磁庫(kù)侖定律法優(yōu)化液動(dòng)巖屑清潔工具扭矩研究

孫曉峰，胡喬波，閆立鵬，陳 燁，姚 笛

(1.高效鉆井破巖技術(shù)國(guó)家工程研究室，黑龍江 大慶 163318；2.東北石油大學(xué)，黑龍江 大慶 163318；3.中國(guó)石化石油工程研究院，北京 100000)

0 引 言

定向井、水平井鉆井[1-2]過程中，巖屑床[3-4]堆積問題影響鉆井效率，是鉆具卡鉆、拖壓和扭矩?fù)p失的原因之一。針對(duì)水平井鉆井過程中巖屑床堆積問題，傳統(tǒng)方法是采用增大鉆井液排量[5]、調(diào)整鉆井液流變性能[6]、提高鉆桿轉(zhuǎn)速或短起下鉆具[7]加以改善。近年來(lái)，國(guó)外鉆井公司研發(fā)了井眼清潔工具[8-9]，提高井眼清潔效率。G.Swielik設(shè)計(jì)了2種在工具本體上加裝直翼形葉片[10]和V型葉片[11]的巖屑清潔工具，利用葉片旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)環(huán)空[12-13]，提高鉆井液的攜屑能力。但這類井眼清潔工具需鉆桿提供動(dòng)力，當(dāng)使用井下動(dòng)力造斜時(shí)，因鉆桿柱不旋轉(zhuǎn)而導(dǎo)致巖屑清潔工具失效。為解決水平井鉆井過程中的井眼清潔問題，孫曉峰[14-15]等人提出了一種液力-磁耦合傳動(dòng)的巖屑清潔工具，這種工具的動(dòng)力源自鉆桿內(nèi)鉆井液流動(dòng)勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，通過磁力傳動(dòng)帶動(dòng)鉆桿外部清潔葉片旋轉(zhuǎn)，誘導(dǎo)環(huán)空鉆井液產(chǎn)生螺旋流動(dòng)，提高鉆井液攜屑能力。該工具的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)是磁力傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及磁扭矩設(shè)計(jì)。孫曉峰等[16]提出采用有限元模擬方法優(yōu)化設(shè)計(jì)磁傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，取得了良好的效果。但這種方法不能精確描述磁傳動(dòng)機(jī)理的本質(zhì)。因此，此次研究將基于磁庫(kù)侖定律進(jìn)行磁力傳動(dòng)理論數(shù)學(xué)模型構(gòu)建研究，揭示磁力傳動(dòng)本質(zhì)。

1 液動(dòng)巖屑清潔工具工作原理

液動(dòng)巖屑清潔工具由液壓動(dòng)能轉(zhuǎn)換總成、永磁傳動(dòng)總成(包括永磁鐵主、從動(dòng)磁軸)、永磁巖屑清潔葉片、工具殼體及附屬部件構(gòu)成(圖1)。

圖1 液動(dòng)巖屑清潔工具結(jié)構(gòu)示意圖

液動(dòng)巖屑清潔工具殼體的兩端為公母接頭，通過絲扣與鉆桿連接。液壓動(dòng)能轉(zhuǎn)換總成由單級(jí)或多級(jí)液壓渦輪[17-18]組成，為工具運(yùn)轉(zhuǎn)提供動(dòng)力；永磁傳動(dòng)總成由主、從動(dòng)磁軸構(gòu)成，是實(shí)現(xiàn)鉆桿內(nèi)外能量交流的基礎(chǔ)；永磁巖屑清潔葉片[19-20]是一組螺旋葉片，其作用是擾動(dòng)環(huán)空鉆井液，提高其攜屑能力。

液動(dòng)巖屑清潔工具將鉆桿內(nèi)部鉆井液的勢(shì)能通過液壓渦輪轉(zhuǎn)化為磁傳動(dòng)旋轉(zhuǎn)動(dòng)能，帶動(dòng)巖屑清潔葉片旋轉(zhuǎn)，提高井眼清潔效率。該工具以鉆井液的流動(dòng)為動(dòng)力基礎(chǔ)，不依靠鉆桿旋轉(zhuǎn)提供轉(zhuǎn)矩能量，可實(shí)現(xiàn)自旋轉(zhuǎn)，解決水平井段與連續(xù)油管鉆井中巖屑清潔工具失效問題，縮短鉆井周期，提高鉆井速率。

