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    關(guān)于有限群p-超可解性與p-冪零性的新判定

    2019-08-31 07:19:28陳德平李保軍
    關(guān)鍵詞:子群性質(zhì)矛盾

    陳德平, 尤 澤, 李保軍

    (成都信息工程大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

    本文所研究的群皆為有限群,用G表示一個群,|G|表示群G階,π(G)為|G|的所有素因子的集合,p為一個素數(shù).文中所用符號和概念大多是標(biāo)準(zhǔn)的,未指明的符號和概念可參見文獻(xiàn)[1-2].

    群G的子群H與T稱為可置換的,如果HT=TH.已知群G的2個子群的乘積仍為子群的充要條件是它們可置換(參見文獻(xiàn)[1]的定理1.2).因此,子群的可置換性為子群的一個重要性質(zhì).一個群的正規(guī)子群與其所有子群可置換,但反之不然.若群G的子群H與G的所有子群可置換,則稱H為G的擬正規(guī)子群[3]或置換子群[4].推廣這一概念,群 G的子群H被稱為為s-置換子群(或s-擬正規(guī)子群)[5-6],如果 H 與 G 的所有 Sylow 子群可置換.s-置換子群與置換子群有著很多相近的性質(zhì),如s-置換子群也是次正規(guī)子群以及無核s-置換子群冪零等.近年來,在對置換子群和s-置換子群研究的基礎(chǔ)上,一些新的子群廣義置換性質(zhì)被提出并得到了較為廣泛的研究,譬如 Guo 等[7-8]對 X-置換子群和c-置換子群的研究;Wang 等[9-10]對 c-正規(guī)子群和c-可補(bǔ)子群的研究等.這些廣義置換子群也有著很好的性質(zhì)并深刻的影響著群結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[11]得到群G的無核X-置換子群(其中X為G的某一正規(guī)冪零子群)為超可解子群;文獻(xiàn)[9]證明所有極大子群皆為c-正規(guī)的群一定可解.利用子群各類廣義置換性質(zhì)研究群結(jié)構(gòu)的最為廣泛的研究工作是通過極小子群和Sylow子群的極大子群刻畫群結(jié)構(gòu)[12-16].統(tǒng)一和發(fā)展這方面的研究.2007 年,Skiba[17]提出了弱s-置換子群的概念,并利用這一概念,給出了一些有意義的研究成果.本文主要研究工作為利用某些子群的弱s-置換性質(zhì)研究群的p-超可解性和p-冪零性,將得到一些關(guān)于群結(jié)構(gòu)的新刻畫.

    1 預(yù)備知識

    首先列出一些文中將會用到的基本概念和引理.

    定義 1.1[5]群G的一個子群H在G中稱為s-置換的,若對G階的任意素因子p和G的任意Sylow p-子群 P,都有 HP=PH.

    由定義所有正規(guī)子群和置換子群都是s-置換的.根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的引理 2.1(5)的證明,容易得到2個s-置換子群的交還是s-置換的.設(shè)H、K為G的2個子群,由于G有限,〈H,K〉一定可分解為有限多個H與K的乘積.因此,如果H與K都是s-置換的,則〈H,K〉也是.

    定義 1.2[17]群G的一個子群H在G中稱為弱s-置換的,如果G中存在一個次正規(guī)子群T,使得HT=G且T∩H≤HsG,其中HsG為含于H的G的最大s-置換子群.

    對弱s-置換子群,有以下基本性質(zhì):

    引理 1.3[17]設(shè) H≤K≤G,則有

    1)如果H在G中s-置換,則H在G中是弱s-置換的;

    2)假設(shè)H是群G的正規(guī)子群,則K/H在G/H中弱s-置換當(dāng)且僅當(dāng)K在G中也是弱s-置換的;

    3)如果H在G中弱s-置換,則H在K中也弱s-置換;

    4)假設(shè)H是群G的正規(guī)子群,若在G中弱s-置換的子群E滿足(|H|,|E|)=1,則商群HE/H在G/H中也弱s-置換.

    引理 1.4 設(shè)H是群G的s-置換子群,P是G的一個 p-子群.若 p|H|,則 P≤NG(H),進(jìn)而有Oπ(G)≤N(H),其中π ={p∣ p|H|}.

