Plate方程指數(shù)吸引子的存在性

蘇小虎, 姜金平

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

我們考慮如下plate方程

(1)

指數(shù)吸引子的存在性，其中：Ω?Rn是光滑邊界上的有界區(qū)域；u=u(x,t)是Ω×(τ,+)上的未知函數(shù)；α>0為粘性阻尼；g∈L2(Ω);ε(t)∈C1(R)是有界的單調(diào)遞減函數(shù)，并且滿足

假設(shè)非線性函數(shù)f∈C2(R,R)滿足下面條件：存在C0>0,使得：對?s∈R，有

Plate方程來源于彈性振動方程，近幾年對Plate方程吸引子的存在性問題研究十分廣泛。有許多學(xué)者在不同方向做了研究，文獻(xiàn)[1，2]研究了有界域上Plate方程一致吸引子的存在性；文獻(xiàn)[3-5]主要研究了在無界區(qū)域上Plate方程全局吸引子的存在性;文獻(xiàn)[8-9]分別研究了Plate方程時間依賴全局吸引子的存在性和非自制Plate方程時間依賴強(qiáng)拉回吸引子的存在性，馬巧珍等人[11,12]對梁方程進(jìn)行了研究,證明了梁方程指數(shù)吸引子及全局吸引子的存在性。受文獻(xiàn)[5-9]的啟發(fā)，本文證明了Plate方程在相空間E0上指數(shù)吸引子的存在性。

1 預(yù)備知識

定義D(A)={v∈V,Av∈H}|,其中Av=Δ2v，D(A)的內(nèi)積和范數(shù)分別用(Au,Av)和|Au|2=(Au,Au)表示，顯然，我們有D(A)?V?H=H*?V*,在這里嵌入都是連續(xù)的且其值域是稠密的，其中H*,V*分別表示H和V的對偶空間，記V*的范數(shù)為‖·‖V*。因為A是正對稱算子,對任意的s∈R,定義V2s=D(AS)上的冪算子As,則內(nèi)積內(nèi)積和范數(shù)

另外,A是正定的,且有緊逆的自伴算子,若{ωn,n=1,2,…}是A的完備特征向量,則λ1,λ2,…為特征值，且滿足

0<λ1λ2…λn…,λn→,n→。

根據(jù)Poincae不等式，有

‖v‖≥λ1|v|，?v∈V。

(2)

定義1.1[6]設(shè){S(t)}t≥0是相空間E上的半群,緊集M?E被稱為是({S(t)}t≥0,E)的指數(shù)吸引子，如果滿足下列條件：

(i)S(t)M?M,?t≥0；

(ii)M有有限分形維數(shù)，即dimFM<；

(iii)對E中的任意有界集B，存在常數(shù)a0，a1>0，使得對?t≥0，成立

dist(S(t)B,M)a0exp(-a1t)。

根據(jù)指數(shù)吸引子的定義，若半群存在指數(shù)吸引子M,則全局吸引子A?M,且分形維數(shù)滿足dimFA

‖(I-PN)(Su-Sv)‖E‖PN(Su-Sv)‖E

或者有

‖(Su-Sv)‖Eδ‖u-v‖E

成立。

定義1.3[7]若B?E有界,{S(t)}t≥0是E上的半群,若存在t*>0,映射S*=S(t*)滿足擠壓性,則半群{S(t)}t≥0在B上滿足離散的擠壓性。

定理1.4[7](i)若ε,α>0，g∈Cb(R+;H),對于初值(u0,u1)∈E0,則方程(1)有唯一的解u(t)，使得：

定理1.5[8]假設(shè)(H1)-(H2)中的條件成立，B0=BE0(0,ρ0)是(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在E0中的有界吸收集，在這里空間E0以0為中心，ρ0為半徑的球，則E0中的任意有界吸收集B,?t0(B)>0,使得當(dāng)t≥t0(B)時,有S(t)B?B0。

定理1.6[8]假設(shè)(H1)-(H2)中的條件成立,則(1)在E1中存在有界吸收集BE1(0,ρ1)，有

B0={(u,v)∈V×H=E0:‖u‖2+|v|2

B1={(u,v)∈D(A)×V=E1:|Au|2+‖v‖2

B0和B1是E0,E1中的不變吸收集。其中定義B=B0∩B1作為E0的不變緊集,則在E0是緊的,在E1中是有界的,在B上定義半群{S(t)}t≥0，有S(t)B?B。

引理1.7設(shè)存在一個常數(shù)C,使得

其中z0=(u0,u1),z(t)=(u(t),ut(t))。

證明令ψ=ut,由方程(1)得

ε(t)ψtt+Δ2ψ+αψt+f′(u)ut=0,

ψ(0)=u1,

據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，我們得

用2ψt+2δψ做內(nèi)積得

其中

Λ(t)=‖ψ‖2+ε(t)‖ψt‖2+δα‖ψ‖2+2δε(ψ,ψt)