磁傳動(dòng)利用永磁鐵間同極相斥、異極相吸的原理，通過磁場(chǎng)實(shí)現(xiàn)鉆桿內(nèi)部能量向環(huán)空中的單向輸送。其磁傳動(dòng)的簡(jiǎn)化模型如圖2所示，當(dāng)主動(dòng)磁軸沿速度V方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)磁軸永磁鐵受到主動(dòng)磁軸永磁鐵磁力(包括斥力Fa和引力Fb，合力F方向與速度V方向相同)作用，從動(dòng)磁軸隨主動(dòng)磁軸共同旋轉(zhuǎn)，完成磁扭矩傳遞。

圖2 磁傳動(dòng)原理簡(jiǎn)化模型

2 磁扭矩理論計(jì)算模型

磁傳動(dòng)機(jī)構(gòu)依靠施加在永磁鐵間的相互作用力來(lái)傳遞扭矩和能量。根據(jù)等效磁荷理論[21-20]，假定永磁鐵磁荷聚集在兩磁極端面，將磁極與電極類比，引入磁庫(kù)侖定律，對(duì)磁力矩進(jìn)行數(shù)值求解。

對(duì)于簡(jiǎn)單的條形永磁鐵間相互作用力的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，而對(duì)于復(fù)雜形狀的瓦形永磁鐵間的磁力計(jì)算就較為困難。此次研究將先推導(dǎo)條形永磁鐵間磁力作用解析公式，進(jìn)而采用類比推理的方法，對(duì)瓦形永磁鐵間磁力進(jìn)行計(jì)算，推導(dǎo)出瓦型磁鐵磁扭矩的解析表達(dá)式。

2.1 條形永磁鐵間相互作用計(jì)算

對(duì)于條形永磁鐵間的相互作用，它們的邊線相互平行(圖3)。磁化強(qiáng)度J和J′被認(rèn)為在每個(gè)磁鐵中是均勻的，方向?yàn)镺z軸方向。在圖3中，當(dāng)J和J′同向時(shí)，磁鐵間為吸引力，當(dāng)J和J′方向相反時(shí)，磁鐵間為斥力，計(jì)算結(jié)果不變。在2個(gè)磁體中心建立直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O和O′。在Oxyz參考系中，O′坐標(biāo)是(α，β，γ)。第1塊永磁鐵的長(zhǎng)寬高分別為2m、2p、2n；第2塊永磁鐵的長(zhǎng)寬高分別為2M、2P、2N，單位為m。

圖3 條形永磁鐵磁力計(jì)算模型

磁化強(qiáng)度J和J′在磁體中被認(rèn)為是均勻的，磁荷分布在磁極端面上，故磁荷面密度為：

(1)

由于J垂直于xOy平面，因此，磁力作用面的磁荷面密度皆為σ，在數(shù)值上等于J。引入磁庫(kù)侖定律，以面1、2為例，面1在面2上任意一點(diǎn)(X，Y，Z)處激發(fā)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：

(2)

式中：H為磁場(chǎng)強(qiáng)度，A/m；μ0為相對(duì)磁導(dǎo)率，4×10-7H/m。

對(duì)式(2)進(jìn)行積分運(yùn)算，得到面1對(duì)面2上任意一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度解析表達(dá)式為：

(3)

(4)

式中：i、j取值為0和1，可控制方程中的長(zhǎng)寬邊界；ε為式(2)的積分簡(jiǎn)化表達(dá)式。

根據(jù)磁庫(kù)侖定律，面2上任意一點(diǎn)位置的磁場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)所帶磁荷量的乘積為該點(diǎn)所受磁力，將這一數(shù)值在整個(gè)面2上進(jìn)行積分得到磁力表達(dá)式：

(5)

(6)

式中：F為磁力，N；r為極徑，m；σ′為另一塊磁鐵的磁荷面密度，A/m。

式(5)積分后得到2個(gè)條形磁鐵相互作用力的解析表達(dá)式為：

(7)

(8)

(9)

式中：q、e、k、l取值為0和1，與式(4)中的i、j共同控制2塊磁鐵的長(zhǎng)寬高取值。

式(7)較復(fù)雜，展開后包含256項(xiàng)，需借助MATLAB輔助計(jì)算。

2.2 瓦形永磁鐵間相互作用力計(jì)算

類比于條形磁鐵磁力計(jì)算，建立瓦形永磁鐵磁力計(jì)算模型(圖4)。瓦形磁鐵計(jì)算的難點(diǎn)在于其磁極端面為曲面，在直角坐標(biāo)系中不能對(duì)曲面進(jìn)行精確描述，故以磁軸中心線為z軸，y軸穿過磁鐵中心，建立柱面坐標(biāo)系。結(jié)合圖3，磁化強(qiáng)度J和J′在磁體中均勻分布，指向磁軸中心線，2個(gè)永磁鐵的高度為2z，磁鐵厚度為h(m)；寬度為2λ(°)；氣隙厚度為th(m)；2個(gè)永磁鐵的偏角為η(°)。下面以氣隙邊界面1、2為例，計(jì)算瓦形磁鐵間的相互作用力。

