知識(shí)·策略·創(chuàng)新：解題教學(xué)的三重境界

江蘇省儀征市新集初級(jí)中學(xué) (211403)

李?lèi)?ài)民

“解題”在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中有三層含義，數(shù)學(xué)中的含義是指解答或演算習(xí)題、試題.解題是一種實(shí)踐性的技能，就好像游泳一樣.[1]剛開(kāi)始是觀察和模仿別人，如果被模仿的人能提供有效的幫助，學(xué)習(xí)者再勤加練習(xí)，技能自然能學(xué)會(huì)學(xué)好.在學(xué)習(xí)解題時(shí)，模仿者是學(xué)生，被模仿者和提供幫助的人是教師，教師借助解題教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解題.解題教學(xué)不是數(shù)學(xué)教學(xué)的全部，但解題能培養(yǎng)學(xué)生的四基四能，鍛煉學(xué)生克服困難的意志，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新能力.更重要的是解題還是考核學(xué)生，決定學(xué)生升學(xué)、未來(lái)發(fā)展的評(píng)價(jià)工具.不同的解題教學(xué)境界，發(fā)揮育人的功能也不一樣.

筆者借助教學(xué)中的兩個(gè)問(wèn)題，談?wù)劷忸}教學(xué)的境界.

1.解題教學(xué)的三重境界

1.1 境界一：授之以魚(yú)，知識(shí)境界

問(wèn)題1如圖1，△ABE，△ADC分別是△ABC關(guān)于AB，AC邊所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，若∠1∶∠2∶∠3=7∶2∶1，則∠α的度數(shù)為.

圖1

本題是在學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱性質(zhì)”之后的一道填空題.主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)：“成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等”，再由全等的性質(zhì)可以得到“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”，最后再找到所求的角α與已知角的聯(lián)系，求出α的度數(shù).

圖2

思路3：(利用規(guī)形圖(或飛鏢圖)求解)如圖3，這是在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角的時(shí)候總結(jié)的一個(gè)基本圖形，因?yàn)樗粡V泛地運(yùn)用到求不規(guī)則多邊形內(nèi)角和之中，形狀像圓規(guī)和飛鏢，所以被稱為規(guī)形圖或者飛鏢圖.這個(gè)圖中的角有這樣的一個(gè)結(jié)論：∠DGE=∠D+∠E+∠DAE.證明這個(gè)結(jié)論不難，如圖4，可以延長(zhǎng)線段DG與線段AE相交于點(diǎn)F，借助外角的性質(zhì)可以證明，具體求解略.

圖3 圖4 圖5

現(xiàn)在回到圖1，借助規(guī)形圖可以得到∠DGE=∠D+∠E+∠DAE，而根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以求出∠D=∠2=36°，∠E=∠3=18°，∠BAE=∠DAC=∠BAC=126°，所以∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360°=3×126°-360°=18°，因此∠DGE=36°+18°+18°=72°，所以∠α=180°-∠DGE=180°-72°=108°.

思路4：(利用8字形求解)如圖5，這是蘇科版教材七下“12.2證明”第三課時(shí)中的一個(gè)例題類(lèi)似的圖形，例題是證明∠G+∠E=∠A+∠C(具體的證明略)，因?yàn)樾螤钕駭?shù)字8，故而起名為8字形.

回到題1，由對(duì)稱可以得到∠E=∠DCA=∠3，再借助8字形結(jié)論就可以得到∠α=∠EAC=∠DAC-∠DAE=126°-18°=108°.

解題教學(xué)中首要的任務(wù)就是借助解題達(dá)到鞏固知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的目的.要最大限度發(fā)揮問(wèn)題的知識(shí)功能，教師必須要精選精講，切忌就題論題，一題一法，只注重問(wèn)題的結(jié)果，忽略對(duì)問(wèn)題多角度的思考.本題雖然是一道填空題，但它提供了豐富的圖形背景和數(shù)量關(guān)系，所以教師要抓住這個(gè)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，主動(dòng)參與發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)模型，提升應(yīng)用知識(shí)的能力，充分挖掘試題的知識(shí)價(jià)值.

通過(guò)問(wèn)題1的解題教學(xué)，學(xué)生及時(shí)鞏固了新知，復(fù)習(xí)了一些基本數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了發(fā)散思維，達(dá)到了授之以魚(yú)的效果，解題教學(xué)境界屬于知識(shí)境界.

1.2 境界二：授之以漁，策略境界

問(wèn)題2如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，求∠ECD的大小.

