)自回歸伽馬模型，并實(shí)證檢驗(yàn)引入正、負(fù)半差對(duì)于50ETF期權(quán)定價(jià)性能的意義。

1 相關(guān)研究評(píng)述

ANDERSEN et al.[3]認(rèn)為，采用日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率平方和計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是對(duì)日波動(dòng)的精確測(cè)量。然而實(shí)際高頻數(shù)據(jù)可能受到買賣價(jià)差、最小報(bào)價(jià)變動(dòng)單位、價(jià)格漲跌限制、交易信息不對(duì)稱等市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，從而導(dǎo)致已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率有偏[4]。針對(duì)這一問(wèn)題， ZHANG et al.[5]提出雙尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，BARNDORFF-NIELSEN et al.[6]提出已實(shí)現(xiàn)核，都通過(guò)合理“糾偏”實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的穩(wěn)健。此外，學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)，金融資產(chǎn)收益率在日內(nèi)近似連續(xù)的時(shí)間內(nèi)有可能出現(xiàn)突然性大幅變動(dòng)，此時(shí)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率可以細(xì)分為具有不同統(tǒng)計(jì)特征的連續(xù)波動(dòng)和跳躍兩部分。BARNDORFF-NIELSEN et al.[7]提出的已實(shí)現(xiàn)雙冪次變差，CORSI et al.[8]提出的門(mén)限雙冪次變差，CHRISTENSEN et al.[9]提出的基于分位數(shù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)，以及ANDERSEN et al.[10]采用近鄰截?cái)喾椒?gòu)建的已實(shí)現(xiàn)最小值波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)中值波動(dòng)率，都是跳躍穩(wěn)健的連續(xù)波動(dòng)估計(jì)量。BARNDORFF-NIELSEN et al.[11]利用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)雙冪次變差構(gòu)建正態(tài)分布跳躍檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的方法(BNS方法)，是識(shí)別資產(chǎn)價(jià)格顯著跳躍的常用方法。需要指出的是，由于大多數(shù)股票都只在交易日的部分時(shí)段內(nèi)進(jìn)行交易，因此上述用日內(nèi)高頻價(jià)格構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量并不能無(wú)偏估計(jì)全天(24小時(shí))的波動(dòng)，需要進(jìn)行尺度調(diào)整[12]。

為了較好地刻畫(huà)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性，部分學(xué)者使用自回歸分整移動(dòng)平均模型對(duì)其建模預(yù)測(cè)，在對(duì)股票指數(shù)波動(dòng)[13]和個(gè)股波動(dòng)[14]的實(shí)證預(yù)測(cè)中都取得較好的樣本外績(jī)效。然而，分整僅是一個(gè)方便的數(shù)學(xué)技巧，缺乏明確的經(jīng)濟(jì)詮釋。CORSI[15]基于異質(zhì)市場(chǎng)假說(shuō)提出已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的異質(zhì)自回歸(heterogeneous autoregressive,HAR)模型。該假說(shuō)認(rèn)為市場(chǎng)由具有不同交易頻率的投資者組成，市場(chǎng)波動(dòng)是各投資者交易活動(dòng)的共同結(jié)果，因此HAR模型將不同期限的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為回歸自變量。雖然本身不是長(zhǎng)記憶模型，但HAR模型較好地刻畫(huà)了波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性，并且具有較優(yōu)的預(yù)測(cè)性能，因此得到較多的應(yīng)用和拓展。在針對(duì)中國(guó)市場(chǎng)的研究中，學(xué)者們實(shí)證HAR類模型比GARCH類模型的預(yù)測(cè)性能具有的優(yōu)勢(shì)，并通過(guò)改進(jìn)波動(dòng)估計(jì)量[16-17]、引入隔夜收益[18]、聯(lián)跳[19]或者中國(guó)波指[20]等外生變量，引入結(jié)構(gòu)突變因素[21-22]、引入馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移[23-24]、優(yōu)化時(shí)間尺度結(jié)構(gòu)[25]、允許時(shí)變參數(shù)[26]等方式，有效提升HAR類模型對(duì)中國(guó)金融波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力。