圖4 瓦形永磁鐵磁力計(jì)算模型

面1、2上任意一點(diǎn)坐標(biāo)分別為(R1，θ，Z)，(R2，δ，z)。類比于條形磁鐵計(jì)算，瓦形磁鐵作用極徑為：

(10)

參考條形磁鐵磁力表達(dá)式(4)，對(duì)式(10)進(jìn)行積分，解得瓦形磁鐵磁力表達(dá)式為：

(11)

式中：F12為面1和面2間的磁力，N·m。

式(11)計(jì)算極為困難，需使用MATLAB編寫程序代碼輔助計(jì)算。

同理，可以得出面1、4間的磁力F14，面2、3間的磁力F23，面3、4間的磁力F34。其中，F(xiàn)12、F34為吸引力，記為正；F14、F23為排斥力，記為負(fù)。故瓦形磁體間磁力作用合力為：

F=F12+F14+F23+F34

(12)

由于磁力作用主要發(fā)生在氣隙，因此，合力F的方向是由主動(dòng)磁軸磁鐵氣隙端面中心A點(diǎn)指向從動(dòng)磁軸磁鐵氣隙端面中心B點(diǎn)，磁體受力截面示意圖如圖5所示。

圖5 磁體受力截面示意圖

對(duì)合力F進(jìn)行分解，沿圓周方向切向作用力F2對(duì)從動(dòng)磁軸產(chǎn)生扭力作用。F2表達(dá)式為：

F2=Fsin(∠4)

(13)

分析圖5中受力，令∠1=φ，A點(diǎn)坐標(biāo)為(R1，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(R2cosφ，-R2sinφ)。在△ABC中解得∠2的大小為：

(14)

在△OAB中解得∠3的大小為：

(15)

根據(jù)對(duì)角相等的原理，有∠4=∠3，故將式(15)代入式(13)中，得到瓦形磁鐵磁扭力解析表達(dá)式為：

(16)

扭力與力臂的乘積為磁傳動(dòng)機(jī)構(gòu)所傳遞的扭矩。在該機(jī)構(gòu)中力臂長(zhǎng)度為R2。整個(gè)機(jī)構(gòu)所受的合扭矩為多對(duì)磁偶產(chǎn)生的磁扭矩之和，磁偶對(duì)數(shù)為n，故推得機(jī)構(gòu)所傳遞合磁扭矩表達(dá)式為：

(17)

式中：T為磁扭矩，N·m。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的模型，設(shè)計(jì)液動(dòng)巖屑清潔工具磁扭矩傳遞室內(nèi)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停M(jìn)行磁扭矩測(cè)量，測(cè)量不同相對(duì)磁軸偏角下的磁扭矩值。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)如表1所示。

表1 磁傳動(dòng)模型基本參數(shù)

磁偶數(shù)量選擇為8對(duì)，永磁鐵選用釹鐵硼(NdFeB)材料永磁鐵，永磁鐵長(zhǎng)度為15 mm，永磁鐵端面有效橫截面積為71%，永磁鐵剩磁為0.3T。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果誤差

由表2可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果誤差較小，最大誤差為8.25%，符合工程設(shè)計(jì)要求，理論計(jì)算模型可以用于液動(dòng)巖屑清潔工具磁扭矩設(shè)計(jì)。

4 理論計(jì)算結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提出的理論模型的合理性，將分析結(jié)果與使用ANSYS軟件APDL模塊獲得的2D有限元模擬結(jié)果進(jìn)行比較。在有限元分析中，按由內(nèi)而外的順序建模，將主動(dòng)磁軸內(nèi)徑、磁軸厚度、永磁鐵厚度、氣隙厚度等設(shè)置為可變參量，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。求解器選擇Electromagnetic-Nodal模塊，網(wǎng)格劃分類型為PLANE53，依次設(shè)置各永磁鐵屬性，進(jìn)行2D有限元模擬。