利用H?lder與Young不等式

2δ|ε(ψt,ψ)|

其中|ε(t)|L，當(dāng)這里的δ足夠小時，存在

(-f′(u)ut,2ψt+2δψ)2‖f′(u)ut‖(‖ψt‖+δ‖ψ‖)

由Gronwall引理，可得

根據(jù)上面定義及定理，下面將依次來驗證(1)中半群{S(t)}t≥0在E0中的Lipschitz連續(xù)性和擠壓性。

為進(jìn)一步證明，先引入

HN=linearspan{ω1,ω2,…,ωn}

(3)

pN:H→HN,qN=I-PN。

再由投影的定義,我們得到

|u|2

現(xiàn)在令

PN:E0→(pNV)×(pNH),QN=I-PN。

(4)

定義

PN(u,v)=(pNu,pNv),(u,v)∈E0。

(5)

為了方便證明,我們構(gòu)造函數(shù)

N(z)=‖u‖2+|v|2+λ|u|2,?z=(u,v)∈E0

(6)

和

引理1.8(i)由N(·)導(dǎo)出的范數(shù)等價于E0上的范數(shù)，即有

‖u‖2N(z)

(8)

(ii)M(z)的范數(shù)等價于空間QNE0上的E0范數(shù),取N0=max{N1,N2}足夠大,使得

(9)

證明(i)對N(z)=‖u‖2+|v|2+λ|u|2，?z=(u,v)∈E0,

由Poincaré不等式得

‖u‖2+|v|2+λ|u|2

再者

(ii)由于z=(u,v)∈QNE0,u∈qNV。利用(1.4)得

又由于

(u,v)|u||v|

于是

即引理(1.8)得證。

通過上述定理及引理的證明，下面我們進(jìn)一步探究在相空間E0上方程(1)是否滿足Lipschitz連續(xù)及離散的擠壓性條件。

2 E0中指數(shù)吸引子的存在性

(10)

(ii)令φ=qNω和φ(φ,φt)=QNW。則對于任意的t≥0,M(φ(t))滿足微分不等式

(11)

其中C1是與ρ0,ρ1有關(guān)的常數(shù),C2是與λ1,α,C1有關(guān),而與φ,W無關(guān)的常數(shù)。

證明由于ωt滿足方程(1),即

(12)

此時，我們令

用ωt與(12)做內(nèi)積,并且在Ω上積分得

(13)

整理得

(14)

由條件(H2),定理1.5,1.6及Sobolev嵌入定理，存在M>0使得

|f′(u)|LM,|f″(u)|LM。

于是有

(15)

由(1.7)，(13)-(15)我們得

由Gronwall引理得

N(W(t))eβtN(W(0))

由(1.7)范數(shù)等價性，即有

(ii)用qN作用于(12)得下面方程

(16)

即有

(17)

又由于φ，φt∈qNV,因此有

‖φt‖V

(18)

(19)

由范數(shù)等價性，即有

(20)

結(jié)合(18)-(20)

(21)

因此，由上述引理有

(22)

引理2.2對任意的T>0,映射(t,u0)S(t)u0:[0,t*]×B→B是Lipschitz連續(xù)的。

證明對u0,u1∈B,t1,t2∈[0,T],有

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0‖S(t1)u0-S(t1)u1‖E0+‖S(t1)u1-S(t2)u1‖E0。

(23)

由引理1.7得

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0=‖u(t1)-u(t2)‖E0‖ut(y)dy‖E0C|t1-t2|。

因此

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0L[|t1-t2|+‖u0-u1‖E0]。

(24)

定理2.3選取t*，N=max{N0,N1,N2},滿足

(25)

和

(26)

則E0中的有界子集B上的解算子{S(t)}t≥0滿足Lipschitz連續(xù)和離散的擠壓性。如果

‖pNW(t*)‖E0‖QNW(t*)‖E0

則

證明對(22)運用Gronwall引理，得

M(φ(t))

由(25)和(26)有

由上述定理得到解半群S*=S(t*)在E0中離散的指數(shù)吸引子M*

定理2.4在方程(1)中，設(shè){S(t)}t≥0是相空間E上的半群,如果半群{S(t)}t≥0在非空緊正不變集合B?E0中滿足離散的擠壓性,則映射S*=S(t*)生成的離散動力系統(tǒng)存在一個指數(shù)吸引子M*若映射(t,u0)S(t)u0:[0,t*]×B→B是Lipschitz連續(xù)映射，則集合是{S(t)}t≥0在E0中的指數(shù)吸引子。