整體觀指導下培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐

程新展

摘? ?要? 學生思維的“啟發(fā)度”把握不當，數(shù)學核心素養(yǎng)庸俗化，是教學設計缺失整體觀的主要表現(xiàn)。通過關注知識結構理解數(shù)學、關注認識結構理解學生、關注認知結構理解教學，是以認知論和整體觀指導教學設計的正確方向。

關鍵詞? 整體觀? 三個結構? 三個理解? 核心素養(yǎng)

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和運用過程中逐步形成和發(fā)展的既相對獨立又互相交融的一個有機整體。崔允漷先生提出了課堂教學設計要把分散的知識概念組成結構化的大觀念、大主題、大任務、大項目的問題解決學習策略。其把課程建設形象地喻為房屋建造：每個具體知識點如水泥、鋼筋和門窗形成了一個樓道，每個單元知識如樓道形成了一幢樓。因此，如何在數(shù)學教學設計中以整體觀為指導，把握好數(shù)學素養(yǎng)，提高數(shù)學的育人價值，是值得每一位數(shù)學同行認真思考的問題。

一、教學設計缺失整體觀的現(xiàn)象分析

教學中有一種較為普遍的現(xiàn)象：課堂上概念、公式、定理一個個地講，思想、方法一個個地教，基本上教得清楚，講得明白;但對整本書、整章以至于整節(jié)的結果，學生學完后卻很少能“悟”到什么。這種現(xiàn)象在中學數(shù)學教學中表現(xiàn)得十分明顯，這是數(shù)學教學的認知結構特別是整體觀缺失的很好例證。

1.學生思維的“啟發(fā)度”把握不當

由于教師對實質性結構知識的欠缺，導致教師課堂上抓不住內(nèi)容的核心，設計不出利于學生知識理解的教學主線，當然也更難提出對學生思維有“適度”啟發(fā)的挑戰(zhàn)性問題。因此，教師教學就事論事，缺乏應有的瞻前顧后，長此以往導致了學生思維呆板、思路狹窄，糾纏于內(nèi)容的細枝末節(jié)，局限于一招一式的“雕蟲小計”而不能自拔。不僅浪費了學生的時間，也影響了學生對數(shù)學的認識，數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展更是無從談起。

如筆者參加了我市組織的一個星級高中教學督導評估活動，聽了一節(jié)“正弦定理”的新授課。課上，教師在得出定理的形式后，為了給出定理證明，作了如下的啟發(fā)引導：這是三個式子連等的形式，可以先考慮證明其中的兩式相等，余下的再看能否同理可證。如要證明■=■，即證asinB=bsinA。如圖1，asinB和bsinA有什么幾何意義？

圖1

通過這一問題的“強力”引導，學生很快發(fā)現(xiàn)了它們都是AB邊上的高線長，證明自然也就“水到渠成”。但這表面上的“順利”，使學生失去了一次極好的實質性數(shù)學思考的機會。

教師提問題的質量決定了教學的質量，而問題的質量主要體現(xiàn)在“啟發(fā)度”的把握上。首先，在尋求定理證明思路的過程中，正弦定理的對稱式結構具有很好的先行組織者作用。而教師的問題，讓學生失去了通過分析定理的結構特征，構建簡潔證明思路的機會。其次，將定理形式變形為asinB=bsinA，這是發(fā)現(xiàn)其證明方法至關重要的一步，被教師點明后，本課的思維教學價值被大幅度降低。最后，AB邊上高線CD是聯(lián)系asinB和bsinA的橋梁，是正弦定理的“題眼”，教師在給出圖形的同時，還提示了它們的幾何意義，對于大部分程度較好同學來說，這種提示扎破了“題眼”，堵塞了他們的思維空間。

2.數(shù)學學科核心素養(yǎng)庸俗化

日常教學中，我們在關注知識發(fā)生發(fā)展的過程中，常常提供較為豐富的背景材料用于學生的抽象概括，這本是一個很有意義的過程。但有不少教師僅僅是出于“抽象概括是數(shù)學核心素養(yǎng)”的考量，能在課堂上體現(xiàn)的就盡量體現(xiàn)，對該不該體現(xiàn)、該如何體現(xiàn)、該何時體現(xiàn)都鮮有考慮，結果反而削弱了學生對數(shù)學整體結構的認知。類似情況也經(jīng)常出現(xiàn)在其余的數(shù)學核心素養(yǎng)中，致使數(shù)學核心素養(yǎng)庸俗化。

