雙論域上基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集*

彭連貴 閻瑞霞 陳昭君

（上海工程技術(shù)大學管理學院 上海 201620）

1 引言

Pawlak粗糙集理論［1］作為一種處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)的理論，在人工智能、模式識別以及決策分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用和研究。

經(jīng)典粗糙集理論的核心在于利用等價關(guān)系從近似空間中導出一對下、上近似算子。因此，粗糙集理論的研究主要集中在三個方面：等價關(guān)系、近似空間和論域。針對很多問題中論域上的二元關(guān)系不是等價的，學者們研究了基于相似關(guān)系、一般關(guān)系和優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集［2］；針對現(xiàn)實生活的模糊性和不確定性，學者們研究了模糊近似空間［3］、變精度［4］和灰色空間下的粗糙集［5］；粗糙集論域擴展的研究是從Yao［6］研究粗糙集代數(shù)的信任函數(shù)開始的，之后，學者們對論域擴展的粗糙集模型進行了研究。孫文鑫［7］將單論域擴展到了雙論域，擴展了其應(yīng)用性；閻瑞霞等［8］考察了雙論域粗糙集的不確定性度量；張超等［9］將模糊語言與粗糙集融合，定義了一種新的粗糙集模型。

Zadeh L.A［10］在1996年提出并討論的模糊信息粒化問題之后，信息粒化理論［11］在集合理論和區(qū)間分析、模糊集、粗糙集、概率論、熵空間理論等架構(gòu)內(nèi)不斷的發(fā)展。Qian 等［12～15］通過分析粒計算與粗糙集理論之間的關(guān)聯(lián)，將粒計算和粗糙集結(jié)合起來并提出動態(tài)粒度理念，之后將單粒度粗糙集擴展到多粒度粗糙集。多粒度粗糙集模型作為一種新的多視角數(shù)據(jù)分析方法，克服了經(jīng)典粗糙集理論的缺陷，在目標識別［16］、Web挖掘［17］、輿情預(yù)警決策［18］等眾多方面廣泛應(yīng)用。

在多粒度粗糙集研究中，論域與粒度的權(quán)重問題一直是學者研究的熱點。孫文鑫將單論域擴展到雙論域上，卻忽略了在實際應(yīng)用中不是每個粒度都是平等的，有的粒度比較重要，需要賦予更大的權(quán)重，而有的粒度作用小，可賦予較小的權(quán)重。張明［19］提出了基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集，差異地考慮了不同粒度在實際情況下具有不同重要度，卻沒有放到雙論域上進行研究。針對雙論域粗糙集在粒度重要程度上考慮的不足和加權(quán)多粒度粗糙集在論域擴展上的不足，分析并建立雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型，考慮雙論域內(nèi)不同粒度重要程度的差異性，定義粗糙集模型的上下近似并對其性質(zhì)進行了進一步的研究。

2 雙論域粗糙集

定義1［20］設(shè)U和V為兩個非空有限論域，設(shè)R是U和V上的任意二元關(guān)系集，且假設(shè)，為R的m個屬性子集族，′是V和U上R的逆關(guān)系。，R和R′的特征函數(shù)定義如下：

設(shè)論域U中有m個元素，論域V中有n個元素，利用特征函數(shù)定義R的關(guān)系矩陣記為

顯然R′的關(guān)系矩陣為矩陣A的轉(zhuǎn)置A'。如果關(guān)系矩陣A中不存在一行或一列元素全為零，則稱關(guān)系矩陣A為信息矩陣。

為了簡單描述，將論域U，V和關(guān)系R，R′構(gòu)成的系統(tǒng)記為信息系統(tǒng)（U，V，R），其中U和V為兩個非空的有限論域，和互為逆關(guān)系。

定義2［20］在信息系統(tǒng)（U，V，R）中，，論域V到論域U的粗糙集近似算子P（U）為

3 雙論域上基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集

針對多粒度粗糙集論域擴展與屬性子集權(quán)重研究中的不足，分析并建立雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型，在將論域進行擴展的同時，考慮不同粒度所具有的權(quán)重的不同。下面給出雙論域上的基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型的定義及其相關(guān)性質(zhì)。

