有限集合上二元關(guān)系性質(zhì)的矩陣判別法

張亞蕾

摘要：從定義出發(fā)去判斷集合A上的二元關(guān)系是否是自反、反自反、對(duì)稱(chēng)、反對(duì)稱(chēng)、傳遞比較困難?；诖耍疚膹亩P(guān)系的關(guān)系矩陣出發(fā)，總結(jié)了一種二元關(guān)系性質(zhì)判斷的矩陣判別法，并給出了相應(yīng)的證明。

關(guān)鍵詞：有限集合? ?二元關(guān)系? ?等價(jià)關(guān)系? ?關(guān)系矩陣

關(guān)系是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常聽(tīng)到的一個(gè)詞語(yǔ)，在平時(shí)的工作、學(xué)習(xí)和生活中，我們不可避免地要遇到和處理許多關(guān)系。可以說(shuō)，人的一生從出生到死亡，身邊都有許多關(guān)系，如生活中的父母關(guān)系、兄弟關(guān)系、夫妻關(guān)系，工作中的同事關(guān)系、上下級(jí)關(guān)系，學(xué)習(xí)中的師生關(guān)系、同學(xué)關(guān)系等。

不管在社會(huì)現(xiàn)象中還是在自然現(xiàn)象中，幾乎沒(méi)有孤立存在的獨(dú)立體，而是各種事物相互影響、相互依存、相互制約、相互促進(jìn)，從而構(gòu)成了有序鏈環(huán)。人類(lèi)社會(huì)的文明就是在不斷地提示這些有序鏈環(huán)的進(jìn)程中形成和發(fā)展的。抽象地看，這些“有序鏈環(huán)”就是多元關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，關(guān)系可抽象為表達(dá)集合中元素之間的關(guān)系。在離散數(shù)學(xué)中，關(guān)系是刻畫(huà)元素之間相互聯(lián)系的一個(gè)重要概念，離散數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系就是二元關(guān)系。所謂二元關(guān)系，就是兩個(gè)事物之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)抽象，它是一個(gè)十分基本而有用的數(shù)學(xué)工具。

二元關(guān)系不管在自然科學(xué)，還是在社會(huì)科學(xué)中都有著非常廣泛的應(yīng)用，它在模糊分析、數(shù)字電路設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)分析、數(shù)據(jù)挖掘等發(fā)面也有著廣泛的應(yīng)用。在模糊數(shù)學(xué)中，模糊數(shù)的二元關(guān)系、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是一個(gè)二元組，計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)中的計(jì)算機(jī)程序的輸入、輸出關(guān)系和數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)特性關(guān)系等都是二元關(guān)系的應(yīng)用。其中，關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)就是以關(guān)系及其運(yùn)算作為理論基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)還在數(shù)學(xué)的許多分支學(xué)科上有著重要應(yīng)用，如近世代數(shù)利用等價(jià)關(guān)系將代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行分類(lèi)，進(jìn)而加以研究。關(guān)系也是點(diǎn)集拓?fù)渲械囊粋€(gè)重要概念，通過(guò)關(guān)系分類(lèi)來(lái)研究集合元素之間的某種聯(lián)系。熟練掌握關(guān)系的定義和性質(zhì)，是學(xué)好近世代數(shù)和點(diǎn)集拓?fù)涞幕A(chǔ)。

常見(jiàn)的二元關(guān)系有等價(jià)關(guān)系、偏序關(guān)系、擬序關(guān)系等，二元關(guān)系的性質(zhì)有自反性、反自反性、對(duì)稱(chēng)性、反對(duì)稱(chēng)性、傳遞性等，二元關(guān)系的閉包常見(jiàn)的有自反閉包、對(duì)稱(chēng)閉包、傳遞閉包。二元關(guān)系性質(zhì)和閉包的理論在整個(gè)離散數(shù)學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位。

所謂等價(jià)關(guān)系，就是同時(shí)具有自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性的二元關(guān)系。人們常常只關(guān)注二元關(guān)系的性質(zhì)，忽略了對(duì)二元關(guān)系性質(zhì)判定的研究。判斷一個(gè)關(guān)系是否為二元關(guān)系的方法，常見(jiàn)的有定義法、集合法、關(guān)系圖法、關(guān)系矩陣法。關(guān)系圖法直觀易懂，但是當(dāng)關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，圖形畫(huà)起來(lái)就不容易了。關(guān)系矩陣法、集合法、定義法比較直觀，但當(dāng)二元關(guān)系里的有序?qū)^多時(shí)，用這些方法判定性質(zhì)就比較困難，因?yàn)樗鼈儫o(wú)法或不容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。因此，筆者在判斷等價(jià)關(guān)系的理論基礎(chǔ)上給出了一種矩陣判別法，這種方法可以編制程序，有利于在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。

四、結(jié)語(yǔ)

筆者總結(jié)了利用關(guān)系矩陣判斷二元關(guān)系性質(zhì)的矩陣判別法，尤其當(dāng)二元關(guān)系的有序?qū)^多時(shí)此方法比較簡(jiǎn)單、好用，上述所有判別方法還可以借助計(jì)算機(jī)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)。

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（作者單位：仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系）