突雙基 重通法 多方位考查能力
——2019年江蘇高考數(shù)學(xué)卷有感

江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) (211200)

李國(guó)林

今年江蘇高考數(shù)學(xué)給人感覺(jué)是突出雙基、注重通性通法，以人為本，多方位檢測(cè)能力，學(xué)生考完之后心情平穩(wěn)，整份試卷下來(lái)都有題可做，有分可拿，甚至有不少學(xué)生將第14題也算出來(lái)了，感覺(jué)沒(méi)有太大的計(jì)算量.第18，19，20題的第(3)也不在像以往年一樣，更注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)的熟練掌握與思想方法的使用，是一份以人為本，多方位檢測(cè)能力試卷.

1.突出雙基，覆蓋面廣.

試卷覆蓋了《考試說(shuō)明》中20個(gè)A級(jí)考點(diǎn)(總共25個(gè))，37個(gè)B級(jí)考點(diǎn)(總共38個(gè))，8個(gè)C級(jí)考點(diǎn).1-9題都是基礎(chǔ)題，涉及集合、復(fù)數(shù)、算法、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)、概率、雙曲線、數(shù)列、立幾、覆蓋面廣，與2018年江蘇數(shù)學(xué)卷題型基本相同，告訴學(xué)生思考問(wèn)題不要求偏求怪，應(yīng)突出通解通法；15、16題源于教材，是考生比較熟悉的基礎(chǔ)題，告訴學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)要做到概念清楚，基礎(chǔ)牢固，答題規(guī)范.

本卷既有常見的知識(shí)點(diǎn)交匯處設(shè)計(jì)的問(wèn)題，如12題是三角和向量的綜合；也有創(chuàng)新型的考查學(xué)生的探究能力，如11題考查了學(xué)生的觀察、猜想、驗(yàn)證，更有在思想方法上設(shè)計(jì)問(wèn)題，如13題考查學(xué)生整體代換、化歸，14題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合.比較系統(tǒng)地檢測(cè)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

圖1

圖2

解析2：如果同學(xué)們從圖形入手，利用數(shù)形結(jié)合的思想，就會(huì)更加方便，取BE中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，如圖2.

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，在最近的2016年第13題(2014年第12題，2013年第10題)就有考過(guò)，且難度都比今年要大一點(diǎn)，所以學(xué)生都知道如何下手且方法可以自由選擇.對(duì)于喜歡“坐標(biāo)法”的同學(xué)，還可以考慮本題因條件較少，進(jìn)而選擇“特殊化”，比如取∠ABC=90°，再建系處理.它考查了學(xué)生的基本知識(shí)、基本方法，同時(shí)也考查學(xué)生的應(yīng)變能力了.

圖3

2.體現(xiàn)通性通法，讓學(xué)生都有題可做，有分可拿

2019年高考數(shù)學(xué)江蘇卷改變了“前面送分，后面要命”的模式，努力體現(xiàn)“多考一些想，少考一些算”，將思想方法盡可能融入題目中，讓想的好的學(xué)生算的少一點(diǎn)，想的不全面的學(xué)生算的就多一點(diǎn)如第19題(2)，(3)就考查學(xué)生分類討論的思想與函數(shù)最值的研究方式，第20題(2)則將“已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)”的表現(xiàn)形式作了改變，考查學(xué)生化歸的思想方法，但都不是“要命”的題，學(xué)生跳一跳還是能夠得著的.

例2 (2019江蘇卷19).設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c，f(4)=8，求a的值；

(2)若a≠b，b=c，且f(x)和f′(x)的零點(diǎn)均在集合{-3,1,3}中，求f(x)的極小值；

解析：第(2)問(wèn)考查學(xué)生能不能把握分類標(biāo)準(zhǔn)或回避分類討論，但方法是通性通法，學(xué)生按部就班就能很好的處理，第(3)問(wèn)考查學(xué)生在導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的前提下研究因變量M的最值.