如在橢圓的標準方程教學中，很多教師片面地理解課標“經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程”的要求，把橢圓的數(shù)學抽象放在本節(jié)課的教學重心上，而且在設計這種抽象過程時，又嚴重脫離了數(shù)學的邏輯支撐。一位教師作了這樣的設計：請同學們觀察這個水杯（圓口）的水面，當水杯平放著時，我們可看到一個圓;當水杯傾斜時，看到的又是什么呢？這種形同虛設、毫無意義的設計，不僅沒有完成數(shù)學抽象的要求，反而嚴重破壞了學生的認知結構。學生連橢圓是什么都不知道，卻能把橢圓抽象出來，這無疑是荒唐的。

二、以整體觀指導教學設計的實踐策略

教育要為學生謀取長遠利益，數(shù)學教育應在數(shù)學的情境中進行育人的教學。課程目標下數(shù)學的知識結構和學生的認識結構成為我們設計教學時首先要考量的問題，這是數(shù)學育人的基礎。如果我們還能從認知結構的角度出發(fā)開展教學，那么學生的數(shù)學能力就有了“附著點”，提升學生的核心素養(yǎng)就有了“著地點”。因此，關注“三個結構”是以認知論和整體觀指導我們教學設計的正確方向。

1.關注知識結構—理解數(shù)學

知識結構是指知識本身的邏輯體系。數(shù)學的本質是數(shù)學知識的整體化、結構化和內(nèi)在聯(lián)系。知識結構中的數(shù)學知識所蘊含的思想方法，保障了知識內(nèi)容的層次性和聯(lián)系性。布魯納說：獲得的知識，若沒有一個完滿的結構把它們聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。因此，只有準確把握數(shù)學的知識結構，才能理解數(shù)學。

在正弦定理教學中，根據(jù)三角形全等的“基本事實”，由所給三角形的SAS、AAS或SSS，可求出其余的邊或角，是正（余）弦定理的本質。從整體知識結構來看，一個三角形的其他各種幾何量如面積、高線、中線、角平分線、外徑、內(nèi)徑長等都可以由所給的這樣一組量來表示;同時它們之間又有著極其豐富優(yōu)美的關系，且在一定條件下又可以相互表示，這是正（余）弦定理產(chǎn)生的源頭。

因此，本課的教學應從學生已有的三角形知識結構（定性、定量的認識）出發(fā)設計問題，并以此為線索，貫穿于課堂的始終。在定理的發(fā)現(xiàn)階段，加強三角形幾何量之間關系可以相互表示的引導;在定理的證明階段，從知識間的聯(lián)系上予以啟發(fā)，讓學生通過對幾何量基本關系表達式的靈活變形，探尋不同方法。

問題1：在一個三角形各種幾何量之間存在的各種關系中，你知道了其中的哪些？

問題2：從定性到定量是數(shù)學研究的基本過程，從定量角度看三角形全等的基本事實，你能想到什么？

問題3：對于直角三角形，我們已經(jīng)知道了勾股定理和邊角之間的關系，那么對于一般三角形的邊角之間又有著怎樣的定量關系呢？

追問1：由特殊到一般是研究數(shù)學問題的常用策略，你能利用直角三角形的有關結論，探索一般三角形邊角之間的關系嗎？

以上設計，從整體上把握內(nèi)容，通過從正弦定理產(chǎn)生的源頭出發(fā)宏觀提出問題，使定理的發(fā)現(xiàn)和證明一氣呵成，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想和由特殊到一般的思維規(guī)律，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再發(fā)現(xiàn)”過程，不僅省力、省時，而且立意高遠，學生對正弦定理的認識更全面、更深刻。

2.關注認識結構—理解學生

認識結構是指人在認識活動中的心理過程和個性差異，前者包括人的知覺、感覺、想象、記憶、思維和注意，后者包括人的能力和性格等。學生認識結構的差異，會造成其學習力的差別。學生的認識活動總是和積極的情感相伴隨，愉快的情緒是認識活動的動力和積極性的源泉。

