基于有效介質(zhì)理論的物理性能計(jì)算模型的軟件實(shí)現(xiàn)*

孫楠楠 施展? 丁琪 許偉偉 沈洋 南策文

1)(廈門大學(xué)材料學(xué)院,廈門 361005)

2)(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,廈門 361102)

3)(清華大學(xué)材料學(xué)院,北京 100084)

1 引 言

近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及理論方法的完善,科研人員對(duì)一些材料的結(jié)構(gòu)形成、結(jié)構(gòu)與性能之間的定量關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算模擬[1?5].傳統(tǒng)的逐點(diǎn)實(shí)驗(yàn)方法不僅耗費(fèi)大量的人力物力,而且實(shí)驗(yàn)周期漫長(zhǎng),其結(jié)果也存在偶然性.預(yù)先對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行理論模擬計(jì)算不僅可以更好地指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)工作的開(kāi)展,也可以對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,還可以縮短實(shí)驗(yàn)周期、節(jié)約人力物力[6,7].

復(fù)合材料具有從原子尺度到顯微結(jié)構(gòu)尺度再到宏觀尺度的多尺度、多層次的結(jié)構(gòu)特征.廣義上講所有的非均質(zhì)材料都可以稱為復(fù)合材料,但是不同尺度上的處理方法不同.顯微結(jié)構(gòu)尺度是指材料結(jié)構(gòu)為納米級(jí)以上甚至達(dá)微米級(jí)的尺寸范圍,該尺度上主要研究材料顯微結(jié)構(gòu)的形成與演變及表征、顯微結(jié)構(gòu)與性能之間的定量關(guān)系以及進(jìn)一步的材料顯微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[2].狹義上講復(fù)合材料指的是顯微結(jié)構(gòu)尺度下的多相復(fù)合材料,討論夾雜物、析出物、增強(qiáng)相與性能之間的定量關(guān)系.這類材料具有可調(diào)節(jié)性和可設(shè)計(jì)性,其性能也并非其組成材料性能的簡(jiǎn)單加和平均[8].因此,可以通過(guò)改變組成材料的種類、組合方式來(lái)改變復(fù)合材料的有關(guān)性能,從而設(shè)計(jì)出具有某種優(yōu)異性能的新材料.

對(duì)于確定材料結(jié)構(gòu)與物理性能之間定量關(guān)系的理論方法已有諸多的研究,并且形成和發(fā)展了各自的理論體系,但每種理論都有其前提條件和適用范圍[2].主要的理論方法有:1)第一性原理[9,10]及均化方法[11,12]是通過(guò)先得到局部尺度(非均勻性尺度)水平上的精確解,然后利用幾何周期性得到宏觀尺度上的線性性能.該方法主要適應(yīng)于周期結(jié)構(gòu).2)非均質(zhì)材料的細(xì)觀力學(xué)[13]方法是以Eshelby[14]的等效夾雜原理為基礎(chǔ),最先應(yīng)用于解決復(fù)合材料線彈性問(wèn)題,后來(lái)逐步推廣到解決非線彈性問(wèn)題等方面.3)有效介質(zhì)理論[15]是用于確定材料顯微結(jié)構(gòu)與物理性能定量關(guān)系的理論方法,它假設(shè)第二相隨機(jī)分布于基體相當(dāng)中.有效介質(zhì)理論從有效介質(zhì)近似[16]起,經(jīng)歷了多階段的發(fā)展過(guò)程,現(xiàn)已成為一種較為成熟的理論方法.近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者將多重散射理論[17,18]應(yīng)用于復(fù)合材料物理性能計(jì)算當(dāng)中,如有效質(zhì)量密度[19?22]、有效彈性模量[2,23,24]、有效介電常數(shù)[2,25,26]等,推動(dòng)了有效介質(zhì)理論的進(jìn)展.改進(jìn)的有效介質(zhì)理論方法[2]將有效介質(zhì)理論與細(xì)觀力學(xué)等其他方法結(jié)合,構(gòu)造了一個(gè)系統(tǒng)地描述和預(yù)示復(fù)合材料顯微結(jié)構(gòu)與性能定量關(guān)系的理論框架.在改進(jìn)的有效介質(zhì)理論中,通過(guò)較少的假設(shè),盡可能多地考慮各項(xiàng)顯微結(jié)構(gòu)因素(包括增強(qiáng)體長(zhǎng)徑比、體積含量、取向分布角、宏觀取向角、界面性質(zhì)與厚度),涵蓋力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)等物理場(chǎng)的單一場(chǎng)性能,以及多場(chǎng)之間的交叉耦合性能(如壓電、磁致伸縮、磁電耦合),它可以對(duì)常見(jiàn)的多種結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料進(jìn)行計(jì)算.

