從《幾何原本》看科學(xué)的傳承

劉瑞祥

編者按：“讀史使人明智，讀詩(shī)使人聰慧，演算使人精密，哲理使人深刻，倫理學(xué)使人有修養(yǎng)，邏輯修辭使人善辯.總之，知識(shí)能塑造人的性格.”為了開(kāi)拓同學(xué)們的視野，了解一些經(jīng)典數(shù)學(xué)書(shū)籍，從本期開(kāi)始，我們?yōu)榇蠹曳钌弦恍┚实淖x后感，帶你領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力.

本期為大家介紹的是歐幾里得的《幾何原本》，經(jīng)典圖書(shū)中的經(jīng)典，一起來(lái)看看吧.

若以理解大自然為志趣，并能世代相承、精益求精，則大自然的基本結(jié)構(gòu)的至精至簡(jiǎn)、至善至美是可望可及的.

——項(xiàng)武義

我讀《幾何原本》的一個(gè)大的感受就是，科學(xué)是一項(xiàng)前仆后繼的事業(yè).這一感受是如此之深，甚至超過(guò)了我對(duì)其邏輯體系的感受.

事實(shí)上，只要稍微涉獵一點(diǎn)有關(guān)<幾何原本》的科技史讀物，比如讀一讀該書(shū)現(xiàn)代版本的前言、后記，我們就能體會(huì)到這一點(diǎn).比如，據(jù)說(shuō)早在歐幾里得之前，泰勒斯就證明了“直徑二等分圓”這一命題，并且泰勒斯還是幾何證明的先驅(qū)，再有就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）和“不可公度量”的發(fā)現(xiàn)，歐多克斯則研究了比例論并對(duì)“比例”重新定義.比例論就是因?yàn)椤叭f(wàn)物皆數(shù)（自然數(shù)）”的破產(chǎn)而產(chǎn)生的，正是因?yàn)椤安豢晒攘俊钡陌l(fā)現(xiàn)，才使得希臘人原以為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明變得有漏洞了，因此產(chǎn)生了在新的比例定義和比例論基礎(chǔ)上的證明.而正多面體顯然和柏拉圖有關(guān).如此等等.

不僅如此，《幾何原本》還對(duì)后世學(xué)者產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.一個(gè)眾所周知的例子是因研究平行公設(shè)而誕生的“非歐幾何”.但這并不是因研究幾何基礎(chǔ)而產(chǎn)生的唯一成果.比如學(xué)者帕施等人，已經(jīng)試圖完善幾何學(xué)的基礎(chǔ)了.今天的數(shù)學(xué)家可以任意定義邏輯上無(wú)矛盾的體系，從而產(chǎn)生了各種各樣的數(shù)學(xué)分支，希爾伯特第三問(wèn)題則是針對(duì)極限法解決體積問(wèn)題的，而在西方這種方法始于《幾何原本》，高斯曾經(jīng)思考過(guò)這一問(wèn)題，最終是希爾伯特的學(xué)生德拜給出了結(jié)論.

再以尺規(guī)作圖為例，《幾何原本》第四卷的命題十六“作正十五邊形”顯然已經(jīng)涉及二元一次不定方程，即求滿足方程5x +3y =l的整數(shù)，而尺規(guī)作圖的判定性原則雖然已經(jīng)由高斯等人解決，但還有其他方面的發(fā)展，比如進(jìn)一步限定作圖工具——單規(guī)乃至銹規(guī)、單尺乃至短尺等等，在正多面體方面，因?yàn)闅W幾里得原來(lái)的作法比較復(fù)雜，后世不斷進(jìn)行改進(jìn)，中國(guó)清代學(xué)者梅文鼎用正方體簡(jiǎn)潔利索地作出正十二面體和正二十面體，如圖1，可以稱得上杰作.

除了以上所說(shuō)以外，阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線、阿基米德研究圓周率，以及后世學(xué)者對(duì)“黃金分割”、勾股定理的研究，都和《幾何原本》有著密切的關(guān)系.而機(jī)器證明則可以說(shuō)是從《幾何原本》停下的地方出發(fā)的.《幾何原本》還深深影響了牛頓、愛(ài)因斯坦，他們構(gòu)建理論體系的方式，是和《幾何原本》類似的.

（注：《幾何原本》是世界上最著名、最完整且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里得最有價(jià)值的傳世著作.歐幾里得在<幾何原本》中，系統(tǒng)地總結(jié)了泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯及智者派等前代學(xué)者在實(shí)踐和思考中獲得的幾何知識(shí).歐幾里得建立了定義和公理并研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而確立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué).而《幾何原本》也就成了歐氏幾何的奠基之作，它的出現(xiàn)，對(duì)人們的思維方式產(chǎn)生了深刻影響.）