將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率用于期權(quán)定價(jià)的研究還比較少。CHRISTOFFERSEN et al.[27]在HESTON et al.[28]的GARCH模型中引入高頻數(shù)據(jù)估計(jì)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，改進(jìn)GARCH期權(quán)定價(jià)模型的性能。但他們只是把已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為GARCH模型的輔助變量，并沒(méi)有為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。另外，部分學(xué)者對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率直接建模，用于期權(quán)定價(jià)。STENTOFT[29]構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的逆高斯模型，用于美國(guó)公司個(gè)股期權(quán)的定價(jià)；ALLEN et al.[30]構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的雙重非對(duì)稱異質(zhì)自回歸模型，JOU et al.[31]構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的對(duì)數(shù)異質(zhì)自回歸模型，用于S&P 500期權(quán)的定價(jià)。以上研究都取得了較傳統(tǒng)GARCH模型更好的期權(quán)定價(jià)效果。部分學(xué)者還進(jìn)一步比較不同已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量在期權(quán)定價(jià)中的適用性，BANDI et al.[32]采用自回歸分整移動(dòng)平均模型，比較了不同已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量用于S&P 500期權(quán)定價(jià)和跨式套利交易的效果；UBUKATA et al.[33]采用對(duì)數(shù)自回歸分整移動(dòng)平均模型和對(duì)數(shù)異質(zhì)自回歸模型，比較不同已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量用于NIKKEI 225期權(quán)定價(jià)的效果。需要指出的是，上述利用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的研究，都假設(shè)真實(shí)測(cè)量與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量下的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型參數(shù)完全一致(即波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)未被定價(jià))，沒(méi)有對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行測(cè)量轉(zhuǎn)換。然而，本研究的實(shí)證分析表明，這一假設(shè)在中國(guó)市場(chǎng)并不成立。

CORSI et al.[1]為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)建了帶杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(HARGL)模型，并給出模型參數(shù)從真實(shí)測(cè)量到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量的轉(zhuǎn)換公式。HARGL模型假設(shè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率具有非中心伽馬分布，在CORSI[15]的HAR模型中引入對(duì)滯后一日收益的杠桿，建模伽馬分布的位置參數(shù)。由于基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率能夠迅速捕獲波動(dòng)水平的變化，疊加異質(zhì)波動(dòng)成分的HAR模型較好地刻畫(huà)了波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性，杠桿因子一定程度上刻畫(huà)了正、負(fù)收益對(duì)波動(dòng)的非對(duì)稱影響，HARGL模型比常用的低頻GARCH類模型取得了顯著更強(qiáng)的S&P 500期權(quán)定價(jià)能力。此后，MAJEWSKI et al.[2]借鑒CORSI et al.[34]在HAR模型中引入異質(zhì)杠桿效應(yīng)的思想，為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率構(gòu)建了帶異質(zhì)杠桿的異質(zhì)自回歸伽馬(heterogeneous autoregressive gamma with heterogeneous leverage,HARGHL)模型，并實(shí)證對(duì)S&P 500期權(quán)定價(jià)能力的進(jìn)一步提升。然而，這兩個(gè)模型引入的僅是日尺度或者更長(zhǎng)時(shí)間尺度上的杠桿效應(yīng)，對(duì)日內(nèi)杠桿效應(yīng)[35]未能考慮。

中國(guó)50ETF期權(quán)已推出兩年有余，但對(duì)50ETF期權(quán)的定價(jià)研究還相對(duì)較少。對(duì)50ETF期權(quán)定價(jià)方法的主要改進(jìn)，包括王鵬等[36]和楊興林等[37]在Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型框架下，通過(guò)引入時(shí)變波動(dòng)率并修正正態(tài)分布假設(shè)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)50ETF看漲期權(quán)定價(jià)精度的提升；郝夢(mèng)等[38]建立廣義雙曲分布下的GARCH模型進(jìn)行蒙特卡洛模擬定價(jià)，在50ETF看漲期權(quán)定價(jià)精度上比Black-Scholes模型和正態(tài)分布下GARCH模型均有所提升。此外，周玉琴等[39]和駱樺等[40]實(shí)證研究了機(jī)器學(xué)習(xí)算法在50ETF看漲期權(quán)定價(jià)中的有效應(yīng)用。需要指出的是，目前尚未有研究將基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率用于50ETF期權(quán)的定價(jià)模型中。此外，上述研究?jī)H采用50ETF看漲期權(quán)的價(jià)格，期權(quán)樣本期也都較短，缺乏對(duì)兩年來(lái)50ETF期權(quán)完整價(jià)格數(shù)據(jù)的全面實(shí)證分析，也無(wú)法區(qū)分模型對(duì)不同實(shí)虛值狀態(tài)、不同到期時(shí)間看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)能力。