目前復(fù)合材料物理性能計(jì)算理論較多,但這些理論大多模型復(fù)雜,計(jì)算步驟繁瑣,缺少操作方便的模擬計(jì)算軟件.本文基于改進(jìn)的有效介質(zhì)理論,針對(duì)復(fù)合材料彈性模量和介電常數(shù)兩項(xiàng)物理性能,推導(dǎo)了理論公式,并設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)了Composite Studio物理性能計(jì)算軟件.該軟件除了實(shí)現(xiàn)基本的內(nèi)核功能之外,采用了求解和分析獨(dú)立運(yùn)行的工作方法.首先構(gòu)建大數(shù)據(jù)量的計(jì)算組合進(jìn)行求解,然后再設(shè)定不同的分析提取方式,分析顯示計(jì)算結(jié)果.該工作方式可以有效地提高計(jì)算效率,降低使用者的使用門檻,利于軟件的推廣使用.

2 基本原理

2.1 復(fù)合材料物理性能與平均場(chǎng)理論

材料的物理性能包含了熱、力、磁、電場(chǎng)下的物理性能.這些物理性能是材料前期設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮的重要數(shù)據(jù).

(1)式為材料物理性能的本構(gòu)方程.其中,K為物理性能,J為響應(yīng)場(chǎng),F為內(nèi)源場(chǎng).性能K可以理解為單位源場(chǎng)F下產(chǎn)生的響應(yīng)場(chǎng)J.單一場(chǎng)性能指的是源場(chǎng)F和響應(yīng)場(chǎng)J都屬于同一類型的物理場(chǎng),比如彈性模量、介電常數(shù)、磁導(dǎo)率.

通常,在平衡(穩(wěn)態(tài))、無(wú)內(nèi)源場(chǎng)情況下,材料對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)J是一個(gè)無(wú)散量,即

復(fù)合材料的有效性能是復(fù)合材料的整體表現(xiàn),通常用平均場(chǎng)的方式來(lái)定義,即平均場(chǎng)產(chǎn)生的平均響應(yīng)的大小,如(3)式所示:

從(3)式可以看出,復(fù)合材料的有效性能求解,主要是平均場(chǎng)和平均響應(yīng)的求解.在一些理想結(jié)構(gòu)中,場(chǎng)的分布容易求解.對(duì)于一般的顯微結(jié)構(gòu),精確地求解場(chǎng)分布,是一個(gè)復(fù)雜的物理問(wèn)題.

采用格林函數(shù)[2,15]可以有效地對(duì)多種顯微結(jié)構(gòu)進(jìn)行平均場(chǎng)、平均響應(yīng)的求解,核心問(wèn)題是采用格林函數(shù)求解平衡方程,即(2)式.對(duì)于非均勻介質(zhì),可以看作是在一個(gè)均勻介質(zhì)的微區(qū)中引入異質(zhì)顆粒,在這個(gè)局部位置上,均勻介質(zhì)的均勻性遭到破壞,根據(jù)微擾觀點(diǎn),局部的K(x)可以表示為

(4)式中,Ko為均勻介質(zhì)的相應(yīng)性能參數(shù),它不依賴于空間位置;K'(x)是一個(gè)微擾項(xiàng),它包含了K(x)中的所有隨機(jī)變化.進(jìn)一步得到非齊次平衡方程

其中,?2表示拉普拉斯算子,y是對(duì)應(yīng)場(chǎng)F的勢(shì)函數(shù).該方程的解可直接由對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)求出

