骨架突破法

董裕華

編者按：不少同學(xué)一開始也是雄心勃勃，希望通過自己的努力，在數(shù)學(xué)上有個大的飛躍，但大部分人過不了多久就放棄了.每到放假或者補(bǔ)課的時候都會抱著從頭再來的心態(tài)，都是從“集合”開始，一個章節(jié)一個章節(jié)地過關(guān).即便是學(xué)習(xí)不好的學(xué)生，對于集合這一部分都充滿自信，其原因就在于此.這樣的學(xué)習(xí)，與其說是在積聚實(shí)力，倒不如說是在積累挫折感.

那么，有沒有捷徑可走？就從骨架內(nèi)容開始突破吧.

什么是數(shù)學(xué)的骨架內(nèi)容？

所謂骨架內(nèi)容是指數(shù)學(xué)的基本概念和重要公式.概念是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.學(xué)習(xí)一個新符號，概念就是指那個符號的定義、性質(zhì)、特征等;學(xué)習(xí)一個圖形，概念則是指圖形的定義、定理、性質(zhì)一類的東西.公式可以讓我們省略很多解題步驟，很容易直接得出結(jié)果，如三角誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理等.重要的數(shù)學(xué)用語或公式要在理解的基礎(chǔ)上熟練背誦，并能準(zhǔn)確默寫.需要注意的是，在作為骨架的概念或者公式里沒有必要包含過難的內(nèi)容，認(rèn)真學(xué)習(xí)以后就應(yīng)該能夠記得住.骨架學(xué)習(xí)，旨在把握知識整體的骨架.

怎么學(xué)習(xí)骨架內(nèi)容？

數(shù)學(xué)的骨架內(nèi)容，大部分的輔導(dǎo)書都已經(jīng)列出了.教科書和輔導(dǎo)書在學(xué)習(xí)上的作用各有千秋.教科書的長處在于它有較為詳盡的說明，重點(diǎn)是把既簡單又重要的內(nèi)容整理出來;輔導(dǎo)書的長處則在于它收錄了考試中常常出現(xiàn)的題目類型，而且把概念整理得條理清晰、一目了然.在學(xué)習(xí)的時候，要以教科書為主，并依靠輔導(dǎo)書的幫助來整理一些需要背誦的東西.如果喜歡自己整理，還可以用熒光筆或彩色筆把必須要記住的東西標(biāo)注好，或把它們抄寫在筆記本上去記憶，這樣可能會更有成效.

為了提高骨架內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果，還要輔之以相應(yīng)的骨架題.骨架題就是那些與重要的概念、公式直接相關(guān)的題目.這些題目是考試中的必考題，是檢驗(yàn)各個單元的重要概念是否掌握的尺子.大致來說，圍繞每個知識點(diǎn)的骨架題有4個左右，有時候也會只有一兩個.學(xué)習(xí)骨架題最好以教科書為藍(lán)本，一般都是在重要概念或公式的說明之后出現(xiàn)的題目，課本的例題和習(xí)題大多是骨架題.前面舉的好多例子都是在課本骨架題的基礎(chǔ)上拓展開來的.

為什么學(xué)習(xí)骨架題可以迅速提高成績？

第一，骨架內(nèi)容和骨架題代表的是所在單元的基本學(xué)習(xí)目標(biāo).要想獲得基礎(chǔ)分，掌握它們就已經(jīng)足夠了.如果說骨架內(nèi)容是構(gòu)筑數(shù)學(xué)大廈的鋼筋，骨架題就是構(gòu)筑大廈的}昆凝土，其他數(shù)學(xué)題目只是建筑需要的磚瓦.磚瓦也不是多多益善，但沒有鋼筋、}昆凝土，高樓大廈就無法構(gòu)筑.

第二，骨架題是學(xué)習(xí)相關(guān)知識點(diǎn)的重要載體，讓整個知識血肉相連，促進(jìn)了骨架內(nèi)容的理解和消化，就像鋼筋、混凝土融合在一起的時候才牢不可破.如果連骨架題都不會，其他題目做得再多也不會有什么幫助.