因此，本研究提出全面運(yùn)用50ETF期權(quán)正式交易起逾兩年的價(jià)格數(shù)據(jù)，進(jìn)一步細(xì)分期權(quán)類型、實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間，實(shí)證分析CORSI et al.[1]的HARGL模型對(duì)50ETF期權(quán)的定價(jià)能力以及MAJEWSKI et al.[2]引入異質(zhì)杠桿的改進(jìn)對(duì)模型期權(quán)定價(jià)性能的意義。此外，考慮到日內(nèi)價(jià)格上行、下行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)具有不同影響，提出利用日內(nèi)正、負(fù)對(duì)數(shù)收益率平方和計(jì)算已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差，并將已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差引入伽馬分布位置參數(shù)的HAR模型中，相應(yīng)構(gòu)建區(qū)分正、負(fù)半差貢獻(xiàn)的HARGL-S模型和HARGHL-S模型，實(shí)證檢驗(yàn)引入正、負(fù)半差對(duì)50ETF期權(quán)定價(jià)性能的改進(jìn)。期望通過(guò)使用較完整數(shù)據(jù)的細(xì)致實(shí)證和比較，為50ETF期權(quán)的投資者和監(jiān)管機(jī)構(gòu)提供更準(zhǔn)確的期權(quán)定價(jià)方法，促進(jìn)中國(guó)期權(quán)市場(chǎng)穩(wěn)步發(fā)展。

2 模型和方法

2.1 已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的構(gòu)建

采用對(duì)市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲較為穩(wěn)健的已實(shí)現(xiàn)核(realized kernel,RK)[6]作為資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的估計(jì)量。具體的，令M為金融資產(chǎn)高頻價(jià)格的日內(nèi)采樣間隔數(shù)，rt,i為t日第i個(gè)采樣間隔內(nèi)的對(duì)數(shù)收益率，i=1,2,...,M，t=1,2,...,T。該金融資產(chǎn)t日的已實(shí)現(xiàn)核為

(1)

采用對(duì)日內(nèi)波動(dòng)水平變化和高頻價(jià)格噪聲都較為穩(wěn)健的已實(shí)現(xiàn)中值波動(dòng)率(median realized volatility,MedRV)[10]作為連續(xù)波動(dòng)的估計(jì)量，有

(2)

其中，MedRVt為金融資產(chǎn)t日的已實(shí)現(xiàn)中值波動(dòng)率，median(· )為取中位數(shù)的函數(shù)，rt,i-1為t日第(i-1)個(gè)采樣間隔內(nèi)的對(duì)數(shù)收益率，rt,i+1為t日第(i+1)個(gè)采樣間隔內(nèi)的對(duì)數(shù)收益率，π為圓周率。在此基礎(chǔ)上，采用BNS 方法[11]識(shí)別價(jià)格的顯著跳躍，即構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量為

(3)

其中，Zt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量，max(· )為取最大值的函數(shù)，MedRQt為利用近鄰截?cái)喾椒ǖ玫降姆e分4 次冪估計(jì)量[10]，有

(4)

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量超出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布置信水平處的臨界值時(shí)，可判斷t日發(fā)生顯著價(jià)格跳躍，得出t日顯著價(jià)格跳躍的估計(jì)值JVt，JVt=I(Zt>Φα)(RKt-MedRVt)，I(· ) 為示性函數(shù)，Φα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布置信水平α(如99%) 處的臨界值。相應(yīng)的將t日連續(xù)波動(dòng)估計(jì)為CVt，CVt=I(Zt≤Φα)RKt+I(Zt>Φα)MedRVt。在此基礎(chǔ)上，借鑒CORSI et al.[1]濾除波動(dòng)跳躍的方法，以200天滾動(dòng)窗口中計(jì)算的4倍標(biāo)準(zhǔn)差作為門(mén)限值，濾除CVt序列中的極端觀測(cè)值(波動(dòng)跳躍)，得到連續(xù)波動(dòng)序列，記作Ct。

最后，針對(duì)已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的計(jì)算只用到交易時(shí)段高頻收益率而忽略隔夜收益的問(wèn)題，采用HANSEN et al.[12]的比例調(diào)整法，對(duì)Ct乘以一個(gè)常數(shù)c，使其樣本均值和日收益率的樣本方差相等，從而構(gòu)建覆蓋全天24小時(shí)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)估計(jì)量，記作RVt，即

