基于同波束干涉的空間三維相對(duì)位置測(cè)量研究

任天鵬，高云鵬，謝劍鋒，杜 蘭

（1.北京航天飛行控制中心，北京100094；2.戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)，鄭州450052）

引 言

我國(guó)探月工程分為“繞、落、回”3 個(gè)階段?！版隙? 號(hào)”“嫦娥2 號(hào)”和“嫦娥3 號(hào)”探測(cè)器已經(jīng)完成繞月飛行及著陸區(qū)成像、月面軟著陸以及月面勘察等任務(wù)[1-3]。目前，“嫦娥5 號(hào)”和首次火星探測(cè)任務(wù)也處于準(zhǔn)備階段，在未來(lái)幾年也將相繼開(kāi)展。其中“嫦娥5 號(hào)”任務(wù)的探測(cè)器包括軌道器、返回器、著陸器和上升器等，計(jì)劃完成月面取樣返回任務(wù)?！版隙? 號(hào)”任務(wù)特點(diǎn)之一是存在多個(gè)分離與交會(huì)弧段等。而分離和交會(huì)階段器間相對(duì)位置測(cè)量是任務(wù)實(shí)施必需工作，立足現(xiàn)有測(cè)量條件發(fā)展深空探測(cè)器相對(duì)位置測(cè)量已成為深空導(dǎo)航研究的迫切任務(wù)之一。

甚長(zhǎng)基線(xiàn)干涉測(cè)量技術(shù)（Very Long Baseline In‐terferometry，VLBI）是射電天文領(lǐng)域一種高精度測(cè)角技術(shù)[4]。由于具有很高的角分辨能力、很強(qiáng)的切面約束性，VLBI 已經(jīng)廣泛應(yīng)用在深空導(dǎo)航領(lǐng)域，并衍生出雙差分單向測(cè)距（Delta Differential One-way Ranging，?DOR）、同波束VLBI（Same-beam VLBI，SBI）等技術(shù)。相關(guān)技術(shù)已被美國(guó)國(guó)家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）、歐洲航天局（European Space Agency，ESA）及中國(guó)科學(xué)院VLBI 網(wǎng)（Chinese VLBI Net‐work，CVN）、深空測(cè)控網(wǎng)（Chinese Deep Space Net‐work，CDSN）等機(jī)構(gòu)應(yīng)用到了一系列深空探測(cè)任務(wù)中[5]。其中SBI 屬于一種精度較高的相對(duì)測(cè)量手段。當(dāng)兩個(gè)探測(cè)器（信號(hào)源）在角度上非常接近時(shí)，它們可以在地面天線(xiàn)的同一波束內(nèi)被觀測(cè)，使用同時(shí)對(duì)兩個(gè)信號(hào)源進(jìn)行干涉測(cè)量。SBI能有效消除傳播路徑中電離層、大氣以及觀測(cè)裝置的絕大部分影響，提高干涉時(shí)延精度，對(duì)兩器相對(duì)位置有較強(qiáng)的約束能力。2013年l2月，對(duì)“嫦娥3號(hào)”月球探測(cè)器進(jìn)行定位試驗(yàn)時(shí)，中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)鄭鑫等利用CVN“北京-昆明-烏魯木齊”三站三基線(xiàn)SBI，成功解算出了著陸器和巡視器的差分相時(shí)延，在數(shù)厘米的靈敏度量級(jí)上實(shí)現(xiàn)了對(duì)巡視器動(dòng)作的監(jiān)視，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)其精確定位，定位精度達(dá)到1 m，差分相時(shí)延精度達(dá)到ps量級(jí)[6]。2017 年6 月，喀什深空站陳永強(qiáng)等利用CD‐SN“佳木斯-喀什”單基線(xiàn)SBI，輔助使用天文圖像處理系統(tǒng)（Astronomical Image Processing System，AIPS）、Difmap 等射電干涉測(cè)量軟件工具，確定了二維天平面上“嫦娥3 號(hào)”著陸器全向天線(xiàn)相對(duì)定向天線(xiàn)的位置，角分辨率優(yōu)于0.5 mas（毫角秒）[7]。

為了實(shí)現(xiàn)空間三維相對(duì)位置測(cè)量，本文將建立空間相對(duì)位置測(cè)量模型，獨(dú)立給出基于單基線(xiàn)SBI的空間三維位置解算方法。利用“嫦娥3號(hào)”著陸器的測(cè)控天線(xiàn)（全向天線(xiàn)）與定向天線(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證本文自主測(cè)量模型與解算方法的有效性，為“嫦娥5 號(hào)”任務(wù)器間分離與交會(huì)弧段相對(duì)位置測(cè)量?jī)?chǔ)備技術(shù)基礎(chǔ)。

