季榮峰 何雪云 梁 彥
(南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,南京,210003)
與傳統(tǒng)多輸入多輸出(Multiple-input-multiple-output,MIMO)相比,大規(guī)模MIMO在基站配置數(shù)十甚至數(shù)百根天線[1]。天線數(shù)目的增加大大地提高了系統(tǒng)的能源和頻譜效率,達(dá)到2~3個(gè)數(shù)量級(jí),大規(guī)模MIMO也因此成為5G的熱點(diǎn)研究方向之一[2-3]。
作為最優(yōu)的檢測(cè)算方法,最大似然(Maximum likelihood,ML)算法[4]存在復(fù)雜度隨天線數(shù)量的增多呈指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的缺點(diǎn)。最小均方誤差(Minimum mean square error,MMSE)算法[5]因?yàn)榧尤肓擞?jì)算量為O(K3)的矩陣求逆運(yùn)算,效果也不理想。為了簡(jiǎn)化MMSE算法中的矩陣求逆運(yùn)算,文獻(xiàn)[6]利用了Neumann級(jí)數(shù)方法,但是當(dāng)展開級(jí)數(shù)超過(guò)2時(shí)復(fù)雜度太高,達(dá)到O(K3)。文獻(xiàn)[7]將高斯-賽得爾(Gauss Seidel,GS)迭代方法應(yīng)用到檢測(cè)中,避免了高復(fù)雜度,同時(shí)得到了接近最優(yōu)的檢測(cè)性能。文獻(xiàn)[8]提出了一種混合迭代算法,其復(fù)雜度低至O(K2),并且利用最速下降(Steepest descent,SD)算法為GS迭代提供有效的收斂方向,加快收斂速度,提高檢測(cè)性能。
此外,檢測(cè)的判決都有涉及到用于信道譯碼器的對(duì)數(shù)似然比(Log likelihood ratio,LLR),它的計(jì)算需要用到后驗(yàn)信號(hào)噪聲及干擾比(Signal to interference plus noise,SINR)。現(xiàn)在大部分的研究都利用初始迭代SINR來(lái)完成所有迭代判決,因此有著顯著的性能損失。本文改進(jìn)了LLR的近似計(jì)算方法,使SINR隨著迭代次數(shù)m更接近精確SINR,從而改善了檢測(cè)性能。
本文主要研究大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的上行鏈路,在基站配備N根接收天線,同時(shí)服務(wù)K個(gè)用戶(N?K)。令y∈CN×1表示基站端接收到的信號(hào)矢量,x=[x1,x2,…,xK]∈CK×1表示K個(gè)用戶發(fā)射的信號(hào)矢量,這里xk∈Q是來(lái)自第k個(gè)用戶的發(fā)送信息,Q為調(diào)制符號(hào)集。H∈CN×K表示信道矩陣,則接收信號(hào)y可以表示為
式中:n表示0均值、方差為σ2的N×1維加性高斯白噪聲矢量。
經(jīng)過(guò)MMSE信號(hào)檢測(cè),基站端對(duì)發(fā)射信號(hào)的估計(jì)為
式中^=HHy。MMSE檢測(cè)器的濾波矩陣W可表示為
式中:G=HHH是格拉姆矩陣,W-1是MMSE算法復(fù)雜度高的主要原因,其計(jì)算量達(dá)到O(K3)。
信道譯碼時(shí)會(huì)涉及到對(duì)數(shù)似然比LLR。令U=W-1G代表均衡后的等效信道矩陣,Ui,j為U的第(i,j)個(gè)元素。令E=W-1HH(W-1HH)H=W-1GW-1,Ei,i為矩陣E的第i個(gè)對(duì)角元素。由MMSE加權(quán)矩陣處理后的均衡信號(hào)為
所以第i個(gè)用戶所發(fā)送的符號(hào)估計(jì)值為=^=ρixi+λi,這里ei表示K維單位矩陣的第i個(gè)列向量,ρi為均衡后的等效信道增益,可表示為
λi表示噪聲加干擾項(xiàng)(Noise plus interference term,NPI),方差為,分別可表示為
根據(jù)文獻(xiàn) [9]提出的max-log近似方法,能夠得到第i個(gè)用戶發(fā)送的第b個(gè)比特的對(duì)數(shù)似然比Li,b,即
式中:γi=/為第i個(gè)用戶的SINR,和分別表示第b位為0和1的調(diào)制符號(hào)集。