(5)

2.2 期權(quán)定價(jià)模型

CORSI et al.[1]的HARGL模型假設(shè) (t+1)日對(duì)數(shù)收益率Rt+1具有如下動(dòng)態(tài)，即

(6)

假設(shè)RVt+1具有非中心伽馬分布，即

RVt+1|Ft～Γ[δ,β(HARGL)(RVt,Lt),cΓ]

(7)

(8)

其中，β1、β2、β3、α1為參數(shù)，β1測(cè)量日尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響，β2測(cè)量周尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響，β3測(cè)量月尺度已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響，α1測(cè)量日杠桿效應(yīng)對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響。

鑒于CORSI et al.[34]的研究指出了在已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)HAR模型中引入異質(zhì)杠桿的重要性，MAJEWSKI et al.[2]在HARGL模型中引入異質(zhì)杠桿，將其伽馬分布位置參數(shù)的預(yù)測(cè)模型修改為

(9)

(10)

同時(shí)引入異質(zhì)杠桿效應(yīng)和已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差的HARGHL-S模型的伽馬分布位置參數(shù)模型為

(11)

采用極大似然法對(duì)HARGL、HARGHL、HARGL-S和HARGHL-S模型進(jìn)行估計(jì)。以HARGHL-S模型為例，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)形式為

(12)

2.3 測(cè)量轉(zhuǎn)換和蒙特卡洛模擬定價(jià)

上述模型都是在真實(shí)測(cè)量下觀測(cè)和估計(jì)的，刻畫(huà)的是真實(shí)測(cè)量下資產(chǎn)收益和波動(dòng)的動(dòng)態(tài)特征。但是期權(quán)的蒙特卡洛模擬定價(jià)，要求在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量下模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑。CORSI et al.[1]已證明，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量下，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)仍然可以用HARGL模型刻畫(huà)，僅需進(jìn)行適當(dāng)參數(shù)轉(zhuǎn)換。MAJEWSKI et al.[2]也證明，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量下，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)仍然可以用HARGHL模型刻畫(huà)，僅需進(jìn)行適當(dāng)參數(shù)轉(zhuǎn)換。類似的，本研究也證明得到，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量下，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)仍然可以用HARGL-S模型和HARGHL-S模型刻畫(huà)，僅需進(jìn)行如下參數(shù)轉(zhuǎn)換，即

(13)

3 數(shù)據(jù)和期權(quán)定價(jià)實(shí)證

3.1 數(shù)據(jù)處理

中國(guó)的第一只股票期權(quán)——50ETF期權(quán)于2015年2月9日正式上市交易。因此，選取2015年2月9日之后(包括2月9日)上市，且于2017年4月18日之前(包括4月18日)到期的所有期權(quán)作為實(shí)證對(duì)象，數(shù)據(jù)來(lái)源是Wind資訊金融終端。一共包括812只期權(quán)，其中看漲期權(quán)和看跌期權(quán)各406只。使用這些期權(quán)的所有收盤(pán)價(jià)作為實(shí)證數(shù)據(jù)，共涉及期權(quán)合約收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)57 564條。

與CORSI et al.[1]的研究類似，對(duì)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行如下篩選：

(1)由于期權(quán)在臨近到期日時(shí)具有的時(shí)間價(jià)值較少，時(shí)常出現(xiàn)流動(dòng)性匱乏的現(xiàn)象，也容易出現(xiàn)因大量投機(jī)行為導(dǎo)致的異常價(jià)格波動(dòng)，因而剔除到期時(shí)間少于10天的期權(quán)價(jià)格觀測(cè)數(shù)據(jù)；

(2)根據(jù)期權(quán)類型、執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間、存續(xù)期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期權(quán)價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，計(jì)算每一條觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的Black-Scholes隱含波動(dòng)率，當(dāng)隱含波動(dòng)率過(guò)大或?yàn)樨?fù)時(shí)，被普遍認(rèn)為是不符合市場(chǎng)規(guī)律的，因而剔除隱含波動(dòng)率大于70%或者為NA值(無(wú)法計(jì)算得到)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

經(jīng)過(guò)上述數(shù)據(jù)篩選，最終剩余42 406條期權(quán)合約收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)。其中，看漲期權(quán)20 478條，占48.290%；看跌期權(quán)21 928條，占51.710%。