    G

    證明 設(shè)Gp為G的包含P的一個Sylow p-子群.因為H是群G的s-置換子群,所以HGp=GpH為G的一個子群.由p|H|知H為HGp的一個Hall子群.另一方面,由于s-置換子群必為次正規(guī)子群,得到H次正規(guī)于HGp.但次正規(guī)的Hall子群必然正規(guī),因此HHGp.于是 P≤Gp≤NG(H).由 P 的任意性,立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P為準(zhǔn)素子群且(|P|,|H|)=1〉≤NG(H).

    引理1.5 設(shè)G有唯一極小正規(guī)子群N.若N為初等交換 p-群且 N ≤/Φ(G),則

    N=Op(G)=F(G)=CG(N).證明 因為N≤/Φ(G),所以存在G的極大子群M使得N≤/M.因此G=NM.由N交換,N∩MNM=G.但N極小正規(guī)子群,因此N∩M=1.又由N為初等交換 p-群,顯然有 N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N).設(shè) C=CG(N),則

    2 主要結(jié)果

    定理2.1 設(shè)G為p-可解群.若對于G的任一非Frattini p-主因子 H/K,存在G的 Sylow p-子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s-置換,則G是p-超可解的.

    證明 假設(shè)定理不成立,并設(shè)G是一個極小階反例.通過以下步驟完成證明.

    1)Op'(G)=1.若Op'(G)≠1,假設(shè) N 是包含在Op'(G)中G的極小正規(guī)子群.下面考慮商群G/N.設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p-主因子,則H/K為G的一個非Frattini p-主因子.由條件,存在G的Sylow p-子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s-置換.顯然,P1N/N為G/N的一個Sylow子群的極大子群.又由HP1K有

    所以P1N/N不覆蓋 H/N/K/N.又因為 N為 p'-子群,由引理1.3的 4),有 P1N/N 在 G/N 中弱 s-置換.因此條件對G/N成立.又由G的極小性有G/N是p-超可解的,故G也是p-超可解的,矛盾.

    為 p'-數(shù).另一方面|P1H ∶P1K|||H ∶K|為 p-數(shù).因此|P1H ∶P1K|=1,即 P1H=P1K,矛盾.所以 N≤P1.由引理1.3的2),P1N/N在G/N中是弱s-置換的.顯然P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N),因此條件對G/N成立.于是G/N是p-超可解的.若G中包含不同于N的極小正規(guī)子群M,則N∩M=1,因此GG/M∩N為p-超可解,矛盾.所以N是G的唯一極小正規(guī)子群.又若N≤Φ(G),則由p-超可解群的群類是一個飽和群系,可知G為p-超可解,因此NΦ(G).由引理 1.5 有3)最后的矛盾.設(shè)N為G的極小正規(guī)子群,由2),N是初等交換p-群且NΦ(G).故能找到一個G的Sylow p-子群的極大子群P1,使得NP1且P1在G中弱s-置換,即存在LG,使得P1L=G且P1∩L≤P1sG.由N是G的唯一極小正規(guī)子群,有N≤Op(G)≤L.若不然 Op(G)=1,即 G 是p-群,矛盾.于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s-置換的.因此由引理1.4有

    設(shè)Gp為包含P1的G的Sylow p-子群,由P1是Gp的極大子群,有 P1Gp.又 NGp,所以 P1∩NGp,因此 G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N),即 P1∩NG.但是 NP1且N為極小正規(guī)子群,因此P1∩N=1.于是|Gp|=|N||P1|,所以|N|=p.由 G/N 是 p-超可解,N是p階的,說明了G也是p-超可解的.這一最后矛盾表明定理成立.

    注 2.1 定理2.1中G為p-可解群的條件不可去掉.事實上,設(shè)G為5次交錯群A5,則G的Sylow 3-子群的極大子群都為1,從在A5內(nèi)是弱s-置換的,但顯然A5不是3-超可解的.

    定理2.2 設(shè)p是群 G階的素因子且(p-1,|G|)=1.若對于G的任一非Frattini p-主因子H/K,存在G的Sylow p-子群的極大子群P1不覆蓋H/K且在G中弱s-置換,則G是p-冪零的.