1 基于SBI 的空間三維相對(duì)位置測(cè)量模型

1.1 同波束干涉測(cè)量（SBI）觀測(cè)模型

當(dāng)兩個(gè)航天器在角度上非常接近時(shí)，可以在一個(gè)地面天線(xiàn)的同一個(gè)波束內(nèi)被觀測(cè)，使用兩個(gè)地面站天線(xiàn)對(duì)兩個(gè)航天器同時(shí)觀測(cè)，可以形成差分干涉測(cè)量，這一技術(shù)被稱(chēng)為同波束干涉測(cè)量，如圖1所示。假設(shè)兩個(gè)航天器h（h=a，b）的信號(hào)到達(dá)測(cè)站g（g=A,B）的傳播時(shí)延為，表示為

其中：τhg表示由航天器h到測(cè)站g的幾何延遲；（τth-τtg） 表示航天器 h 與測(cè)站 g 間的鐘差；τshg表示由大氣、等離子等介質(zhì)引入的傳播介質(zhì)時(shí)延；τeg表示測(cè)站g 的設(shè)備時(shí)延。因此航天器h 到兩測(cè)站的干涉時(shí)延為

對(duì)兩航天器的干涉時(shí)延進(jìn)行差分得到

圖1 軌道器與上升器間同波束VLBI示意圖Fig.1 Same-bean VLBI diagram between orbiter and riser

由上式可以看出雙差測(cè)量消去了共有的鐘差和設(shè)備時(shí)延。更進(jìn)一步，當(dāng)兩航天器的角距很小時(shí)，可以認(rèn)為傳播介質(zhì)時(shí)延相等，則式（3）可以表示為

在不考慮熱噪聲的影響時(shí)，雙差時(shí)延測(cè)量值等于幾何雙差時(shí)延。因此，同波束VLBI對(duì)兩器相對(duì)位置測(cè)量具有較強(qiáng)的約束能力。

1.2 空間三維位置SBI測(cè)量坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

深空探測(cè)器SBI 觀測(cè)涉及地球和深空天體坐標(biāo)系。不失一般性，本文以月球探測(cè)為例，基于“探測(cè)器-月球-地球”坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立月球探測(cè)器空間三維位置SBI測(cè)量模型。

1.2.1 探測(cè)器固連坐標(biāo)系

令探測(cè)器固連坐標(biāo)系（機(jī)械坐標(biāo)系）定義為（如圖2所示）：

圖2 探測(cè)器固連坐標(biāo)系與月固坐標(biāo)系Fig.2 Detector fixed coordinate system and lunar fixed coordinate system

1）原點(diǎn)：探測(cè)器底面幾何中心；

2）X軸：沿衛(wèi)星縱軸，指向探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向；

3）Z軸：垂直于X軸，指向月球方向；

4）Y軸：與Z，X軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

顯然，該坐標(biāo)系與徑向-切向-法向（Radial Tan‐gential Normal,RTN）坐標(biāo)系定義基本類(lèi)似，僅僅是坐標(biāo)軸指向不同，基本面為衛(wèi)星軌道垂面，基本方向?yàn)樾l(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向。令SBI測(cè)量天線(xiàn)在探測(cè)器固連坐標(biāo)系的位置表示為eh。

1.2.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

探測(cè)器空間三維位置通常在探測(cè)器固連坐標(biāo)系下表示，而探測(cè)器軌道狀態(tài)可采用月心天球坐標(biāo)系（又稱(chēng)為月心慣性系）下的位置和速度向量（rh,）表示。因此，探測(cè)器空間三維位置SBI測(cè)量模型涉及一系列坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[8]，包括探測(cè)器固連坐標(biāo)系-月心天球坐標(biāo)系-地心天球坐標(biāo)系-地心地固系等。

1）探測(cè)器固連坐標(biāo)系與月心天球坐標(biāo)系

已知軌返組合體的位置和速度向量，可以計(jì)算固連坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到月心天球坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣(A,B,C)，3個(gè)列向量的計(jì)算公式為

2）月心天球坐標(biāo)系與地心天球坐標(biāo)系

兩者三軸指向完全一致，坐標(biāo)原點(diǎn)分別為地心和月心，因此坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣為單位矩陣E，坐標(biāo)平移參數(shù)R0可根據(jù)DE歷表獲得。

