代數(shù)群上由模糊（擬）偽度量誘導(dǎo)的拓?fù)?/h1>
2019-09-06 02:22:16涂金基謝利紅
涂金基，謝利紅
（1.江門(mén)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 江門(mén) 529000；2.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）
1 引言與記號(hào)
拓?fù)浯鷶?shù)是目前國(guó)際上研究的熱點(diǎn)方向之一，拓?fù)淙?、仿拓?fù)淙阂约鞍胪負(fù)淙旱仁瞧渲械闹饕芯繉?duì)象.
定義1[1]12設(shè)(G，×)是一個(gè)抽象的群，τ是G上的一個(gè)拓?fù)洌?/p>
1）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮亲筮B續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為左拓?fù)淙海?/p>
2）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮怯疫B續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為右拓?fù)淙海?/p>
3）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮锹?lián)合連續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為仿拓?fù)洌?/p>
4）設(shè)(G，τ)是一個(gè)仿拓?fù)淙?，如果G中的求逆運(yùn)算也是連續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)是一個(gè)拓?fù)淙?
本文簡(jiǎn)記(G，τ)為G.顯然每一個(gè)拓?fù)淙憾际且粋€(gè)仿拓?fù)淙?；每一個(gè)仿拓?fù)淙憾际且粋€(gè)左拓?fù)淙汉陀彝負(fù)淙?
作為度量的推廣，Kramosil等[4]引入了模糊度量.研究表明，模糊度量在研究模糊結(jié)構(gòu)方面是個(gè)強(qiáng)有力的工具[3，5-7]；一些拓?fù)鋵W(xué)家應(yīng)用模糊度量研究拓?fù)淙篬8-10]時(shí)發(fā)現(xiàn)：某些特殊的模糊（擬）度量將使一些拓?fù)浯鷶?shù)結(jié)構(gòu)變成更強(qiáng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).例如：
定理1[10]81設(shè)G是一個(gè)抽象群以及(M，*)是G上的一個(gè)左不變的模糊擬偽度量，如果(G，M，*)是一個(gè)模糊擬偽度量右拓?fù)淙海敲?G，M，*)是一個(gè)模糊仿拓?fù)淙?
本文主要研究抽象群上由一些特殊的模糊（擬）偽度量誘導(dǎo)的拓?fù)?下面介紹本文用到的定義和符號(hào).
定義2設(shè)X是一非空集合，d:X×X→[0，+∞)是一個(gè)函數(shù)：
1）若d滿(mǎn)足：i）對(duì)任意的x∈X有d(x，x)=0和ii）對(duì)任意的x，y，z∈X有d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)擬偽度量；
2）如果d是X上的一個(gè)擬偽度量且滿(mǎn)足：iii）對(duì)任意的x，y∈X有d(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)擬度量；
3）如果d是X上的一個(gè)擬偽度量且滿(mǎn)足：iv）對(duì)任意的x，y∈X有d(x，y)=d(y，x)，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)偽度量；
4）如果d是X上的一個(gè)偽度量且滿(mǎn)足上面的條件iii），則稱(chēng)d是X上的一個(gè)度量.
設(shè)X是一非空集合，d是X上的一個(gè)擬偽度量，記其中對(duì)任意的x∈X，ε＞0有：那么可知，τd是X上的一個(gè)拓?fù)洌姚耫是τd的拓?fù)浠?
定義3[11]318如果二元運(yùn)算*:[0，1]×[0，1]→[0，1]滿(mǎn)足如下條件，則稱(chēng)*是一個(gè)連續(xù)的t-模：
1）*滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律；2）*是連續(xù)的；3）對(duì)任意的a∈[0，1]有a*1=a；4）對(duì)任意的a，b，c，d∈[0，1]，如果有a≤c，b≤d，則有a*b≤c*d.
已知對(duì)于任意的連續(xù)t-模*有：*≤?，其中?是如下定義的連續(xù)t-模：
定義4[2]30設(shè)X是一集合，*一個(gè)連續(xù)t-模以及M是X×X×[0，+∞)上的一個(gè)模糊集，如果對(duì)于任意的x，y，z∈X和t，s＞0有（M，*）滿(mǎn)足：1）M（x，y，0）=0；2）M（x，x，t）=1；3）M（x，z，t+s）≥M（x，y，t）*M（y，z，s）；4）M（x，y，_）:[0，+∞)→[0，1]是左連續(xù)的，則稱(chēng)（M，*）是X上的一個(gè)模糊擬偽度量；如果（M，*）還滿(mǎn)足：5）M（x，y，t）=M（y，x，t）對(duì)任意的x，y∈X和t＞0，則稱(chēng)（M，*）是X上的一個(gè)模糊偽度量.