日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind資訊金融終端。具體的，采用2015年2月9日至2017年4月18日共計(jì)530個(gè)交易日(已剔除發(fā)生熔斷的2016年1月4日和1月7日)的50ETF日內(nèi)1分鐘價(jià)格數(shù)據(jù)，計(jì)算已實(shí)現(xiàn)核RK；采用50ETF日內(nèi)5分鐘價(jià)格數(shù)據(jù)，計(jì)算已實(shí)現(xiàn)中值波動(dòng)率MedRV和積分4 次冪估計(jì)量MedRQ；采用BNS方法在99%的置信水平下檢驗(yàn)顯著跳躍，得到濾除價(jià)格跳躍的波動(dòng)序列后，進(jìn)一步用200天滾動(dòng)窗內(nèi)計(jì)算的4倍標(biāo)準(zhǔn)差作為門(mén)限值，濾除波動(dòng)跳躍(共剔除7天，約1.321%的數(shù)據(jù))；最后采用HANSEN et al.[12]的比例調(diào)整法，構(gòu)建RVt序列。

關(guān)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，選擇上海銀行間拆借利率(Shibor)。Shibor數(shù)據(jù)由全國(guó)銀行間同業(yè)拆借中心提供，可從Shirbor官網(wǎng)下載得到。每一天的Shibor數(shù)據(jù)共有8種可得的期限：隔夜、1 周、2 周、1 個(gè)月、3個(gè)月、6 個(gè)月、9 個(gè)月和1 年。具體的，在進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)時(shí)，以每天的Shibor隔夜利率作為當(dāng)天對(duì)應(yīng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；在計(jì)算Black-Scholes隱含波動(dòng)率時(shí)，存續(xù)期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率采用期限和期權(quán)到期時(shí)間一致的Shibor利率，并采用線性插值方法計(jì)算得到相鄰期限之間的Shibor利率，如用期限為1個(gè)月和3個(gè)月的利率插值得到期限為2個(gè)月的利率。

3.2 數(shù)據(jù)分析

圖1給出2015年2月9日至2017年4月18日的上證50ETF日收盤(pán)價(jià)的走勢(shì)圖(1(a))和Shibor隔夜利率的走勢(shì)圖(1(b))?？梢钥吹?，50ETF收盤(pán)價(jià)在2015年上半年的大牛市經(jīng)歷了巨幅增長(zhǎng)，在2015年6月達(dá)到最高，隨后快速震蕩跌落，在2015年8月和2016年1月有兩次觸底。Shibor隔夜利率在2015年3月至6月期間發(fā)生大幅下調(diào)，此后略有回升并相對(duì)較為穩(wěn)定。

(a)上證50ETF收盤(pán)價(jià)

(b)Shibor隔夜利率

圖150ETF收盤(pán)價(jià)和Shibor隔夜利率時(shí)間序列圖
Figure 1Time Series Plots of 50ETF Close Prices and Shibor Overnight Rates

(a)Rt 的Q-Q圖

圖2 50ETF對(duì)數(shù)日收益率正態(tài)性檢驗(yàn)Q-Q圖Figure 2 Normality Test Q-Q Plots of 50ETF Logarithmic Daily Returns

表2 50ETF已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)估計(jì)量的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 Results for Descriptive Statistics of 50ETF Realized Volatility Estimator

表2給出本研究構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)估計(jì)量RVt的描述性統(tǒng)計(jì)。表2中，LB(5)、LB(10)、LB(20)分別為滯后5階、10階、20階的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量的p值。ADF檢驗(yàn)表明，本研究構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)是一個(gè)平穩(wěn)序列；3個(gè)Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量表明5階、10階和20階不相關(guān)的原假設(shè)都被顯著拒絕，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)具有長(zhǎng)記憶性。

為了更細(xì)致地分析各模型對(duì)50ETF期權(quán)的定價(jià)性能，根據(jù)期權(quán)類型、實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間進(jìn)行分類。首先，將期權(quán)合約價(jià)格數(shù)據(jù)按照到期時(shí)間τ分為4類：①超短期：τ≤30；②短期：30 <τ≤60；③中期：60 <τ≤120；④長(zhǎng)期：τ>120。

表3 看漲和看跌期權(quán)根據(jù)實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間分類的觀測(cè)數(shù)和平均隱含波動(dòng)率Table 3 Number of Observations and Average Implied Volatility for Call and Put Options Sorted by Moneyness and Maturity Categories