3）地心天球坐標(biāo)系至地心地固系

旋轉(zhuǎn)矩陣考慮歲差、章動(dòng)、地球自轉(zhuǎn)和極移等。

綜上所述，將探測(cè)器SBI觀測(cè)統(tǒng)一在地固坐標(biāo)系下，整理測(cè)量方程（4），有

其中：c為光速；表示探測(cè)器固連坐標(biāo)系至月心天球坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；表示地心天球坐標(biāo)系至地心地固坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；R0表示月球在地心天球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；eh為測(cè)量天線(xiàn)在探測(cè)器固連坐標(biāo)系中的位置；rh表示探測(cè)器在月心天球坐標(biāo)系下的位置；Tg表示測(cè)站g在地心地固坐標(biāo)系下的位置。

2 “嫦娥3 號(hào)”著陸器“定向天線(xiàn)-全向天線(xiàn)”三維相對(duì)位置測(cè)量

2.1 觀測(cè)實(shí)驗(yàn)

“嫦娥3 號(hào)”月球探測(cè)器于2013 年12 月14 日成功在月面著陸。月面工作階段，“嫦娥3 號(hào)”著陸器上兩副天線(xiàn)與地面通信，其中定向天線(xiàn)發(fā)射數(shù)傳信號(hào)，測(cè)控天線(xiàn)（全向天線(xiàn)）發(fā)射遙測(cè)信號(hào)（含±3.8 MHz、±19 MHz等4根DOR點(diǎn)頻信號(hào)），如圖3所示。

為驗(yàn)證基于SBI的空間三維相對(duì)位置測(cè)量，選取“嫦娥3 號(hào)”著陸器測(cè)控天線(xiàn)和定向天線(xiàn)作為待觀測(cè)天線(xiàn)，利用“佳木斯-喀什”深空干涉測(cè)量基線(xiàn)對(duì)其進(jìn)行跟蹤觀測(cè)。

觀測(cè)弧段：2018年1月28日09時(shí)54分至11時(shí)51分、2018 年 1 月 29 日 10 時(shí) 54 分至 12 時(shí) 07 分，共計(jì)約3 h；

干涉對(duì)象：+19 MHz的DOR信號(hào)、數(shù)傳信號(hào)；

采集帶寬：2 MHz；

處理方式：基于干涉相位的同波束干涉測(cè)量；

積分時(shí)長(zhǎng)：4.9 s。

圖3 “嫦娥3號(hào)”著陸器示意圖Fig.3 Diagram of Chang’E-3 lander

2.2 SBI信號(hào)處理及結(jié)果

由于+19 MHz 的DOR 信號(hào)接近數(shù)傳信號(hào)，采集該DOR 信號(hào)的通道同時(shí)采集到數(shù)傳信號(hào)。該通道信號(hào)頻譜與干涉條紋如圖4所示。由于通道采集帶寬僅為2 MHz，該頻率范圍測(cè)站接收設(shè)備的相頻特性基本可以視為線(xiàn)性。因此在同一通道提取SBI 干涉時(shí)延/距離，可以基本完全消除通道間的相位誤差。

圖4 DOR信號(hào)及數(shù)傳信號(hào)的頻譜與干涉條紋Fig.4 Spectrum and interferometric fringe of DOR and digital signal

以2018 年1 月28 日實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理為例，介紹了DOR信號(hào)與數(shù)傳信號(hào)SBI解算過(guò)程及結(jié)果。根據(jù)干涉測(cè)量處理流程[9-10]，分別解算+19 MHz的DOR信號(hào)及數(shù)傳信號(hào)的干涉相位與干涉相時(shí)延，如圖5及圖6所示。對(duì)DOR 信號(hào)與數(shù)傳信號(hào)干涉相時(shí)延進(jìn)行差分，得到測(cè)控天線(xiàn)與定向天線(xiàn)SBI 干涉時(shí)延（如圖7 所示），時(shí)延隨機(jī)誤差約為0.225 ps（對(duì)應(yīng)干涉測(cè)量幾何距離誤差為0.07 mm）。該測(cè)量精度與文獻(xiàn)[6]的SBI 測(cè)量精度0.588 6 ps及0.196 2 ps、文獻(xiàn)[7]的SBI測(cè)量精度0.53 ps處于同一量級(jí)。

圖5 DOR信號(hào)（測(cè)控天線(xiàn)）與數(shù)傳信號(hào)（定向天線(xiàn)）的干涉相位Fig.5 Interferometric phase of DOR signal（TT&C antenna）and digital signal（directional antenna）

