平和創(chuàng)新 樸實(shí)靈動*
——2018年江蘇高考數(shù)學(xué)第13題評析與教學(xué)啟示

江蘇省板浦高級中學(xué) (222241)

李忠貴

高考數(shù)學(xué)試題凝聚了專家的集體智慧和大量心血，是豐富的“寶藏”.對高考題(特別是壓軸題)進(jìn)行深度研究，有利于領(lǐng)會其命題規(guī)律、設(shè)計(jì)意圖、選拔功能，感悟數(shù)學(xué)的育人價值，從而把握教學(xué)的方向，找準(zhǔn)教學(xué)中存在的問題，實(shí)施教學(xué)變革，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).下面是筆者對一道高考題的深刻思考，期待對今后的教學(xué)有所啟迪.

一、試題

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

二、評析

1.試題立意

本題為文理合卷的填空題第13題，為壓軸難題，涉及高中數(shù)學(xué)眾多核心(主干)知識，比如基本不等式、平面向量的數(shù)量積、角平分線性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)定義及性質(zhì)、同角三角函數(shù)關(guān)系等，它們在《2018年江蘇省數(shù)學(xué)高考考試說明》中要求均為B、C級要求，凸顯了對核心內(nèi)容重點(diǎn)進(jìn)行考查的命題思路，彰顯了在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處命題的設(shè)計(jì)理念，考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了以考查“核心素養(yǎng)和創(chuàng)新思維”為重點(diǎn)的命題導(dǎo)向，問題構(gòu)思自然，設(shè)計(jì)精巧，獨(dú)具匠心.

2.試題表達(dá)

試題以斜三角形和多元函數(shù)最值的背景呈現(xiàn)，考生十分熟悉，試題表達(dá)清晰，簡單明了，降低了閱讀量，進(jìn)而減少了閱讀時間和緩解考生的心理壓力，這些給考生以簡潔中見關(guān)懷、平和中見親切.思考與求解過程中卻又能感受到本題的創(chuàng)新之處，這也為優(yōu)生提供了展示的空間，凸顯了壓軸試題良好的效度和區(qū)分度.

3.試題來源

命題專家以上述必修五兩道課本題為藍(lán)本，以斜三角形為載體，進(jìn)行變式、重組、創(chuàng)新設(shè)計(jì)，從而得到本試題.

4.試題傳承

以上題都是多元函數(shù)的最值問題，而本試題更靈活、難度也變大，體現(xiàn)了良好的傳承.

5.試題解法

從條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系知，求解分兩步：

(1)由已知條件推導(dǎo)a與c相互關(guān)系；(2)在此基礎(chǔ)上求4a+c的最小值.

第一步：推導(dǎo)a與c的相互關(guān)系.

思路一：挖掘圖形中隱藏的面積關(guān)系，再利用已知條件分別進(jìn)行表達(dá)，則問題可輕松解決.

解法2：在ΔABD和ΔBCD中，由余弦定理得

思路三：對于幾何圖形問題，可利用已知條件恰當(dāng)建系，運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行處理.

圖1

圖2

思路四：向量的模本質(zhì)為兩點(diǎn)間的距離，向量的數(shù)量積活化模的求法.因而可利用平面向量基本定理、向量的數(shù)量積及角平分線性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

第二步：由a與c等量關(guān)系求4a+c的最小值.

思路一：由目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再結(jié)合a與c的等量關(guān)系，容易聯(lián)想到基本不等式.而目標(biāo)為“求‘和’的最小值”，必須合理變形，配湊出“‘積’為定值”.

思路二：由a與c等量關(guān)系特點(diǎn)，可通過減元或換元，將多元函數(shù)化為一元函數(shù)，可輕松配湊出“‘積’為定值”，則難點(diǎn)得以突破.

思路三：由a與c等量關(guān)系，合理減元，將多元函數(shù)化為一元函數(shù).由于此函數(shù)不是基本函數(shù)，可借助導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值.

思路四：由a與c等量關(guān)系，合理減元后，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進(jìn)行求解.

思路五：由a與c等量關(guān)系和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到向量數(shù)量積性質(zhì)，從而構(gòu)造向量進(jìn)行求解.

思路六：由a與c等量關(guān)系和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，聯(lián)想到柯西不等式，進(jìn)行求解.