在解N維線性方程Ax=b時(shí),利用GS算法可以避免矩陣求逆。這里A為N×N維對(duì)稱正定矩陣,x和b分別為N×1維的解向量和測(cè)量向量。所以GS算法可以解決MMSE算法中W-1的計(jì)算,對(duì)于大規(guī)模MIMO上行鏈路,由于信道矩陣H符合滿秩并且列漸進(jìn)正交的條件,因此濾波矩陣W是對(duì)稱正定矩陣[4],可將W分解為
式中:D為W的對(duì)角矩陣,L和LH分別為W的嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角矩陣。所以利用GS算法對(duì)信號(hào)矢量x^可估計(jì)為
文獻(xiàn)[8]利用SD算法在迭代開始就能有很好搜索方向的特性[10-11],在基于GS算法的基礎(chǔ)上提出了一種復(fù)雜度低的混合迭代算法,稱為SDGS算法。SDGS算法能快速收斂并且獲得接近MMSE算法的檢測(cè)性能。SDGS用SD算法來(lái)表示前面兩次GS迭代。SD算法的第一次迭代可以表示為
式中r(1)=-Wx(1)=r(0)-up(0),把SD和GS迭代合并可得到
將GS的前兩次迭代表示為式(13),更新為混合迭代值=x(2),然后利用式(10)執(zhí)行接下來(lái)的m-1次迭代。
根據(jù)式(8)可以發(fā)現(xiàn)求對(duì)數(shù)似然比Li,b時(shí),必須再次涉及到W-1。為了降低復(fù)雜度,文獻(xiàn)[7-8]利用W的對(duì)角占優(yōu)特性用D-1來(lái)代替W-1,得到近似等效信道增益和NPI方差,分別表示為
2.3節(jié)介紹的近似對(duì)數(shù)似然比計(jì)算直接用D-1代替W-1,避免了求逆運(yùn)算,但是會(huì)有較大的性能損失。所以根據(jù)紐曼級(jí)數(shù)展開定理,把W-1按紐曼級(jí)數(shù)展開,根據(jù)迭代次數(shù)取前m項(xiàng)得到近似值,再取其對(duì)角元素矩陣。由于比D-1更接近W-1,所以得到的近似等效信道增益和NPI方差也更精確,最后求出SINR代入式(8)可得到更精確的Li,b,從而提高了檢測(cè)性能。
式(7)可重寫為
從式(16)可以看出,NPI方差可以用等效信道增益ρi來(lái)表示,式(5)可重寫為
由于W對(duì)角占優(yōu),用D-1來(lái)代替W-1可分別得到近似等效信道增益和NPI方差,即
定理1(Neumann級(jí)數(shù)展開[12]):對(duì)于一個(gè)K維矩陣P,同時(shí)滿足條件非奇異和,則(IKP)也是非奇異的,它的逆可以表示為
對(duì)于大規(guī)模MIMO上行鏈路,信道矩陣可以看成是列漸進(jìn)正交,因此G=HHH和W=G+σ2IK也是對(duì)稱正定的,根據(jù)定理1,W可重寫為在本文中,Q=D,D為W的對(duì)角元素矩陣,式(21)取前m項(xiàng),得到
式中Q-1是一任意矩陣,滿足
令θ=IK-D-1W,為的對(duì)角元素矩陣。dk,k為的第k個(gè)對(duì)角元素,和wk,k分別為W-1和W的第k個(gè)對(duì)角元素。
(1)當(dāng)m=1時(shí),=D-1,dk,k=≈。
(2)當(dāng)m=2時(shí),=D-1+θD-1,所以dk,k=≈+θk,k,其中θk,k為θ的第k個(gè)對(duì)角元素。
(3)當(dāng)m=3 時(shí),=D-1+θD-1+θ2D-1,所以dk,k=w′k.k≈+θk,k+θ′kθk,其中θ′k和θk分別為θ的第k個(gè)行向量和第k個(gè)列向量。
(4)當(dāng)m≥4時(shí),計(jì)算復(fù)雜度高達(dá)O(K3),因此W^-1m(m≥ 4)=W^-13。
根據(jù)式(18)可得到近似等效信道增益,即
根據(jù)迭代次數(shù)取不同的,得到新的近似值和,代入后計(jì)算出更接近精確值的SINR,從而算出新的LLR。因此,改進(jìn)后的LLR計(jì)算方法進(jìn)一步提高了檢測(cè)性能,在m很小時(shí)SDGS算法便能得到理想的結(jié)果。
本文給出了基于Matlab的仿真結(jié)果,系統(tǒng)配置為128×16(其中128為基站天線數(shù),16為用戶數(shù)),信道為相關(guān)瑞利衰落信道,相關(guān)系數(shù)為0.7?;鶐盘?hào)調(diào)制方式為64QAM,在接收端,信號(hào)解碼方式為Viterbi解碼。