定義5[10]80設(shè)（M，*）是群G上的一個(gè)模糊偽度量，對(duì)任意的a，x，y∈G和t＞0，如果：
1）（M，*）滿(mǎn)足M(x，y，t)=M(ax，ay，t)，則稱(chēng)（M，*）是左不變的；
2）（M，*）滿(mǎn)足M(x，y，t)=M(xa，ya，t)，則稱(chēng)（M，*）是右不變的；
3）如果（M，*）既是左不變的，又是右不變的，則稱(chēng)（M，*）是不變的.
2 主要結(jié)果
定義6[2]31設(shè)X是一集合，（M，*）是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量，那么稱(chēng)(X，M，*)為一個(gè)模糊（擬）偽度量空間.
設(shè)(X，M，*)是一個(gè)模糊（擬）偽度量空間，記其中對(duì)任意的有：
引理1[8]110設(shè)(X，M，*)是一個(gè)模糊擬偽度量空間，那么τM是X上的一個(gè)拓?fù)?，而且βM構(gòu)成τM的一個(gè)拓?fù)浠?
定理2設(shè)G是一個(gè)抽象群，(M，*)是G上的一個(gè)模糊擬偽度量，則：
1）如果(M，*)是左不變的，那么(G，τM)是一個(gè)左拓?fù)淙海?/p>
2）如果(M，*)是右不變的，那么(G，τM)是一個(gè)右拓?fù)淙海?/p>
3）如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個(gè)仿拓?fù)淙?
證明設(shè)e是群G的單位元，記Be=｛M（e，ε，t）:ε∈（0，1），t＞0｝.
1）根據(jù)引理1可知τM是G上的一個(gè)拓?fù)?，下面證明群的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是左連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個(gè)開(kāi)集U，根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.又因?yàn)镸是左不變的，因此有xBM（y，ε，t）=BM（xy，ε，t）?U，顯然BM（y，ε，t）是y的開(kāi)鄰域，因此證明了群G的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是左連續(xù)的，從而(G，τM)是一個(gè)左拓?fù)淙?類(lèi)似可證2）.
3）根據(jù)引理1可知τM是G上的一個(gè)拓?fù)?，下面證明群的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是聯(lián)合連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個(gè)開(kāi)集U，根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.因?yàn)閠-模*是連續(xù)的，所以對(duì)于上面的ε可以找到ε0∈（0，1）滿(mǎn)足（1-ε0）*（1-ε0）＞1-ε.
從而xy∈BM（e，ε，t），這就證明了顯然是x的鄰域、是y的鄰域，下面只需證明即可.
注意到（M，*）既是左不變的又是右不變的，因此很容易驗(yàn)證：對(duì)任意的成立，所以有：得證.
（X，d）是一個(gè)（擬）偽度量空間，定義X×X×[0，+∞)上的模糊集那么（Md，?）就是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量，從而對(duì)于任意的t-模*有（Md，*）是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量.已知在X上由（Md，*）誘導(dǎo)的拓?fù)洇覯和由d誘導(dǎo)的拓?fù)洇觗是一樣的，所以根據(jù)定理2很容易得到以下結(jié)論：
推論1設(shè)G是一個(gè)抽象群，d是G上的一個(gè)擬偽度量，則：
1）如果d是左不變的，那么(G，τd)是一個(gè)左拓?fù)淙海?/p>
2）如果d是右不變的，那么(G，τd)是一個(gè)右拓?fù)淙海?/p>
3）如果d是不變的，那么(G，τd)是一個(gè)仿拓?fù)淙?
定理3設(shè)G是一個(gè)抽象群，(M，*)是G上的一個(gè)模糊偽度量，如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個(gè)拓?fù)淙?
證明因?yàn)槊恳粋€(gè)模糊偽度量都是一個(gè)模糊擬偽度量，因此根據(jù)定理2的3）可知(G，τM)是一個(gè)仿拓?fù)淙?下面只需證明G中的求逆運(yùn)算是連續(xù)的.
任取x∈G以及包含x-1的開(kāi)鄰域U.根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有x-1∈BM（x-1，ε，t）?U.下面只需證明BM（x，ε，t）-1?U即可.任取z∈BM（x，ε，t），由于(M，*)是不變的模糊偽度量，從而有：
這就證明了BM（x，ε，t）-1?U，所以(G，τM)是一個(gè)拓?fù)淙?
由定理3可以直接得到以下結(jié)論：
推論2設(shè)G是一個(gè)抽象群，d是G上的一個(gè)偽度量，如果d是不變的，那么(G，τd)是一個(gè)拓?fù)淙?