解法反思：

①第一步解法：有的挖掘圖形中隱含的面積等量關(guān)系，有的利用角平分線性質(zhì)和余弦定理，有的恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，有的構(gòu)造平面向量并利用向量的數(shù)量積求解等，以上解法均從核心知識及其內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，用數(shù)學(xué)的眼光去思考與求解問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法實(shí)現(xiàn)合理轉(zhuǎn)化，這是求解數(shù)學(xué)問題的通性通法；

②第二步解法：有的通過“1”的代換、三角換元、均值換元、減元等配湊出“積”為定值，從而使用基本不等式進(jìn)行求解；有的通過減元，將多元函數(shù)的最值問題化歸為一元函數(shù)的最值問題，使用導(dǎo)數(shù)法求解；有的運(yùn)用函數(shù)與方程思想，利用一元二次方程有正根的條件求解；有的巧妙構(gòu)造平面向量，運(yùn)用向量的數(shù)量積性質(zhì)，問題可輕松求解；有的根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用柯西不等式等.

以上解法盡顯“數(shù)學(xué)味”，彰顯學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.因而本試題及解法平和創(chuàng)新，樸實(shí)靈動.

6.求解陷阱

(1)陷阱之一：方法自然但難以求解.

(2)陷阱之二：兩次用公式導(dǎo)致錯解.

錯因分析：∵不等式(1)等號成立的條件為a=c,不等式(2)等號成立的條件為4a=c，∴兩個等號無法同時成立，∴4a+c>8,∴4a+c的最小值不為8.

三、教學(xué)啟示

1.用好課本例(習(xí))題，揭示其隱含價值

課本是眾多專家依據(jù)教學(xué)大綱反復(fù)打磨編寫的系統(tǒng)闡明數(shù)學(xué)內(nèi)容的教與學(xué)用書，它不但是教師教、學(xué)生學(xué)的關(guān)鍵，而且是各種考試(尤其是高考)試題命題的主要來源.有的教師認(rèn)為“課本例(習(xí))題簡單，難以應(yīng)對高考，沒必要花時間去研究，不如多講、多練一些教輔資料上難題更實(shí)惠”，顯然是錯誤的.教師應(yīng)深度研究教材，把握編寫專家的意圖，發(fā)揮例(習(xí))題的示范性、典型性，并對其拓展延伸，挖掘其蘊(yùn)含的教學(xué)價值、隱藏的重要結(jié)論、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、研究方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)文化、育人價值等，對啟迪學(xué)生思維、發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力、提高數(shù)學(xué)解題效率等大有裨益.

2．讓學(xué)生自主建構(gòu)知識，突出對其本質(zhì)的探索

高考的壓軸題，常常涉及的是多元的概念、原理與公式.如何深刻理解這些知識點(diǎn)，弄清其內(nèi)在聯(lián)系，并能創(chuàng)新應(yīng)用，本身就需要一定的智慧，單靠大量刷題或者死背硬記肯定難以奏效.知識不是教師告訴學(xué)生的，也不是學(xué)生看書得到的.這就需要教師在教學(xué)中恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、精心設(shè)計(jì)問題，深度引領(lǐng)學(xué)生自主探究，自主建構(gòu)知識，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程變?yōu)樵诮處熣T導(dǎo)下“再發(fā)現(xiàn)”過程；同時孤立的知識無法形成能力，教師要讓學(xué)生感悟核心知識的交匯之處，幫助他們建立和體會完善的知識網(wǎng)絡(luò)體系；為提升學(xué)生的應(yīng)變能力，教學(xué)中教師應(yīng)著力培養(yǎng)他們追問知識及問題本質(zhì)的習(xí)慣.如為什么要學(xué)習(xí)基本不等式？基本不等式的功能是什么？它的本質(zhì)是什么?應(yīng)用它求解問題應(yīng)注意哪些？...

3.關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)，重視學(xué)生的感悟反思

無論哪種課型，教師的講還是學(xué)生的練，都需要教師緊扣教學(xué)目標(biāo)，貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，運(yùn)用教學(xué)智慧，以素養(yǎng)立意，從整體精心設(shè)計(jì).為什么選擇這個問題？想培養(yǎng)學(xué)生哪些能力？發(fā)展哪些核心素養(yǎng)？這種解法如何自然呈現(xiàn)？是否可一題多解？多種解法能否歸一？多種解法的本質(zhì)、核心及其內(nèi)在聯(lián)系又是什么？最優(yōu)解及通性通法又是什么？可否進(jìn)行一題多變？可否設(shè)計(jì)多題歸一？要謹(jǐn)防教學(xué)(特別是高三教學(xué))形式單一化，不是“講練講”就是“一講到底”，或者是“練講練”，學(xué)生疲于應(yīng)付.因?yàn)樗兴仞B(yǎng)和能力的提升最終都要通過學(xué)生的自我感悟反思來實(shí)現(xiàn),所以要給學(xué)生留有足夠的時間和空間，讓他們經(jīng)歷理解、反思、總結(jié)、提煉、內(nèi)化、感悟的思維歷程.