應(yīng)用均值換元法解最值問題

江蘇省泰州中學(xué)附屬初中 (225300)

何林峰

評注:本題如用常規(guī)方法求最大值，可將原式兩邊平方后，通過化簡變形去尋找解題途徑.然而應(yīng)用均值換元法求出結(jié)果，不僅方法新穎，而且簡捷，別有風(fēng)味.本題解法的巧妙之處在于通過均值換元法，大大減少了計算量，降低了解題的難度，充分顯示了均值換元法的優(yōu)越性.

例2 (2001年全國初中數(shù)學(xué)競賽題)已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.試求t的最大值和最小值.

例3 (2016年浙江大學(xué)自主招生考試題)設(shè)x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.

分析：此類問題常用消元法，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值求解，觀察本例的條件2x+y=6，發(fā)現(xiàn)2x+y=6=2×3，因此可以另辟蹊徑，通過均值換元求解.

評注：本題用一般的思維方式考慮，很難找到解題的方法或者過程相當(dāng)復(fù)雜，而通過均值換元法，溝通了題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系，使問題得到輕松解決.

例4 (2011年武漢大學(xué)自主招生考試題)設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,試求z的最大值和最小值.

例5 (江蘇省蘇北四市2018年春高三一模試題)設(shè)x、y、z為非負(fù)數(shù)，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.

評注：此題從表面上看似乎與均值換元法無關(guān)，使人陷入“山窮水盡疑無路”之情.但仔細(xì)觀察題目條件的特點(diǎn)，充分展開聯(lián)想，發(fā)揮思維的創(chuàng)造性，使得解題思路簡捷明快，解法簡單順暢，解法靈活巧妙.

從以上各例可以看出應(yīng)用均值換元法求最大(小)值，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中的隱藏的均值換元法關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與均值換元法的有關(guān)知識聯(lián)系起來，以達(dá)到解題目的.

總之，應(yīng)用均值換元法解最值問題，其關(guān)鍵是引進(jìn)新的變量(元)參與計算，再結(jié)合代數(shù)知識求解.充分體現(xiàn)了變繁為簡，化難為易，化未知為已知的數(shù)學(xué)解題思想，從而達(dá)到消元的目的，簡便流暢地解決了問題.