4.1 相對(duì)磁軸偏角對(duì)磁扭矩的影響規(guī)律

依照表1中建模結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別進(jìn)行理論計(jì)算和有限元模擬求解(表2)，繪制12對(duì)磁偶模型相對(duì)磁軸偏角與單位長(zhǎng)度磁扭矩變化關(guān)系曲線(圖6)。由表2可知，不同相對(duì)磁軸偏角下，磁扭矩的理論計(jì)算結(jié)果和有限元模擬結(jié)果基本一致。由圖6可知：磁扭矩隨相對(duì)磁軸偏角的增加呈先增大后減小的趨勢(shì)，在相對(duì)磁軸偏角為15 °時(shí)，即相對(duì)磁軸偏角為π/n時(shí)，單位長(zhǎng)度磁扭矩達(dá)到最大，為774.29 N·m/m，此時(shí)扭矩傳遞效率最高。

圖6 相對(duì)磁軸偏角與磁扭矩關(guān)系曲線

4.2 磁偶數(shù)量對(duì)磁扭矩的影響規(guī)律

根據(jù)表1磁傳動(dòng)模型參數(shù)，研究永磁鐵磁偶數(shù)量對(duì)最大磁扭矩的影響規(guī)律。在磁鐵體積相同的條件下，繪制磁偶數(shù)量與單位長(zhǎng)度最大磁扭矩關(guān)系曲線(圖7)。

由圖7可知，在8～12對(duì)磁偶數(shù)量范圍內(nèi)，單位長(zhǎng)度最大磁扭矩隨磁偶數(shù)量的上升逐漸增大，超過12對(duì)磁偶后不斷減小。在磁偶數(shù)量發(fā)生改變時(shí)，影響磁扭矩傳遞效率的因素主要有2種，分別為磁能儲(chǔ)積和磁漏損耗。磁能儲(chǔ)積是磁鐵在相互運(yùn)動(dòng)過程中，不同磁極在接觸、分離時(shí)產(chǎn)生的磁力作用，是磁扭矩傳遞的基礎(chǔ)。在磁偶數(shù)量較少時(shí)，磁能儲(chǔ)積起主要作用，磁扭矩不斷升高；當(dāng)磁偶數(shù)量超過12對(duì)時(shí)，磁漏損耗占主要方面，導(dǎo)致磁扭矩減小，降低扭矩傳遞效率。再者磁偶數(shù)量的上升，使工具零件數(shù)增加，增加生產(chǎn)成本及安裝費(fèi)用。綜上，最優(yōu)磁偶數(shù)量應(yīng)選擇為12對(duì)。

圖7 磁偶數(shù)量與單位長(zhǎng)度最大磁扭矩關(guān)系曲線

4.3 永磁鐵端面有效橫截面積對(duì)磁扭矩的影響規(guī)律

根據(jù)表1磁傳動(dòng)模型參數(shù)，研究永磁鐵端面有效橫截面積對(duì)最大磁扭矩的影響規(guī)律。永磁鐵端面有效橫截面積是指在同圓周上永磁鐵面積與整個(gè)圓周面積之比。繪制永磁鐵端面有效橫截面積與單位長(zhǎng)度最大磁扭矩關(guān)系曲線(圖8)。由圖8可知，在磁鐵端面有效橫截面積不斷增加的情況下，磁扭矩呈先增大后減小的趨勢(shì)，在93%～95%區(qū)間達(dá)到最大值。磁扭矩的增加主要由永磁鐵用量增加引起的，從經(jīng)濟(jì)角度考慮，單位體積產(chǎn)生磁扭矩更具有說(shuō)服力。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)永磁鐵端面有效橫截面積為80%時(shí)，單位永磁鐵體積產(chǎn)生的磁扭矩最高。

圖8 永磁鐵端面有效橫截面積與單位長(zhǎng)度最大磁扭矩曲線

5 結(jié) 論

(1) 液動(dòng)巖屑清潔工具理論計(jì)算模型與有限元模型和室內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，可以用于該工具的磁傳遞設(shè)計(jì)優(yōu)化。

(2) 液動(dòng)巖屑清潔工具在相對(duì)磁軸偏角為π/n(n為磁偶對(duì)數(shù))時(shí)取得磁扭矩最大值。

(3) 磁扭矩隨磁偶數(shù)量、永磁鐵端面有效橫截面積的增加，呈先增大后減小的趨勢(shì)；磁偶數(shù)量為10～14對(duì)，永磁鐵端面有效橫截面積為80%左右時(shí)，傳遞磁扭矩效率最高，也滿足工程技術(shù)要求。