表3分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)兩部分，表中數(shù)據(jù)為相應(yīng)類別下的期權(quán)合約價(jià)格觀測(cè)數(shù)，括號(hào)內(nèi)數(shù)據(jù)為相應(yīng)類別下所有期權(quán)Black-Scholes隱含波動(dòng)率的平均值。例如，看漲期權(quán)中的423(0.449)，表示共有423個(gè)超短期(τ≤30)、深度實(shí)值看漲期權(quán)(u≤0.900)價(jià)格觀測(cè)值，這些期權(quán)的Black-Scholes隱含波動(dòng)率平均值為0.449。由表3可知，無(wú)論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，無(wú)論期權(quán)的到期時(shí)間是短或長(zhǎng)，隱含波動(dòng)率都表現(xiàn)出非常明顯的“波動(dòng)率微笑”特征，即平值期權(quán)的隱含波動(dòng)率較小，實(shí)值和虛值期權(quán)的隱含波動(dòng)率較大。

3.3 模型估計(jì)結(jié)果分析

表4 4個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 4 Parameter Estimation Results for the Four Models

分析表4的參數(shù)估計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(2)HARGL模型(第2列)的日、周、月已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)回歸量系數(shù)均顯著為正，而且逐漸減小，表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)過(guò)去值對(duì)現(xiàn)值的貢獻(xiàn)程度隨時(shí)間窗口的推遠(yuǎn)而逐漸減弱；

(3)HARGHL模型(第3列)的杠桿效應(yīng)參數(shù)ω顯著為正，且日、周、月杠桿系數(shù)均顯著為正，表明50ETF波動(dòng)存在顯著的異質(zhì)杠桿效應(yīng)，利空消息比利好消息對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響明顯更大；

(4)HARGL-S模型(第4列)的已實(shí)現(xiàn)正半差系數(shù)均不顯著，日、周已實(shí)現(xiàn)負(fù)半差系數(shù)均顯著為正，且逐漸減小，表明50ETF波動(dòng)存在顯著的日內(nèi)非對(duì)稱性，日內(nèi)價(jià)格下行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的影響明顯更大，而已實(shí)現(xiàn)負(fù)半差對(duì)波動(dòng)的貢獻(xiàn)隨時(shí)間窗的推遠(yuǎn)而減弱；

(5)HARGHL-S模型(第5列)表現(xiàn)出與HARGL-S模型一致的日內(nèi)非對(duì)稱性，然而相對(duì)于同樣引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型，其杠桿效應(yīng)參數(shù)ω并不顯著，表明正、負(fù)半差和異質(zhì)杠桿在對(duì)未來(lái)波動(dòng)的影響方面可能有部分重疊。

(6)比較4個(gè)模型的對(duì)數(shù)似然值可以發(fā)現(xiàn)，引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型和引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差的HARGL-S模型比HARGL模型的擬合程度都有所提升，而同時(shí)引入異質(zhì)杠桿和已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差的HARGHL-S模型則具有最好的擬合程度。

3.4 期權(quán)定價(jià)性能比較

與CORSI et al.[1]和MAJEWSKI et al.[2]一致，選擇模型在期權(quán)價(jià)格上的均方根誤差(RMSEP)和模型在隱含波動(dòng)率上的均方根誤差(RMSEIV)作為評(píng)價(jià)期權(quán)定價(jià)性能的指標(biāo)，兩者定義為

(14)

表5 4個(gè)模型對(duì)看漲和看跌期權(quán)定價(jià)的總體表現(xiàn)Table 5 Overall Option Pricing Performance for Call and Put Options of the Four Models