其中,ψo(hù)不依賴于變量K′,它是該均勻介質(zhì)中的均勻勢(shì),通過(guò)分部積分可以得到局部場(chǎng)的解為

引入一個(gè)多重散射“t矩陣”張量

其中I為單位陣,進(jìn)一步可把局部場(chǎng)寫成

通過(guò)對(duì)局部場(chǎng)變量取平均,可最終得到復(fù)合材料的有效性能

(11)式是對(duì)復(fù)合材料的有效性質(zhì)的普適解,但是實(shí)際上復(fù)合材料的顆粒夾雜多數(shù)是多顆粒問(wèn)題,難以得到格林函數(shù)和t矩陣的精確解,因此,根據(jù)參考均勻介質(zhì)的不同,通常采取兩種近似來(lái)計(jì)算有效性質(zhì).當(dāng)忽略顆粒間的相互作用時(shí),可將Ko近似為基體相應(yīng)的物理性能,該種近似適合于低濃度的顆粒彌散結(jié)構(gòu),對(duì)于各向同性球形顆粒的輸運(yùn)問(wèn)題,(11)式可變?yōu)?Maxwell-Garnett[2,15,27]方程.若考慮顆粒的相互作用,可將Ko近似為復(fù)合材料的有效性能K*,稱為耦合勢(shì)近似,或自洽近似,此時(shí)參考介質(zhì)的性質(zhì)即為復(fù)合材料的性質(zhì)本身,顆粒嵌入?yún)⒖冀橘|(zhì)引起的微擾影響最小,對(duì)于各向同性球形顆粒的輸運(yùn)問(wèn)題,(11)式可變?yōu)锽ruggeman[2,15,28]方程.因此,Maxwell-Garnett方程與 Bruggeman方程均為有效介質(zhì)理論普適解的兩個(gè)特例.

2.2 復(fù)合材料幾何模型與顯微結(jié)構(gòu)因素

復(fù)合材料主要由基體、增強(qiáng)體和界面組成,其真實(shí)顯微結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,為了簡(jiǎn)化,假設(shè)基體為無(wú)窮大的連續(xù)介質(zhì),而增強(qiáng)體用簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)模擬[2].在這種幾何模型的假設(shè)下,顯微結(jié)構(gòu)因素包括增強(qiáng)體的體積分?jǐn)?shù)、長(zhǎng)徑比、截止取向分布角、宏觀取向角.復(fù)合材料整體基于增強(qiáng)體隨機(jī)分布的假設(shè),采用統(tǒng)計(jì)平均的方式求解等效性能,適用于大部分常規(guī)意義上的復(fù)合材料.當(dāng)涉及到某些性能取決于精密的周期性結(jié)構(gòu),如光子晶體的特征散射行為,本模型并不適用.

在體積分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)徑比方面,增強(qiáng)體用旋轉(zhuǎn)橢球體等效后,旋轉(zhuǎn)橢球體的體積分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)徑比是結(jié)構(gòu)的兩個(gè)重要因素,這也是復(fù)合材料調(diào)整性能的兩個(gè)重要手段.

在截止取向分布角方面,增強(qiáng)體在基體中通常是無(wú)規(guī)分布的,如圖1所示.為了描述這種分布的混亂情況,引入纖維的取向分布角的概念,即每根纖維的局部坐標(biāo)系的軸和宏觀坐標(biāo)系X3軸的夾角.而截止取向分布角θcutoff,就是所有纖維的取向分布角的最大值,這個(gè)值可以衡量取向分布的混亂程度.在計(jì)算中,假設(shè)纖維取向在截止分布角構(gòu)成的分布錐內(nèi)均勻分布.在這樣的定義下,θcutoff為 180°表示完全無(wú)規(guī)分布,θcutoff為 0°表示完全有序,纖維全部平行排列.在實(shí)際材料中,影響取向分布的通常是工藝,例如復(fù)合材料的注塑過(guò)程的流體流動(dòng)經(jīng)常使增強(qiáng)體產(chǎn)生顯著的擇優(yōu)取向.

圖1 qcutoff規(guī)分布纖維的截止取向分布角Fig.1.Cut-off orientation distribution angle of randomly distributed fibers.