圖1比較了普通GS迭代和混合迭代SDGS算法的檢測(cè)性能。由圖1可見,在m同樣時(shí),SDGS算法的性能遠(yuǎn)優(yōu)于普通GS迭代算法。圖2對(duì)比了SDGS算法和改進(jìn)LLR的SDGS算法的檢測(cè)性能。從仿真結(jié)果可以看出,經(jīng)過(guò)少量迭代,改進(jìn)LLR的SDGS算法優(yōu)于SDGS算法,并且它的性能曲線快速接近MMSE算法的性能曲線。比如,當(dāng)?shù)螖?shù)m=4時(shí),想要達(dá)到BER=10-3的條件,SDGS算法需要8 dB左右的信噪比,而改進(jìn)LLR的SDGS算法需要7 dB左右。
圖1 GS迭代和SDGS算法的BER對(duì)比Fig.1 Comparison of BER between GS and SDGS
圖2 SDGS和改進(jìn)SDGS算法的BER對(duì)比Fig.2 Comparison of BER between SDGS and improved SDGS
MIMO系統(tǒng)中,檢測(cè)性能受到信道空間相關(guān)性的影響。相關(guān)系數(shù)ξ(0≤ξ≤1)表示兩個(gè)相鄰天線之間的相關(guān)性[13]。從圖3可以觀察到,MMSE檢測(cè)算法的性能隨著相關(guān)系數(shù)的增大而變差。當(dāng)相關(guān)系數(shù)ξ=0.5時(shí),在相同迭代次數(shù)下,改進(jìn)LLR的SDGS算法比ξ=0.7時(shí)的檢測(cè)性能更逼近MMSE性能。為此,在ξ=0.7時(shí)可適當(dāng)?shù)脑黾拥螖?shù),如圖4所示。
圖3 相關(guān)系數(shù)分別0.5和0.7時(shí)的BERFig.3 Comparison of BER between ξ=0.5 and ξ=0.7
圖4 增加迭代次數(shù)后的BER比較Fig.4 Comparison of BER after increasing the number of iteration
由于所有的MMSE算法和本文提出的算法都有W=G+σ2IK和=HHy的計(jì)算,所以只考慮以下3部分:
(1)初始值和首次迭代:x(0)=D-1^需要K次乘法,首次迭代計(jì)算r(0),p(0)和標(biāo)量u,分別需要K2,K2和2K次。結(jié)合式(13)共需要2K2+6K次乘法。
(2)GS迭代部分:由式(10)得到一次GS迭代需要K2次乘法。
(3)LLR計(jì)算:主要來(lái)自于有效信道增益和NPI方差的計(jì)算以及的計(jì)算。計(jì)算ρi=1-和=ρi(1-ρi)分別需要3K和K次乘法,計(jì)算θ需要K2次,然后求dk,k,當(dāng)m=2時(shí)為K次,當(dāng)m≥3時(shí)為K2+2K次。
所以,改進(jìn)LLR的SDGS算法的總體復(fù)雜度是O(K2),與m有關(guān),具體如表1,一般m都很小。表2給出了當(dāng)SINR=8時(shí),SDGS和改進(jìn)LLR的SDGS算法在不同m下的BER以及恢復(fù)1 000比特所需要的時(shí)間。
表1 3種檢測(cè)算法計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比Tab.1 Complexity comparison between three algorithms
表2 兩種檢測(cè)算法的計(jì)算時(shí)間和BER對(duì)比Tab.2 Comparison of computing time and BER between two algorithms
在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中,雖然MMSE算法性能接近ML算法性能,但是因?yàn)閺?fù)雜度太高(O(K3))的原因很難應(yīng)用在實(shí)際中。SDGS算法將復(fù)雜度降為O(K2),同時(shí)檢測(cè)性能比GS算法好。本文基于SDGS算法,提出了一種改進(jìn)LLR的SDGS算法,檢測(cè)性能得到了進(jìn)一步提高,只需要少量迭代次數(shù)就可以獲得接近MMSE的檢測(cè)性能,同時(shí),算法復(fù)雜度保持在O(K2)。仿真結(jié)果表明,對(duì)于大規(guī)模MIMO系統(tǒng),所提出的改進(jìn)LLR的SDGS算法具有更大的優(yōu)勢(shì)。