圖6 DOR信號(hào)（測(cè)控天線(xiàn)）與數(shù)傳信號(hào)（定向天線(xiàn)）的干涉相時(shí)延Fig.6 Interferometric phase delay of DOR signal（TT&C antenna）and digital signal（directional antenna）

圖7 DOR信號(hào)（測(cè)控天線(xiàn)）與數(shù)傳信號(hào)（定向天線(xiàn)）的SBI時(shí)延Fig.7 SBI delay between DOR signal（TT&C antenna） and digital signal（directional antenna）

2.3 空間三維相對(duì)位置解算

觀測(cè)過(guò)程中，令探測(cè)器固連坐標(biāo)系下測(cè)控天線(xiàn)相對(duì)定向天線(xiàn)的位置矢量為x，則ti時(shí)刻的觀測(cè)量Yi與狀態(tài)量x的關(guān)系可以表示為

其中：x、Yi、εi分別為ti時(shí)刻的狀態(tài)、觀測(cè)值和觀測(cè)噪聲，L(Xi,ti)表達(dá)式與式（6）相同。對(duì)式（7）線(xiàn)性化后，保留一階項(xiàng)，得到

令y=[y1…yk]T,H=[H1…Hk]T,ε=[ε1…εk]T，則線(xiàn)性化的觀測(cè)方程可寫(xiě)為

根據(jù)觀測(cè)時(shí)刻得到由探測(cè)器固連坐標(biāo)系至地心地固坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣Φ及對(duì)應(yīng)的探測(cè)器在地心地固坐標(biāo)系下的坐標(biāo)P，帶入觀測(cè)方程可以得到偏導(dǎo)數(shù)矩陣H。式（9）利用最小二乘估計(jì)x=(HTH)-1HTy解算得到測(cè)控天線(xiàn)相對(duì)位置矢量x。將帶入公式（6）得到解算SBI距離，其與測(cè)量SBI距離如圖8所示，差異均值約4.0×10-7m，均方差約2.5×10-2m。比對(duì)測(cè)控天線(xiàn)相對(duì)定向天線(xiàn)的實(shí)際位置矢量與解算位置矢量，矢量長(zhǎng)度（測(cè)控天線(xiàn)與定向天線(xiàn)之間距離）誤差約0.216 m。因此說(shuō)明利用該方法監(jiān)視測(cè)量?jī)善鞣蛛x距離時(shí)，相對(duì)距離測(cè)量精度可以達(dá)到0.1 m量級(jí)；矢量方向誤差約30.4°，其中測(cè)控天線(xiàn)相對(duì)定向天線(xiàn)的方位角誤差約31.9°、俯仰角誤差約9.5°。

圖8 測(cè)控天線(xiàn)相對(duì)位置解算結(jié)果與測(cè)量結(jié)果比較Fig.8 Comparisons of solved and measured position of TT&C antenna

圖9 SBI觀測(cè)距離測(cè)量值與真實(shí)值比較Fig.9 Comparisons between the measured and real SBI observation distance

3 結(jié) 論

為實(shí)現(xiàn)深空探測(cè)器三維相對(duì)位置測(cè)量并評(píng)估測(cè)量精度，本文基于目前已有觀測(cè)技術(shù)及方法，提出了基于SBI觀測(cè)的空間三維相對(duì)位置測(cè)量模型，并給出了單基線(xiàn)SBI測(cè)量輸入的空間三維位置解算方法。利用“嫦娥3 號(hào)”著陸器的測(cè)控天線(xiàn)與定向天線(xiàn)的下行信號(hào)進(jìn)行同波束干涉測(cè)量，解算了天線(xiàn)間相對(duì)位置。通過(guò)測(cè)控天線(xiàn)與定向天線(xiàn)之間相對(duì)位置的解算結(jié)果和實(shí)際結(jié)果比較，驗(yàn)證本文測(cè)量模型與解算方法的有效性。結(jié)果顯示，SBI 干涉時(shí)延隨機(jī)誤差約0.225 ps；測(cè)控天線(xiàn)與定向天線(xiàn)之間距離誤差約0.216 m，方向誤差約30.4°。

為了對(duì)深空探測(cè)任務(wù)譬如“嫦娥5號(hào)”器間高精度相對(duì)測(cè)量?jī)?chǔ)備技術(shù)基礎(chǔ)，后續(xù)將通過(guò)更多實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)處理驗(yàn)證本文研究方法的精度水平。