定義3設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)為R的m個屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，，由R導出的粒度空間對應(yīng)的粒度權(quán)重為，則對于?，X關(guān)于R的加權(quán)多粒度粗糙集的上下近似定義為

定理1設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)為 R 的 m個屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，，由R導出的粒度空間對應(yīng)的粒度權(quán)重為，則有

定理2設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)RT=｛R1，R2，…，Rm｝為 R 的 m 個屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R 導出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對應(yīng)的粒度 權(quán) 重 為，對 于，則有

定理3設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)為R的m個屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R導出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對應(yīng)的粒度權(quán)重為，有

3）證明過程類似于2）。

定理4設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)RT=｛R1，R2，…，Rm｝為 R 的 m個屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R導出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對應(yīng)的粒度 權(quán) 重 為，則 對如果，則有

2）證明過程類似于性質(zhì)（1）。

定義3設(shè)U，V是兩個不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個屬性，且假設(shè)為的m個屬性子集劃分，為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由導出的粒度空間對應(yīng)的粒度權(quán)重為，則對?Y∈U，X關(guān)于R′的加權(quán)多粒度粗糙集的上下近似定義為其中，稱為Y關(guān)于屬性子集族R′的雙論域上的基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集。

4 算例應(yīng)用

雙論域上基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集在將論域擴展的同時考慮粒度的不同重要性的現(xiàn)實情況，在現(xiàn)實中的應(yīng)聘案例中有很好的應(yīng)用性。表1～3描述的是外貿(mào)公司選聘人才的情況，其中是由該外貿(mào)公司五位應(yīng)聘者組成的一個論域，是由公司要求應(yīng)聘者要具備的技能構(gòu)成的一個論域。其中y1表示的是口才表達，y2表示的是專業(yè)技能，y3表示的是英語技能，y4表示的是工作態(tài)度。應(yīng)聘者分別由一位主面試官，兩位副面試官為其打分，其中數(shù)字1表示該應(yīng)聘者具備此項能力，0表示該應(yīng)聘者不具備此項能力。

表1 專家1打分情況表

表2 專家2打分情況表

表3 專家3打分情況表

根據(jù)AHP方法，確定專家1、專家2、專家3對應(yīng)的權(quán)重分配為。通過專家對應(yīng)聘者的評估，我們知道這五位應(yīng)聘者成功應(yīng)聘的為。試問在滿足題設(shè)條件的情況下，這五位應(yīng)聘者要想都應(yīng)聘成功，必須具備哪幾項能力，應(yīng)該具備哪些能力。根據(jù)定義3計算得

比較文獻［7］中粗糙集模型的運算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：閾值β=2/3的題設(shè)情況下，雙論域粗糙集在進行運算時遍歷；而文中提出的粗糙集模型可以有選擇的訪問或來進行運算。且在計算機中設(shè)計運算時，首先選擇或，而不會選擇訪問，時間效率提高了33%；當在情況下，遍歷所有的屬性子集，必然造成冗余運算和時間的浪費；而雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集卻很好地克服了這一點，從可以知道，該模型在滿足一定權(quán)值積累的要求時即可；關(guān)注那些對事件發(fā)展具有顯著影響的因子，可以大大提高事件處理的效率。將該模型運算的結(jié)果。與文獻［19］模型的運算結(jié)果進行對比發(fā)現(xiàn)，該模型具有更高的精確度。

5 結(jié)語

粗糙集處理模糊信息的優(yōu)越性，使其廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。為了克服雙論域上基于一般關(guān)系的多粒度粗糙集在屬性子集權(quán)重上考慮的不足與加權(quán)多粒度粗糙集在論域擴展問題上討論的不足，分析并建立雙論域上的基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型。通過實例的分析驗證發(fā)現(xiàn)：該模型不僅在處理簡單問題具有很好的效果，而且在處理復(fù)雜事件時，也能夠很好地解決問題，同時在保證運算精度的情況下，節(jié)約運算的時間，提高效率。

文章提出一種新的粗糙集模型仍需要繼續(xù)深入研究該模型的不確定性度量和穩(wěn)定性，以及在實際生活中的應(yīng)用等問題，不斷將其優(yōu)化，使其發(fā)揮更大的作用。