向量的“基”思想

浙江省鎮(zhèn)海中學(xué) 315200

董昊雷

平面向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)之一，其地位始終舉足輕重.平面向量基本定理是解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ).本文以此定理為指導(dǎo)，對(duì)近幾年出現(xiàn)的較為綜合創(chuàng)新的高考題和高考模擬題加以淺析.

平面向量的基本定理是解決平面向量計(jì)算問(wèn)題的重要工具.平面向量的概念及運(yùn)算并不困難，但在處理向量的問(wèn)題或應(yīng)用向量時(shí)，學(xué)生卻常常茫然無(wú)措，思路不清，邏輯不明.在測(cè)試評(píng)價(jià)中，對(duì)平面向量基本定理考查的試題也是常考常新.筆者認(rèn)為，如何破解問(wèn)題，關(guān)鍵在于教學(xué)中要充分認(rèn)識(shí)平面向量基本定理的“基”思想.

一、問(wèn)渠那得清如許——“基”的本質(zhì)

從該定理可以看出，平面內(nèi)一組不共線的向量可以作為一組基底，平面中的任意向量都可以用這組基底表示，向量空間中任意一個(gè)元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合.特別地，當(dāng)這組基底互相垂直時(shí)，即構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.基底的建立為向量的運(yùn)算提供了可能，而運(yùn)算把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起，即把圖形的研究推進(jìn)到了有效能算的水平，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折.

面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)平面向量基本定理選取一組基底，并且把條件和問(wèn)題中遇到的所有的向量都用這組基底線性表示，這種減少變量、匯聚條件的思想可以使問(wèn)題迎刃而解，同時(shí)這樣的思想為我們提供一種程序化的操作.

二、小荷才露尖尖角——“基”的選擇

1．符號(hào)方式

A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

2．坐標(biāo)方式

例1解析：如圖1,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

圖1

圖2

例3解析：如圖2建立平面直角坐標(biāo)系.

3．幾何方式

圖3

三、吹盡狂沙始到金——“基”的推廣

由二維的平面向量基本定理可以得到一般性的向量基本定理的高維推廣形式.

n維向量基本定理：對(duì)n維向量β及α1,α2,…,αm，若存在一組數(shù)k1,k2,…,km，使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm，稱β為向量組α1,α2,…,αm的一個(gè)線性組合，或稱β可以由向量組α1,α2,…,αm線性表示．

在高中階段，主要研究的是二維和三維的情況，這里就討論三維空間中的“基”思想.類比二維平面中向量的解題思路，在三維空間中只需選取不共面的三個(gè)向量作為一組基底，然后把條件和問(wèn)題中所有的向量轉(zhuǎn)換成這組基底的線性表示，問(wèn)題即可迎刃而解.而且選擇基底的原則與二維平面的相同，選取已知條件盡量多的或者常見(jiàn)易表示的.對(duì)于條件較少的問(wèn)題有時(shí)可選擇不同的基底作為嘗試，歸納總結(jié)出選擇基底的常見(jiàn)套路.如此問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單易入手.

圖4

圖5

方法二(坐標(biāo)方式)：如圖5，以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.

圖6

高考向來(lái)注重基礎(chǔ)性和綜合性同在，綜觀近幾年浙江省高考數(shù)學(xué)試題，對(duì)平面向量基本定理的考查既有平面向量的正交分解和坐標(biāo)運(yùn)算的簡(jiǎn)單試題，又有與其他知識(shí)綜合聯(lián)系的中、高難度試題，考生在解答中往往會(huì)遇到困難.考生在備考復(fù)習(xí)平面向量基本定理的相關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意學(xué)會(huì)以上三種思考方式.