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涂金基，謝利紅
（1.江門(mén)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，廣東 江門(mén) 529000；2.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）
1 引言與記號(hào)
拓?fù)浯鷶?shù)是目前國(guó)際上研究的熱點(diǎn)方向之一，拓?fù)淙?、仿拓?fù)淙阂约鞍胪負(fù)淙旱仁瞧渲械闹饕芯繉?duì)象.
定義1[1]12設(shè)(G，×)是一個(gè)抽象的群，τ是G上的一個(gè)拓?fù)洌?/p>
1）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮亲筮B續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為左拓?fù)淙海?/p>
2）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮怯疫B續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為右拓?fù)淙海?/p>
3）如果群G上的乘法運(yùn)算×:G×G→G關(guān)于拓?fù)洇邮锹?lián)合連續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)為仿拓?fù)洌?/p>
4）設(shè)(G，τ)是一個(gè)仿拓?fù)淙?，如果G中的求逆運(yùn)算也是連續(xù)的，則稱(chēng)(G，τ)是一個(gè)拓?fù)淙?
本文簡(jiǎn)記(G，τ)為G.顯然每一個(gè)拓?fù)淙憾际且粋€(gè)仿拓?fù)淙?；每一個(gè)仿拓?fù)淙憾际且粋€(gè)左拓?fù)淙汉陀彝負(fù)淙?
作為度量的推廣，Kramosil等[4]引入了模糊度量.研究表明，模糊度量在研究模糊結(jié)構(gòu)方面是個(gè)強(qiáng)有力的工具[3，5-7]；一些拓?fù)鋵W(xué)家應(yīng)用模糊度量研究拓?fù)淙篬8-10]時(shí)發(fā)現(xiàn)：某些特殊的模糊（擬）度量將使一些拓?fù)浯鷶?shù)結(jié)構(gòu)變成更強(qiáng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).例如：
定理1[10]81設(shè)G是一個(gè)抽象群以及(M，*)是G上的一個(gè)左不變的模糊擬偽度量，如果(G，M，*)是一個(gè)模糊擬偽度量右拓?fù)淙海敲?G，M，*)是一個(gè)模糊仿拓?fù)淙?
本文主要研究抽象群上由一些特殊的模糊（擬）偽度量誘導(dǎo)的拓?fù)?下面介紹本文用到的定義和符號(hào).
定義2設(shè)X是一非空集合，d:X×X→[0，+∞)是一個(gè)函數(shù)：
1）若d滿(mǎn)足：i）對(duì)任意的x∈X有d(x，x)=0和ii）對(duì)任意的x，y，z∈X有d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)擬偽度量；
2）如果d是X上的一個(gè)擬偽度量且滿(mǎn)足：iii）對(duì)任意的x，y∈X有d(x，y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)擬度量；
3）如果d是X上的一個(gè)擬偽度量且滿(mǎn)足：iv）對(duì)任意的x，y∈X有d(x，y)=d(y，x)，則稱(chēng)d是X上的一個(gè)偽度量；
4）如果d是X上的一個(gè)偽度量且滿(mǎn)足上面的條件iii），則稱(chēng)d是X上的一個(gè)度量.
設(shè)X是一非空集合，d是X上的一個(gè)擬偽度量，記其中對(duì)任意的x∈X，ε＞0有：那么可知，τd是X上的一個(gè)拓?fù)洌姚耫是τd的拓?fù)浠?
定義3[11]318如果二元運(yùn)算*:[0，1]×[0，1]→[0，1]滿(mǎn)足如下條件，則稱(chēng)*是一個(gè)連續(xù)的t-模：
1）*滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律；2）*是連續(xù)的；3）對(duì)任意的a∈[0，1]有a*1=a；4）對(duì)任意的a，b，c，d∈[0，1]，如果有a≤c，b≤d，則有a*b≤c*d.
已知對(duì)于任意的連續(xù)t-模*有：*≤?，其中?是如下定義的連續(xù)t-模：
定義4[2]30設(shè)X是一集合，*一個(gè)連續(xù)t-模以及M是X×X×[0，+∞)上的一個(gè)模糊集，如果對(duì)于任意的x，y，z∈X和t，s＞0有（M，*）滿(mǎn)足：1）M（x，y，0）=0；2）M（x，x，t）=1；3）M（x，z，t+s）≥M（x，y，t）*M（y，z，s）；4）M（x，y，_）:[0，+∞)→[0，1]是左連續(xù)的，則稱(chēng)（M，*）是X上的一個(gè)模糊擬偽度量；如果（M，*）還滿(mǎn)足：5）M（x，y，t）=M（y，x，t）對(duì)任意的x，y∈X和t＞0，則稱(chēng)（M，*）是X上的一個(gè)模糊偽度量.