第三，骨架題在考試中一定會出現(xiàn).如果把略微應(yīng)用了骨架題的題目都算在內(nèi)的話，很多的考試題目實(shí)際上都在此列，即使是高考，只要把這些內(nèi)容切實(shí)掌握好，考個100分以上（滿分按150分或160分計(jì)）也不是一件很難的事，而且對骨架題集中學(xué)習(xí)，量并不大，時間也可以大幅減少.只要把骨架題實(shí)實(shí)在在掌握好了，至少能使你保持中游水平，

第四，如果在平時學(xué)習(xí)時，已經(jīng)預(yù)習(xí)過課本的骨架內(nèi)容和骨架題，你就能更加積極地參與課堂上的互動，理解也會更清楚，自然也就會覺得更為有趣.

骨架題要練習(xí)到什么程度？

骨架題要練習(xí)到在沒有任何外界幫助的情況下，能夠自己把它們解答出來的程度.這與背誦公式和概念差不多，特別是對于教科書中的解題步驟，盡可能原封不動地把它們寫出來是很重要的，有些同學(xué)總是自己隨心所欲地杜撰一些解題步驟，這是一個必須改正的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，

以《平面向量》為例，我們編制了如下資料（注：受篇幅限制，本文僅摘錄部分）：

一、向量的基本概念

【骨架知識】

①向量的定義：既有大小又有方向的量.向量具有數(shù)量和方向兩重性.向量可以用有向線段來表示，有向線段是固定不變的，但向量可以平移，向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都變了，但向量的坐標(biāo)不變。

②零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0.零向量的方向是任意的.

④相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫做平行向量，記作：a∥b;規(guī)定零向量和任何向量平行.兩向量平行包含兩向量在同一條直線上的情形，但兩直線平行卻不包含兩直線重合的情形，

相等向量與共線向量的關(guān)系：（i）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;（ii）相等向量具有傳遞性，而平行向量不具有傳遞性.非零向量a，b滿足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

【骨架題】

（l）已知A（l，2），B（4，2），則把向量AB按向量a=（-1，3）平移后得到的向量是_______________.

（2）下列六個命題：（i）若|a|=|b|，則a=b.（ii）兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（iii）若AB =DC，則ABCD是平行四邊形.（iv）若ABCD是平行四邊形，則AB =DC. （v）若a∥b，b∥c，則a∥c.（vi）A，B，C三點(diǎn)共線<=>AB，AC共線，其中正確的是____

二、向量的表示方法

【骨架知識】

①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后，如AB.

②符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c.

③坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a =xi+yj=（x，y），稱（z，y）為向量a的坐標(biāo)，a=（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)表示.如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

三、平面向量基本定理

【骨架知識】

如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a =λle1 +λ2e2.

【骨架題】

（3）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖1所示.若c=λa+λb（λ，μ∈R），則λ/μ=____

（4）已知D，E分別是△ABC的邊BC，AC的中點(diǎn)，且AD =a，BE =b，則BC可用向量a，b表示為____

（5）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC

的中點(diǎn)，若AC =A AE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=____

四、實(shí)數(shù)與向量的積

【骨架知識】

實(shí)數(shù)λ與向量a的積仍是一個向量，記作λa.它的長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|=|λ||a |;②當(dāng)λ>O時，λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ

五、平面向量的數(shù)量積

【骨架知識】

①兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA =a，OB =b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）稱為向量a，b的夾角.當(dāng)θ=O時，a，b同向;當(dāng)θ=π時，a，b反向;當(dāng)θ=π/2號時，a，b垂直.

②平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a|.|b| cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作：a.b，即a.b=|a ||b| cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.

【提醒】 數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，而不再是一個向量，零向量與任一向量的數(shù)量積是數(shù)0，而數(shù)0與任一向量的積是零向量.

③向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為θ，則：