    證明 假設(shè)定理不成立,并設(shè)G是一個極小階反例.通過以下步驟完成證明.

    1)Op'(G)=1.若Op'(G)≠1,假設(shè) N 是包含在Op'(G)中G的極小正規(guī)子群.下面考慮商群G/N,設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p-主因子,則H/K為G的一個非Frattini p-主因子.由條件,存在G的Sylow p-子群的極大子群P1不覆蓋H/K 且在 G 中弱 s-置換.由引理1.6,P1N/N 為 G/N的一個Sylow子群的極大子群.由HP1K有H/NP1K/N=(P1N/N)(K/N),所以 P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N).又因為 N 為 p'-子群,由引理 2.3的4),有P1N/N在G/N中弱 s-置換.因此條件對G/N成立.又由G的極小性有G/N是p-冪零的,故G也是p-冪零的,矛盾.

    2)G的極小正規(guī)子群N是p-群.設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群,由1)知,N 是一個 pd-群.若p2N,則N為p-冪零的,由N的極小性且Op'(G)=1,知N是p-群.又若N≤Φ(G),則N顯然為p-群.設(shè)p2N且NΦ(G),由定理條件,存在G的Sylow p-子群的極大子群P1在G中弱s-置換,即存在LG,使得P1L=G且P1∩L≤P1sG.若 N 不是 p-群,則 N=Op(N)≤Op(G)≤L,所以

    P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N

    在G中是s-置換的,因此由引理1.4,可得P1∩N≤Op(G).由 p2|N,P1∩N≠1,從而

    于是N≤Op(G),此矛盾說明2)成立.

    設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群,由2)知,N為一個p-群.設(shè)(H/N)/(K/N)為G/N的任一非Frattini p-主因子,則H/K為G的一個非Frattini p-主因子.設(shè)P1不覆蓋 H/K,即 P1H≠P1K.若 NP1,則 NP1為G的一個Sylow p-子群.因此

    為 p'-數(shù).另一方面|P1H ∶P1K|||H ∶K|為 p-數(shù).則|P1H ∶P1K|=1,即 P1H=P1K,矛盾.所以N≤P1.又顯然有P1N/N不覆蓋(H/N)/(K/N)并且根據(jù)引理1.3的2),可得定理條件G/N仍成立.由G的極小性,G/N是p-冪零的.若G中包含不同于N的極小正規(guī)子群M,則N∩M=1,因此GG/M∩N為p-冪零,矛盾.所以N是G的唯一極小正規(guī)子群.又若N≤Φ(G),則由p-冪零群的群類是一個飽和群系,可知G為 p-冪零群,因此 NΦ(G).由引理 1.5,N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立.

    4)最后的矛盾.設(shè)N為G的極小正規(guī)子群,由3),N是初等交換p-群且NΦ(G).故能找到一個G的Sylow p-子群的極大子群P1,使得NP1且P1在G中弱s-置換.即存在LG,使得P1L=G且P1∩L≤P1sG.由N是G的唯一極小正規(guī)子群,有N≤Op(G)≤L.若不然 Op(G)=1,即 G 是p-群.于是 P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s-置換的,因此由引理 1.4 有

    設(shè)Gp為包含P1的G的Sylow p-子群,由 P1是 Gp的極大子群,有 P1Gp.又 NGp,所以 P1∩NGp,因此 G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N),即 P1∩NG.但是NP1且N為極小正規(guī)子群,因此P1∩N=1,于是|Gp|=|N||P1|,所以 |N|=p.由 N/C 定理,G/CG(N)同構(gòu)于Aut(N)一個子群.因此但由條件(|G|,p-1)=1,因此 G/CG(N)=1.再由G/N是p-冪零,有G是p-冪零的.

    推論2.3 設(shè)p是群G階的任意一個素因子.若對于G的任一非Frattini p-主因子H/K,存在G的Sylow p-子群的極大子群P1在G中弱s-置換且H/KP1K/K,則G是超可解的.

    證明 設(shè)p是群G階的極小素因子,必然有(p-1,|G|)=1,由定理 2.2 以及 Feit-Thompson 奇

    階群可解定理,知G是可解的.再由定理2.1,對于 任意素數(shù)p,G是p-超可解的,因此G為超可解.

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