解：(1)f(x)=(x-a)3，f(4)=(4-a)3=8，解得a=2.

∴f(x)=(x-3)(x+3)2,f′(x)=3(x+3)(x-1).

通過(guò)列表(略)，可得f(x)在x=1處取得極小值為f(1)=-32.

3.以人為本，多方位檢測(cè)能力

教育的根本目的就是育人，教育以培養(yǎng)真正的人，培養(yǎng)全面、完整的人為己任.德國(guó)教育家赫爾巴特指出：教育具體落實(shí)在教師職業(yè)行為上就是通過(guò)叫教師勞動(dòng)培養(yǎng)人、塑造人、改造人、促進(jìn)人的全面發(fā)展.同時(shí)高考又影響教師教育的一項(xiàng)重要因素，高考也是教師的“指揮棒”，所以要想教師改變教學(xué)方法，那么高考試卷就應(yīng)該有所體現(xiàn).

一份試卷有沒(méi)有“以人為本”，關(guān)鍵是學(xué)生是否愿意去做，是否喜歡去做，因?yàn)椴还堋昂蒙薄ⅰ安钌?，?yīng)該都有他們能解決的問(wèn)題.這樣才能讓學(xué)生不討厭“數(shù)學(xué)”，嘗試用“數(shù)學(xué)”去解決問(wèn)題，更要由此為導(dǎo)向，提醒教師在教學(xué)中要注重“以人為本”，提升學(xué)生的潛能，才能讓學(xué)生通過(guò)多方位檢測(cè).

例3 (2019江蘇18題)如圖4，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12(單位：百米)．

圖4

(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d(單位：百米).求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

解析：本題考查學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的能力，涉及解直角三角形、余弦定理、直線與圓位置關(guān)系、分類討論，特別是圖形較復(fù)雜，學(xué)生比較陌生，但問(wèn)題的設(shè)計(jì)層層推進(jìn)，給學(xué)生搭了臺(tái)階，讓學(xué)生能比較輕松的解決(1)(2)兩問(wèn)，第(3)問(wèn)讓學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題(且沒(méi)有自變量)，難度教大，讓不同的考生有不同的發(fā)揮余地.

圖5 圖6

(3)先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B=15.由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

點(diǎn)評(píng)：本題背景清晰、創(chuàng)新性高，學(xué)生一開始突然碰到較復(fù)雜的圖形，可能會(huì)比較陌生，但問(wèn)題設(shè)置層次鮮明，第(1)問(wèn)是讓學(xué)生能理解題意，第(2)問(wèn)是讓學(xué)生能解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，學(xué)生若都能認(rèn)真分析、思考，跳一跳就能多得一點(diǎn)分?jǐn)?shù)，但有些學(xué)生做第(3)問(wèn)時(shí)方法停在如何構(gòu)造距離d的函數(shù)，就會(huì)調(diào)入思維陷阱,本題也可建系，利用直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解題.

4.結(jié)束語(yǔ)

愛(ài)因斯坦曾今說(shuō)過(guò)：教育應(yīng)該使提供的東西，讓學(xué)生作為一種富貴的禮物來(lái)享受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他負(fù)擔(dān).經(jīng)常聽到有學(xué)生說(shuō)討厭數(shù)學(xué)，不喜歡做數(shù)學(xué)題，這與我們的基礎(chǔ)教育是不符的，這份試卷讓學(xué)生都能去做，都能得分，都能將自己所學(xué)發(fā)揮出來(lái)，學(xué)生進(jìn)考場(chǎng)是帶著“害怕”的，出考場(chǎng)是“愉悅”的，讓“好生”感覺(jué)自己能多得分，讓“差生”感覺(jué)自己得到不少分，才是一份成功的試卷.因?yàn)樗D(zhuǎn)變了考生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài).同時(shí)它也指導(dǎo)我們教師在傳授知識(shí)中要重視“四基”、“四能”，注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；不能盲目的刷題，讓學(xué)生害怕數(shù)學(xué).