定義5[10]80設(shè)（M，*）是群G上的一個(gè)模糊偽度量，對(duì)任意的a，x，y∈G和t＞0，如果：
1）（M，*）滿(mǎn)足M(x，y，t)=M(ax，ay，t)，則稱(chēng)（M，*）是左不變的；
2）（M，*）滿(mǎn)足M(x，y，t)=M(xa，ya，t)，則稱(chēng)（M，*）是右不變的；
3）如果（M，*）既是左不變的，又是右不變的，則稱(chēng)（M，*）是不變的.
2 主要結(jié)果
定義6[2]31設(shè)X是一集合，（M，*）是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量，那么稱(chēng)(X，M，*)為一個(gè)模糊（擬）偽度量空間.
設(shè)(X，M，*)是一個(gè)模糊（擬）偽度量空間，記其中對(duì)任意的有：
引理1[8]110設(shè)(X，M，*)是一個(gè)模糊擬偽度量空間，那么τM是X上的一個(gè)拓?fù)?，而且βM構(gòu)成τM的一個(gè)拓?fù)浠?
定理2設(shè)G是一個(gè)抽象群，(M，*)是G上的一個(gè)模糊擬偽度量，則：
1）如果(M，*)是左不變的，那么(G，τM)是一個(gè)左拓?fù)淙海?/p>
2）如果(M，*)是右不變的，那么(G，τM)是一個(gè)右拓?fù)淙海?/p>
3）如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個(gè)仿拓?fù)淙?
證明設(shè)e是群G的單位元，記Be=｛M（e，ε，t）:ε∈（0，1），t＞0｝.
1）根據(jù)引理1可知τM是G上的一個(gè)拓?fù)?，下面證明群的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是左連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個(gè)開(kāi)集U，根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.又因?yàn)镸是左不變的，因此有xBM（y，ε，t）=BM（xy，ε，t）?U，顯然BM（y，ε，t）是y的開(kāi)鄰域，因此證明了群G的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是左連續(xù)的，從而(G，τM)是一個(gè)左拓?fù)淙?類(lèi)似可證2）.
3）根據(jù)引理1可知τM是G上的一個(gè)拓?fù)?，下面證明群的乘法運(yùn)算關(guān)于τM是聯(lián)合連續(xù)的.任取x，y∈G和包含xy的一個(gè)開(kāi)集U，根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有xy∈BM（xy，ε，t）?U.因?yàn)閠-模*是連續(xù)的，所以對(duì)于上面的ε可以找到ε0∈（0，1）滿(mǎn)足（1-ε0）*（1-ε0）＞1-ε.
從而xy∈BM（e，ε，t），這就證明了顯然是x的鄰域、是y的鄰域，下面只需證明即可.
注意到（M，*）既是左不變的又是右不變的，因此很容易驗(yàn)證：對(duì)任意的成立，所以有：得證.
（X，d）是一個(gè)（擬）偽度量空間，定義X×X×[0，+∞)上的模糊集那么（Md，?）就是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量，從而對(duì)于任意的t-模*有（Md，*）是X上的一個(gè)模糊（擬）偽度量.已知在X上由（Md，*）誘導(dǎo)的拓?fù)洇覯和由d誘導(dǎo)的拓?fù)洇觗是一樣的，所以根據(jù)定理2很容易得到以下結(jié)論：
推論1設(shè)G是一個(gè)抽象群，d是G上的一個(gè)擬偽度量，則：
1）如果d是左不變的，那么(G，τd)是一個(gè)左拓?fù)淙海?/p>
2）如果d是右不變的，那么(G，τd)是一個(gè)右拓?fù)淙海?/p>
3）如果d是不變的，那么(G，τd)是一個(gè)仿拓?fù)淙?
定理3設(shè)G是一個(gè)抽象群，(M，*)是G上的一個(gè)模糊偽度量，如果(M，*)是不變的，那么(G，τM)是一個(gè)拓?fù)淙?
證明因?yàn)槊恳粋€(gè)模糊偽度量都是一個(gè)模糊擬偽度量，因此根據(jù)定理2的3）可知(G，τM)是一個(gè)仿拓?fù)淙?下面只需證明G中的求逆運(yùn)算是連續(xù)的.
任取x∈G以及包含x-1的開(kāi)鄰域U.根據(jù)引理1，則存在某一ε∈（0，1）和t＞0有x-1∈BM（x-1，ε，t）?U.下面只需證明BM（x，ε，t）-1?U即可.任取z∈BM（x，ε，t），由于(M，*)是不變的模糊偽度量，從而有：
這就證明了BM（x，ε，t）-1?U，所以(G，τM)是一個(gè)拓?fù)淙?
由定理3可以直接得到以下結(jié)論：
推論2設(shè)G是一個(gè)抽象群，d是G上的一個(gè)偽度量，如果d是不變的，那么(G，τd)是一個(gè)拓?fù)淙?
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