圖6

本題是以直角三角形的兩個(gè)銳角為頂角，在直角三角形內(nèi)部構(gòu)造出兩個(gè)部分疊合在一起的等腰三角形.圖形中角之間的關(guān)系比較復(fù)雜，可以采用整體思想求解，也可以設(shè)參數(shù)幫助求解，但這兩種解題的策略對(duì)學(xué)生要求較高，成績(jī)中等及以下的學(xué)生難以解決.結(jié)合條件和結(jié)論可以看出這里還存在一個(gè)有趣的結(jié)論，所以有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪胶脱由?，目的是引?dǎo)學(xué)生探索解題的思路，積累解題的經(jīng)驗(yàn)，獲取研究問(wèn)題的策略，提升思維的寬度和深度.

為了降低問(wèn)題的難度，變抽象為具體，筆者采取強(qiáng)化條件的改編策略.

變式1 添加∠A=20°，求∠ECD的大小.

為了進(jìn)一步強(qiáng)化變式1的解題思路，為后續(xù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠ACB和∠ECD的數(shù)量關(guān)系做準(zhǔn)備，筆者采取異化∠ACB的度數(shù)的改編策略.

變式2 在△ABC中，∠ACB=120°，∠A=20°，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，求∠ECD的大小.

有了變式1和變式2的解題經(jīng)驗(yàn)，筆者自然地采用“弱化條件”的改編策略，將∠A=20°的條件去掉，也就出現(xiàn)的原題和變式3.

變式3 將原題中的∠ACB=90°改編為∠ACB=120°.

在完成原題和變式3之后，筆者采用“一般化條件，探索一般性結(jié)論”的改編策略，將∠ACB的角度進(jìn)一步一般化.

變式4 在△ABC中，∠ACB=α，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，猜想∠ECD與α有何關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

解題教學(xué)中最重要的任務(wù)是為學(xué)生提供解題策略的指導(dǎo).一切解題策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，就是把面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，通過(guò)對(duì)新題的考查，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的.[2]本題的條件和問(wèn)題均不復(fù)雜，已知的角度只有∠ACB=90°，要求∠ECD的大小.可見(jiàn)，∠ACB與∠ECD之間隱含著一定的關(guān)系.教學(xué)中一方面要幫助學(xué)生找到解題的方向，另一方面要幫助學(xué)生挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維.筆者通過(guò)將問(wèn)題條件強(qiáng)化、異化的策略，引導(dǎo)學(xué)生理清問(wèn)題探究的思路；通過(guò)將問(wèn)題條件弱化、一般化的策略，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)，探究出一般性的規(guī)律，以達(dá)到做一題，會(huì)一類(lèi)，通一片的效果.

通過(guò)問(wèn)題2的解題教學(xué)，學(xué)生獲取了將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化、陌生問(wèn)題熟悉化、一般問(wèn)題特殊化等解題經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，達(dá)到了授之以漁的效果，解題教學(xué)境界屬于策略境界.

1.3 境界三：授之以塘，創(chuàng)新境界

筆者在引導(dǎo)學(xué)生探究出問(wèn)題2一般性的結(jié)論之后，為了進(jìn)一步挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，筆者引導(dǎo)學(xué)生借題發(fā)揮，創(chuàng)造出新的問(wèn)題.

教學(xué)片斷：

師：通過(guò)探究我們發(fā)現(xiàn)了∠ACB和∠ECD的一般數(shù)量關(guān)系，你能借助這個(gè)結(jié)論重新編制一個(gè)問(wèn)題嗎？

生1：在△ABC中，∠DCE=50°，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，求∠ACB的大小.

師：把條件和結(jié)論互換，是逆向思維的體現(xiàn)，非常好.

生2：在△ABC中，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，問(wèn)△CDE是什么三角形呢？

師：你認(rèn)為是什么三角形呢？你是如何想的？

師：由對(duì)角的關(guān)注轉(zhuǎn)化成對(duì)三角形形狀的關(guān)注，改變了考慮問(wèn)題的視角，很不錯(cuò).

生3：在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，求∠ECD的大小.

師：你能求出∠ECD的度數(shù)嗎？

生3：(想了片刻)哦，不能.

師：為什么？

生3：因?yàn)橹馈螦并不能確定∠ACB的大小.

師：對(duì)，一個(gè)角是不能確定三角形的形狀的.但你想到借助老師一開(kāi)始的問(wèn)題，通過(guò)弱化條件的方法來(lái)改題，活學(xué)活用，值得肯定.

生4：當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，判斷△CDE的形狀.

師：你知道是什么三角形呢？

生4：(想了一下)頂角是45°的等腰三角形.

生5：當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，△CDE是等邊三角形？

師：不錯(cuò)，改編成了條件探索問(wèn)題，那你知道滿足什么條件呢？大家一起探究一下.

(經(jīng)過(guò)一段時(shí)間討論探究，大部分學(xué)生表示△CDE不能是等邊三角形，也有幾個(gè)學(xué)生認(rèn)為可以.)