對學生認識結構的把握，是幫助學生了解數(shù)學思維邏輯、提高學生思維品質的關鍵。這就要求教師在設計教學時要注意采用符合學生認識結構的方式，循序漸進，并時常關注其認知心理、個性品質認識的變化，以及對問題演繹推進的合理性和必要性的把握;要耐心細致，以情激情，提高學生思維的主動性;要客觀面對學生的個體差異，用發(fā)展的眼光看待學生，增強學生的自信心。因此，理解學生的認識結構的教學就是理解學生的教學。

教之道在于“度”，學之道在于“悟”。在正弦定理的教學中，從認識結構上來看，學生在解決問題的策略和數(shù)學思想方法方面，對于如何從定性到定量地研究問題以及從知識的相互聯(lián)系性出發(fā)發(fā)現(xiàn)解題思路等方面，都已具備較多學習經(jīng)驗。問題1、問題2、問題3和追問1給學生留有充分的悟的時間和空間，是需要跳一跳才能摘到果子的;認識能力較強的同學可以在問題3提出后，就展開獨立研究或投入到小組的交流、研討活動中?？紤]到學生在認識水平上的差異，針對能力水平較低的同學，教師還要注意從宏觀逐步過渡到微觀，對學生思維的引導不斷具體化，如在追問1的基礎上，可再具體追問。

為了建立數(shù)學內(nèi)部不同分支之間的聯(lián)系，提高學生對數(shù)學的整體性認識，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，利用上述基本圖形證明定理后，教師還應根據(jù)學生的認識能力，在課堂或作為課堂教學的延伸，進一步引導學有余力的學生探索其他的證明方法，如利用向量的數(shù)量積產(chǎn)生三角函數(shù)、借助三角形的外接圓轉化為直角三角形的問題、在坐標系中利用三角函數(shù)定義等不同證法。

3.關注認知結構—理解教學

認知結構是指知識內(nèi)容和組織這些內(nèi)容的方式，并以同化、順應和平衡的形式表現(xiàn)出來。奧蘇貝爾指出：原有認知結構是通過它的可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性（清晰性）三個特性（統(tǒng)稱為認知結構變量）來具體影響著有意義學習的進程?？衫眯允切屡f知識互相同化的落腳點，沒有這種舊知，新知的學習只能是機械的、死記硬背的;可辨別性是新舊知識之間的差異程度，只有當學生能清晰地分辨出新舊知識間的差異時，他們對新知的學習才是有意義的，否則就會導致學習上的負遷移;穩(wěn)定性（清晰性）為新知的學習提供了同化的固定點和方位點，如果學生對舊知的掌握是模糊的、不牢固的，那么學生對新知的學習就不可能是有意義的、更不可能是順利的。因此，塑造學生良好的認知結構，使他們具有不斷吸收并同化新知的能力，就是理解教學。

橢圓的教學，是建立曲線與方程思想后，真正意義上研究的第一個重要曲線。因為曲線與方程概念是高中數(shù)學學習中公認的難點，學生認知的沖突難以解決，2017年版高中數(shù)學課程標準根據(jù)學生認知的需要，調(diào)整了課程結構，其中在內(nèi)容條目上刪除了曲線與方程，把曲線與方程的概念處理為：“平面解析幾何背后的思想逐步加以滲透”。因此，從本質上看，本節(jié)教學要進一步突出強調(diào)坐標法思想的研究“規(guī)則”：準確找到一種曲線的幾何條件，將其轉化成代數(shù)形式并同解化簡為二元方程，再合理解釋以二元方程的解為坐標的點都在曲線上。

因此，從塑造學生認知結構的角度出發(fā)，在規(guī)則下完成坐標法的完整過程才是本課教學的中心任務，這個過程與邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)都息息相關，它清晰、連貫、穩(wěn)定、包容、可辨別，可使學生較好地獲得新的認知。而上文所提及的“把橢圓的數(shù)學抽象放在教學的重心上”顯然是不當?shù)摹?/p>

章建躍先生指出：高水平的教學設計應建立在理解數(shù)學、理解學生、理解教學的基礎上。教師對這“三個結構”的整體把握水平，體現(xiàn)了教師在“三個理解”上所達到的高度，把它們有機融合起來，更有利于正確把握數(shù)學學科核心素養(yǎng)，建立良好的數(shù)學教育整體觀，使數(shù)學教育步入良性循環(huán)的軌道。

參考文獻

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【責任編輯? 郭振玲】