在宏觀取向角方面,當(dāng)復(fù)合材料呈現(xiàn)各向異性后,彈性模量和介電常數(shù)隨測(cè)量方向的變化也是一個(gè)需要關(guān)注的問(wèn)題.宏觀取向可以由3個(gè)歐拉角來(lái)嚴(yán)格描述,由于復(fù)合材料通常具有∞ mm的對(duì)稱性[2],為了簡(jiǎn)化軟件操作,本文的計(jì)算中宏觀取向角只考慮了影響最大的章動(dòng)角,即兩個(gè)坐標(biāo)系x3坐標(biāo)軸的夾角.其中x3軸為∞ mm的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸.

3 軟件設(shè)計(jì)與界面

3.1 軟件設(shè)計(jì)

Composite Studio物理性能計(jì)算軟件由C++語(yǔ)言/Qt編程完成.采用C++語(yǔ)言編寫了計(jì)算內(nèi)核,采用Qt設(shè)計(jì)了友好的人機(jī)界面.C++語(yǔ)言可以方便日后的升級(jí)和功能擴(kuò)展,以及引入其他計(jì)算模塊.Qt是一種圖形化程序設(shè)計(jì)框架,方便獲得可視化界面.

計(jì)算內(nèi)核包含了格林函數(shù)、角度取向平均、彈性模量計(jì)算、介電常數(shù)計(jì)算、T矩陣計(jì)算以及基本的數(shù)學(xué)函數(shù)集.功能界面主要包含材料參數(shù)庫(kù)、材料種類選擇、功能參數(shù)選擇和計(jì)算結(jié)果做圖分析等.

3.2 軟件界面

3.2.1 軟件主界面—材料庫(kù)

圖2為材料參數(shù)庫(kù)界面,在此界面可以添加或者刪除材料,也可以對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行編輯.對(duì)于各向異性材料,勾選“anisotropic”可以輸入介電常數(shù)張量、彈性常數(shù)張量的各個(gè)分量.這些材料可以作為后續(xù)計(jì)算中的基體、增強(qiáng)體等.

圖2 材料庫(kù)輸入界面Fig.2.Input interface of the material library.

3.2.2 軟件計(jì)算流程

圖3為Composite Studio物理性能計(jì)算軟件計(jì)算流程圖,首先設(shè)定復(fù)合材料的顯微結(jié)構(gòu)因素,然后設(shè)定計(jì)算模型的類型,并求解計(jì)算,最后對(duì)結(jié)果做圖分析.這些步驟都由軟件的可視化界面完成,由人機(jī)交互完成計(jì)算模型信息的輸入.軟件預(yù)設(shè)了顆粒復(fù)合、短切纖維復(fù)合、長(zhǎng)纖維復(fù)合三種復(fù)合材料類型.其中顆粒復(fù)合和長(zhǎng)纖維復(fù)合分別對(duì)應(yīng)了長(zhǎng)徑比為1、長(zhǎng)徑比為無(wú)窮大的特例.選擇基體與增強(qiáng)體性質(zhì)的步驟如圖4(a)所示,即從材料庫(kù)中直接導(dǎo)入基體材料和增強(qiáng)體材料的性質(zhì)參數(shù).圖4(b)為關(guān)鍵的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置界面,包括了體積分?jǐn)?shù)、長(zhǎng)徑比、截止分布角、宏觀取向角四個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù).設(shè)定參數(shù)范圍和間距,可以構(gòu)建相應(yīng)數(shù)量的組合.例如,體積分?jǐn)?shù)設(shè)定10個(gè)點(diǎn)、長(zhǎng)徑比設(shè)定10個(gè)點(diǎn)、截止分布角10個(gè)點(diǎn)、宏觀取向角10 個(gè)點(diǎn),則構(gòu)建的計(jì)算組合數(shù)為 10×10×10×10=104個(gè).通過(guò)減小間距,可以構(gòu)建數(shù)目非常大的計(jì)算組合數(shù).這些組合進(jìn)入求解內(nèi)核,選擇物理性質(zhì)以及自洽/非自洽方式進(jìn)行復(fù)合材料有效性質(zhì)的計(jì)算.其中,自洽模型認(rèn)為(4)式中的參考介質(zhì)就是復(fù)合材料的性能本身(Ko=K?),通過(guò)迭代求解.而非自洽模型通常以固定的參考介質(zhì)進(jìn)行求解,忽略顆粒間的相互作用.這兩種模型是常用的復(fù)合材料近似方式.計(jì)算得到所有組合的有效性質(zhì)后,對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行作圖分析,得到有效性質(zhì)隨各個(gè)顯微結(jié)構(gòu)因素的變化關(guān)系曲線.