師：能分別說(shuō)明一下理由嗎？

生6：(認(rèn)為不能的代表)因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候，△ACB與△CDE都是等邊三角形，兩個(gè)三角形重合了.

生7：(認(rèn)為能的代表)△ACB與△CDE是重合了，因?yàn)椤螪CE隨著∠ACB的變化而變化，當(dāng)∠DCE=60°時(shí)，∠ACB也等于60°，點(diǎn)D、E分別與點(diǎn)B、A重合，題目條件中說(shuō)點(diǎn)D、E是線段AB上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然包括A、B兩點(diǎn)，這是一種特殊情況.

師：(教師肯定了生7的說(shuō)法，繼續(xù)追問(wèn).)如果∠ACB的度數(shù)比60°小，會(huì)怎樣能？

集體：點(diǎn)D、E會(huì)分別到線段AB延長(zhǎng)線上和反向延長(zhǎng)線上.

師：是兩個(gè)點(diǎn)都到線段AB的外部了嗎？那之前的結(jié)論還成立嗎？

(在老師的啟發(fā)下，學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖、探究、小組討論，經(jīng)過(guò)探究他們發(fā)現(xiàn)可能兩個(gè)點(diǎn)都到了線段AB的外部，也有可能一個(gè)在外部一個(gè)還在線段AB上，但結(jié)論都依舊成立.)

師：現(xiàn)在我們還可以提出什么問(wèn)題呢？

生8：在△ABC中，點(diǎn)D、E是直線AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BC，猜想∠ECD與∠ACB有何數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

師：剛剛同學(xué)們從點(diǎn)動(dòng)的角度提出問(wèn)題，那能不能線動(dòng)呢？

生9：如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AF=AD，BE=BC，求∠CGF的度數(shù).

圖7 圖8 圖9

生10：將∠ACB=90°去掉，改成探究∠CGF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

生11：如圖8，在△ABC中，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=AD，BE=BF，探究∠CGF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

生12：如圖9，在△ABC中，點(diǎn)E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AE=AF，BE=BC，探究∠CEF與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

生13：如圖10，在△ABC中，點(diǎn)E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AE=AF，BE=BG，探究∠FEG與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

圖10 圖11

生14：如圖11，在△ABC中，點(diǎn)D、E是AB上的兩個(gè)點(diǎn)，AD=AG，BE=BF，線段GD、FE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，探究∠FMG與∠ACB的數(shù)量關(guān)系.

解題教學(xué)中必要的任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)新增的核心概念就是創(chuàng)新意識(shí).課標(biāo)指出：“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程之中.”[3]解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，所以可以借助解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，學(xué)生能自主的從顛倒條件與結(jié)論、從形內(nèi)到形外、從線段到直線、從點(diǎn)動(dòng)到線動(dòng)等不同的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、并創(chuàng)造性地以文字、圖形、符號(hào)語(yǔ)言等形式提出新的問(wèn)題.學(xué)生提出的問(wèn)題優(yōu)劣暫且不論，但是學(xué)生從中獲得了成功體驗(yàn)，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí).

通過(guò)問(wèn)題2的解題教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，達(dá)到了受之以塘的效果，解題教學(xué)境界屬于創(chuàng)新境界.

2.三種境界間的關(guān)系

2.1 遞進(jìn)關(guān)系

從知識(shí)境界到策略境界，再到創(chuàng)新境界，解題教學(xué)境界的層次逐漸提升，呈現(xiàn)出遞進(jìn)的關(guān)系.解題境界的高低取決于教學(xué)理念定位的高低.教學(xué)理念是獲取知識(shí)，解題教學(xué)就只會(huì)關(guān)注問(wèn)題“怎樣解”；教學(xué)理念是培養(yǎng)學(xué)生的能力，解題教學(xué)還會(huì)關(guān)注“為什么這樣解”“怎樣學(xué)會(huì)解”；教學(xué)理念是立足學(xué)生未來(lái)發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解題教學(xué)就還會(huì)關(guān)注“還能解什么”.

2.2 促進(jìn)關(guān)系

在解題過(guò)程中，知識(shí)是培養(yǎng)能力、提升創(chuàng)新意識(shí)的本原，策略是獲取知識(shí)的鑰匙，創(chuàng)新可以促進(jìn)知識(shí)的生長(zhǎng).而只有掌握了知識(shí)，學(xué)會(huì)了解題的策略，才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.所以知識(shí)、策略、創(chuàng)新是相互促進(jìn)的關(guān)系.

3.結(jié)語(yǔ)

古人云“取法乎上，僅得其中；取法乎中，僅得其下”.解題教學(xué)教師首先要有追求高境界的意識(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)，選擇有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升解題教學(xué)課堂效益.努力實(shí)現(xiàn)解“好題”，“解好”題[4].