由表5可知，無(wú)論是RMSEP指標(biāo)還是RMSEIV指標(biāo)，HARGHL模型、HARGL-S模型和HARGHL-S模型對(duì)期權(quán)定價(jià)的總體表現(xiàn)都優(yōu)于基礎(chǔ)的HARGL模型(均方根誤差比例值都小于1)，因此引入異質(zhì)杠桿和正、負(fù)半差均可以提高模型的期權(quán)定價(jià)能力。其中，對(duì)于看漲期權(quán)，在RMSEP指標(biāo)下，同時(shí)引入正、負(fù)半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型最優(yōu)，僅引入正、負(fù)半差的HARGL-S模型稍次之，均方根誤差與HARGL模型相應(yīng)誤差的比例分別為0.892和0.897；在RMSEIV指標(biāo)下，引入正、負(fù)半差的HARGL-S模型最優(yōu)，同時(shí)引入正、負(fù)半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型稍次之，均方根誤差與HARGL模型相應(yīng)誤差的比例分別為0.862和0.880。因此，引入正、負(fù)半差對(duì)于看漲期權(quán)的定價(jià)性能提升較為明顯。對(duì)于看跌期權(quán)，在RMSEP和RMSEIV指標(biāo)下，同時(shí)引入正、負(fù)半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型都是最優(yōu)的，均方根誤差與HARGL模型相應(yīng)誤差的比例分別為0.806和0.805；而引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型稍次之，誤差減少幅度也都達(dá)到15%以上?？梢哉J(rèn)為引入異質(zhì)杠桿對(duì)于看跌期權(quán)的定價(jià)性能改善發(fā)揮了更重要作用。另外，同時(shí)引入正、負(fù)半差和異質(zhì)杠桿的HARGHL-S模型在RMSEP指標(biāo)和RMSEIV指標(biāo)下，對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)基本都有最好的總體定價(jià)表現(xiàn)，因此是50ETF期權(quán)定價(jià)的首選模型。

為了更細(xì)致地分析模型對(duì)不同類型期權(quán)的定價(jià)能力，表6和表7分別給出根據(jù)實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間對(duì)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)進(jìn)行劃分后，4個(gè)模型對(duì)各類別期權(quán)的定價(jià)誤差，分為期權(quán)價(jià)格均方根誤差和隱含波動(dòng)率均方根誤差兩部分。在每個(gè)部分，依次列出HARGL模型對(duì)各類期權(quán)定價(jià)的均方根誤差，以及HARGHL模型、HARGL-S模型和HARGHL-S模型相對(duì)于HARGL模型的表現(xiàn)。與表5類似，表現(xiàn)值小于1說(shuō)明該模型優(yōu)于HARGL模型。表5中根據(jù)期權(quán)定價(jià)總體表現(xiàn)判定為最優(yōu)的模型，表6和表7也相應(yīng)用粗體標(biāo)出。

由表6可知，引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)性能的改善，主要體現(xiàn)在非深度實(shí)值(u>0.900)的超短期和短期(τ≤30，30 <τ≤60)看漲期權(quán)上。例如，在期權(quán)價(jià)格均方根誤差部分的HARGL-S/HARGL價(jià)格誤差中，除u≤0.900那行外，第2列和第3列的值都不超過(guò)0.793，表明當(dāng)用于非深度實(shí)值的超短期和短期看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGL-S模型的RMSEP減小幅度都在20% 以上；同樣，在HARGHL-S/HARGL價(jià)格誤差中，除u≤0.900那行外，第2列和第3列的值都不超過(guò)0.826，表明當(dāng)用于非深度實(shí)值的超短期和短期看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL-S模型的RMSEP減小幅度都在17%以上。在隱含波動(dòng)率均方根誤差部分，隱含波動(dòng)率誤差也有與上述基本一致的分析，

表6 4個(gè)模型對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)根據(jù)實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間的分類比較Table 6 Call Option Pricing Performance of the Four Models Sorted by Moneyness and Maturity Categories

表7 4個(gè)模型對(duì)看跌期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)根據(jù)實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間的分類比較Table 7 Comparisons on Put Option Pricing Performance of the Four Models Sorted by Moneyness and Maturity Categories

由于篇幅的限制不再一一列出。

由表7可知，引入異質(zhì)杠桿對(duì)看跌期權(quán)定價(jià)性能的改善，主要體現(xiàn)在非深度實(shí)值(u≤1.100)的超短期和短期(τ≤30，30 <τ≤60)看跌期權(quán)上。例如，在期權(quán)價(jià)格均方根誤差部分的HARGHL/HARGL價(jià)格誤差中，除u>1.100那行外，第2列和第3列的值都不超過(guò)0.804，最小值為0.583，表明當(dāng)用于非深度實(shí)值的超短期和短期看跌期權(quán)定價(jià)時(shí)，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL模型的RMSEP減小幅度都在19.600%以上，最大可達(dá)41.700%；在HARGHL-S/HARGL價(jià)格誤差中，除u>1.100那行外，第2列和第3列的值都不超過(guò)0.794，最小值為0.517，表明當(dāng)用于非深度實(shí)值的超短期和短期看跌期權(quán)定價(jià)時(shí)，與HARGL模型的RMSEP相比，HARGHL-S模型的RMSEP減小幅度都在20.600%以上，最大可達(dá)48.300%。隱含波動(dòng)率均方根誤差部分的隱含波動(dòng)率誤差也有與上述基本一致的分析，由于篇幅的限制不再一一列出。