圖3 計(jì)算流程圖Fig.3.Flow chart of the calculation.

圖4 顯微結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入界面Fig.4.Input interface of microstructure parameters.

3.2.3 計(jì)算結(jié)果分析

目前Composite Studio軟件開(kāi)發(fā)了復(fù)合材料有效彈性模量與有效介電常數(shù)的計(jì)算模塊.圖4的參數(shù)設(shè)置界面構(gòu)建了一個(gè)數(shù)量很大的參數(shù)組合集合,如果把每個(gè)可變參數(shù)當(dāng)作一個(gè)維度,計(jì)算結(jié)果實(shí)際上是一個(gè)多維數(shù)組.為便于分析,軟件設(shè)計(jì)了對(duì)每一個(gè)參數(shù)的單獨(dú)分析模式,從結(jié)果的多維數(shù)組中提取出二維的性質(zhì)-參數(shù)變化曲線.

圖5和圖6分別為玻璃纖維/環(huán)氧樹(shù)脂復(fù)合材料的有效彈性模量,以及CaCu3Ti4O12/聚氨酯復(fù)合材料的有效介電常數(shù)的計(jì)算結(jié)果.可以看出,計(jì)算結(jié)果包含了4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)(包括體積分?jǐn)?shù)、長(zhǎng)徑比、截止分布角、宏觀取向角)下的性質(zhì)-參數(shù)變化曲線,可以滿足分析需要.為了便于使用,設(shè)計(jì)了參數(shù)聯(lián)動(dòng)同步變化的功能,即如果改變4個(gè)顯微結(jié)構(gòu)參數(shù)中的某一個(gè)參數(shù),其他3個(gè)圖形相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)也會(huì)進(jìn)行同步地改變,省去了對(duì)參數(shù)的反復(fù)設(shè)置.最后,軟件還設(shè)計(jì)了單點(diǎn)分析功能,可以對(duì)任意一個(gè)組合的性質(zhì)進(jìn)行提取.如圖6所示,在“單點(diǎn)分析”區(qū)域,當(dāng)選定確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)后,其物理性能計(jì)算結(jié)果直接呈現(xiàn)在下面的物理性能矩陣列表中,可供研究者直接獲得計(jì)算結(jié)果.

圖5 Composite Studio 物理性能計(jì)算軟件計(jì)算結(jié)果—彈性模量Fig.5.Calculation results of physical performance calculation software Composite Studio—elastic modulus.

圖6 Composite Studio 物理性能計(jì)算軟件計(jì)算結(jié)果—介電常數(shù)Fig.6.Calculation results of physical performance calculation software Composite Studio—dielectric constant.

4 結(jié) 論

本文基于改進(jìn)的有效介質(zhì)理論,采用C++/Qt混合編程,開(kāi)發(fā)出了一款可跨平臺(tái)應(yīng)用的復(fù)合材料物理性能模擬計(jì)算軟件—Composite Studio,包含彈性模量和介電常數(shù)兩個(gè)計(jì)算模塊.軟件采用了計(jì)算和分析獨(dú)立工作的運(yùn)行方式,創(chuàng)建顯微結(jié)構(gòu)參數(shù)疊加組合的104量級(jí)以上的結(jié)構(gòu)組合數(shù)進(jìn)行高通量計(jì)算,后續(xù)分析篩選不再重新計(jì)算,提高了計(jì)算效率,降低了使用者的門檻.Composite Studio物理性能計(jì)算軟件可以作為一種通用的計(jì)算工具,未來(lái)將嵌入大型服務(wù)器平臺(tái),開(kāi)放用于復(fù)合材料的材料設(shè)計(jì).