數(shù)學(xué)絕對有用

Humphrey Liu譯

編者按：有的同學(xué)會說，數(shù)學(xué)太難學(xué)了，數(shù)學(xué)里面都是符號、公式，到底有什么用呢？其實數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對我們的思維發(fā)展、邏輯養(yǎng)成都有很重要的幫助.一起來聽聽美國的高德納教授是怎么回答的.

高德納教授是斯坦福大學(xué)名譽(yù)退休教授，“算法分析之父”，若干計算機(jī)程序系統(tǒng)的創(chuàng)造者，字型設(shè)計系統(tǒng)Metafont的創(chuàng)造者，也是《計算機(jī)程序設(shè)計藝術(shù)》一書的作者——此書是計算機(jī)程序員的圣經(jīng).

高德納教授參與了我發(fā)起的“科學(xué)中的數(shù)學(xué)”項目.以下是高德納教授對我所問的十個問題而提供的慷慨回復(fù).

1.描述你念書的時候數(shù)學(xué)課是怎樣的？

我們這代人（在美國威斯康辛州）在二年級學(xué)乘法表，五年級學(xué)分?jǐn)?shù)，九年級學(xué)代數(shù)，十年級學(xué)平面幾何，十一年級學(xué)復(fù)雜算術(shù)，十二年級學(xué)立體幾何.我提出的很多數(shù)學(xué)問題老師們都無法回答，所以我的大部分時間只能用于思考其他學(xué)科（英文，拉丁文，物理，化學(xué)，生物，音樂）的問題.但在我家，父親有一臺機(jī)械式加法乘法計算器，我很喜歡玩它.我花了數(shù)百小時用于畫形如sqrt（x+a）sqrt（x+b）（sqrt表示開方運算，其中a，b可以取不同的值）的函數(shù)圖象，由于使用了不同顏色的鉛筆，所以我可以將不同的圖象畫在同一張紙上.

2.你在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)對你以后的生活有用嗎？

絕對有用，我在數(shù)學(xué)課上學(xué)的東西沒有一個不在反復(fù)使用的.例如，幾何課不僅教我如何嚴(yán)格地證明，也為我創(chuàng)造字型設(shè)計系統(tǒng)Metafont語言提供了想法.很多字體是用這種語言設(shè)計的，這些字體正被全世界數(shù)以百萬計的人使用.

3.你心算需要有多優(yōu)異才能在頭腦中做計算？

我很欣慰我能記住乘法表直到12×12.不過我覺得記住更多（比如直到99×99）將浪費時間.僅僅當(dāng)問題相當(dāng)容易或者問題中含有符號而不僅僅是數(shù)字的時候，心算是非常重要的.當(dāng)我做研究的時候，開始時我通常會使用很多草稿紙進(jìn)行部分計算;而我邊游泳邊思考這個問題時，會獲得靈感，順利地解決它.

4.數(shù)學(xué)教導(dǎo)我們可以把兩個事物放一起而創(chuàng)造一個新事物，這在你做的事情中重要嗎？

復(fù)雜的結(jié)構(gòu)是由簡單的結(jié)構(gòu)用簡單的方式結(jié)合的.我認(rèn)為計算機(jī)科學(xué)家能比數(shù)學(xué)家更好地明白這點，因為我們學(xué)會了如何在一臺機(jī)器中表示多種數(shù)據(jù).

5.數(shù)學(xué)是關(guān)于發(fā)現(xiàn)模式的.你在研究中需要尋找模式或者模式的反例嗎？

是的，我覺得數(shù)學(xué)事實上是模式的科學(xué).我日常處理的模式是一些事物之間的規(guī)律，而不是數(shù)字之間的規(guī)律.不過數(shù)值模式也非常重要，例如：

1=1²，1+3 =2²，1+3+5 =3²，1+3+5+7 =4²，等等.

1³=1²，1³+2³=（1+2）²，1³+2³+3³=（1+2+3）²，等等.

6.數(shù)學(xué)也教導(dǎo)我們平衡和相等，這種觀念在你的研究中有用嗎？

在前面提到的字型設(shè)計系統(tǒng)Metafont語言中，我們通過用某些關(guān)鍵的點應(yīng)滿足的方程所畫的直線來表示字母A的形狀.“左干從基線開始，距離邊框左邊沿半個單位，直到大寫字母高，左干的斜率等于右干斜率的相反數(shù).”

7.數(shù)學(xué)幫助我們表示數(shù)量和數(shù)值測量，你工作中做這些嗎？

實際上我描繪希臘字母π的程序，有兩個地方使用了數(shù)3.141 59.

8.你需要精確測量事物嗎？

計算機(jī)科學(xué)家必須特別仔細(xì)，因為小的錯誤很容易被放大，并導(dǎo)致災(zāi)難性后果.

9.你怎樣使用統(tǒng)計來分析你的結(jié)果？

我的工作經(jīng)常涉及比較不同的計算方法，以此確定哪一個最快.基本的統(tǒng)計，比如關(guān)于運行時間的最大值、平均值、中位數(shù)以及方差，這些在分析中是關(guān)鍵的.更大膽的說，在今天已知的大多數(shù)計算方法中，隨機(jī)數(shù)和概率的概念是絕對本質(zhì)性的因素.

10.你還有其他的關(guān)于數(shù)學(xué)的使用的領(lǐng)悟嗎？

例如，當(dāng)我刷牙時，我需要覆蓋八個區(qū)域，分別為左和右，上和下，內(nèi)和外.最有效的方式是沿著哈密頓路或者格雷碼，即左上外側(cè)，右上外側(cè)，右上內(nèi)側(cè)，左上內(nèi)側(cè)，左下內(nèi)側(cè)，右下內(nèi)側(cè)，右下外側(cè)，左下外側(cè).

高德納教授的回答帶給我很多思考，也希望能帶給大家思考.

注：原文作者為Bruce Ferrington，數(shù)學(xué)普及作家.