4 結(jié)論

本研究探索基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率在50ETF期權(quán)定價(jià)中的運(yùn)用。假設(shè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)調(diào)整后的對(duì)數(shù)日收益率具有正態(tài)分布，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的條件分布為非中心伽馬分布。首先，構(gòu)建HARGL模型[1]刻畫(huà)伽馬分布的位置參數(shù)；其次，在位置參數(shù)模型中引入異質(zhì)杠桿，構(gòu)建HARGHL模型[2]；最后，考慮到日內(nèi)價(jià)格上行、下行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)未來(lái)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)可能具有不同影響，提出在位置參數(shù)模型中引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差，將上述兩個(gè)模型相應(yīng)改進(jìn)為HARGL-S模型和HARGHL-S模型。

使用2017年4月18日之前到期的所有50ETF期權(quán)合約及相應(yīng)50ETF高頻價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，研究結(jié)果表明，①僅引入異質(zhì)杠桿或者僅引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差都可以提高模型的擬合能力，而將兩者同時(shí)引入的HARGHL-S模型則具有最優(yōu)的擬合結(jié)果。②中國(guó)股市波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)溢酬顯著為正，有必要對(duì)波動(dòng)率模型參數(shù)估計(jì)進(jìn)行從真實(shí)測(cè)量到風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)量的轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛模擬法的期權(quán)定價(jià)。③在期權(quán)價(jià)格和隱含波動(dòng)率誤差指標(biāo)下，無(wú)論是對(duì)于看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，僅引入異質(zhì)杠桿的HARGHL模型、僅引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差的HARGL-S模型，以及同時(shí)引入異質(zhì)杠桿和已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差的HARGHL-S模型，都比基本的HARGL模型有更強(qiáng)的期權(quán)定價(jià)能力，其中HARGHL-S模型對(duì)50ETF期權(quán)的定價(jià)能力總體最優(yōu)。④引入已實(shí)現(xiàn)正、負(fù)半差對(duì)于看漲期權(quán)的定價(jià)性能提升較為明顯，主要體現(xiàn)在非深度實(shí)值超短期和短期看漲期權(quán)上；引入異質(zhì)杠桿對(duì)看跌期權(quán)的定價(jià)性能提升較為明顯，主要體現(xiàn)在非深度實(shí)值超短期和短期看跌期權(quán)上。

本研究將基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率運(yùn)用于50ETF期權(quán)定價(jià)，研究成果為投資者和監(jiān)管者提供了相對(duì)更為精確的HARGHL-S期權(quán)定價(jià)模型，有利于50ETF期權(quán)在中國(guó)金融市場(chǎng)更好地發(fā)揮價(jià)格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險(xiǎn)管理的作用。此外，本研究首次運(yùn)用50ETF期權(quán)上市兩年來(lái)的完整數(shù)據(jù)，細(xì)分期權(quán)類型、實(shí)虛值狀態(tài)和到期時(shí)間進(jìn)行模型定價(jià)性能分析，揭示了該模型對(duì)不同類型期權(quán)合約定價(jià)能力改進(jìn)程度的差異，有益于市場(chǎng)參與者進(jìn)行更精細(xì)化的期權(quán)投資決策。

本研究?jī)H是將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型運(yùn)用于50ETF期權(quán)定價(jià)的初步探索，實(shí)證采用的4種模型只在HAR模型基礎(chǔ)上考慮了各類杠桿效應(yīng)的引入。大量關(guān)于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的研究成果表明，通過(guò)改進(jìn)波動(dòng)估計(jì)量[16]、合理引入外生變量[18-20,41]等方式，可以在基本不增加模型估計(jì)復(fù)雜度的情況下，進(jìn)一步提升對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。因此，本研究下一步的工作將借鑒并拓展這些研究成果，進(jìn)一步改進(jìn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的異質(zhì)自回歸伽馬模型，以期獲得更為準(zhǔn)確的期權(quán)定價(jià)能力。