滾珠絲杠進給系統(tǒng)動力學(xué)建模與動態(tài)特性分析

付振彪， 王太勇， 張 雷， 楊 倩

(1.天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300072; 2.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124)

滾珠絲杠進給系統(tǒng)是數(shù)控機床進給系統(tǒng)最常見的形式之一，其動態(tài)特性對機床的整機性能、加工精度和質(zhì)量有著重要影響[1]。近20年來，數(shù)控機床不斷向著高速、高精密方向發(fā)展，這對機床進給系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性提出了更高的要求。因此深入研究滾珠絲杠進給系統(tǒng)的建模方法和動態(tài)特性是非常必要的。

近年來，國內(nèi)外眾多學(xué)者對滾珠絲杠進給系統(tǒng)進行了動力學(xué)建模與分析。文獻[2-5]考慮了滾珠絲杠副的接觸剛度，基于集中質(zhì)量參數(shù)法研究了進給系統(tǒng)的振動特性。文獻[6-8]考慮了導(dǎo)軌的線性剛度和預(yù)緊力的影響，基于有限元法研究了進給系統(tǒng)的動態(tài)特性。文獻[9]建立了某測量機Z軸滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動力學(xué)模型，基于該模型設(shè)計了控制系統(tǒng)的誤差補償方案，其所建立的動力學(xué)模型并未考慮滾動導(dǎo)軌副的接觸剛度；然而，滾動導(dǎo)軌副的接觸剛度對進給系統(tǒng)的動態(tài)特性有著重要影響。文獻[10-11]考慮了滾動導(dǎo)軌副預(yù)緊力的影響，研究了主軸的動態(tài)性能，但是對于滾動導(dǎo)軌副的接觸剛度缺乏更深入的研究。此外，文獻[12-13]應(yīng)用不同的方法研究了主軸的動態(tài)特性，其動力學(xué)模型包含了軸承接觸剛度、主軸、切削刀具以及整個床身的動態(tài)變形，但是沒有考慮滾珠絲杠進給系統(tǒng)各結(jié)合面的接觸剛度。文獻[14]基于ISIGHT軟件，搭建了機床整機結(jié)構(gòu)方案設(shè)計的系統(tǒng)框架，實現(xiàn)了以靜動態(tài)特性和質(zhì)量為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，但是在整機結(jié)構(gòu)建模時，對于進給系統(tǒng)眾多結(jié)合面進行了大量簡化。文獻[15]針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)結(jié)合部剛度難以確定的問題，提出了基于Hertz接觸理論的計算方法，建立進給系統(tǒng)的有限元模型，但是基于Hertz接觸理論的計算方法不夠準(zhǔn)確，有限元建模時忽略了聯(lián)軸器和滾珠絲杠的扭轉(zhuǎn)剛度，建模方法有待改善。

綜上所述，對于滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動力學(xué)建模，關(guān)鍵在于各結(jié)合面的建模和仿真，而現(xiàn)有的研究中對各結(jié)合面的剛度計算、動力學(xué)建模和有限元仿真還很不充分。本文綜合考慮滾珠絲杠進給系統(tǒng)中各結(jié)合面的影響，提出了一種有限元建模方法。將滾珠絲杠副、滾動導(dǎo)軌副、軸承簡化為彈簧-質(zhì)量模型，基于Hertz接觸公式的一階求導(dǎo)，推導(dǎo)了各結(jié)合面接觸剛度的計算公式，求出了當(dāng)前接觸狀態(tài)下的接觸剛度值。此外，考慮了絲杠軸和聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度的影響，利用有限元軟件建立了整個進給系統(tǒng)的動力學(xué)模型。采用多單元混合的方法進行網(wǎng)格劃分，仿真分析了承載臺的前五階模態(tài)振型和固有頻率。通過模態(tài)試驗對有限元仿真結(jié)果進行了驗證。應(yīng)用該模型著重分析了主軸質(zhì)量、滾動導(dǎo)軌副預(yù)緊力以及滑塊間距對振型分布和固有頻率的影響。

1 滾珠絲杠進給系統(tǒng)的功能結(jié)構(gòu)

滾珠絲杠進給系統(tǒng)的功能結(jié)構(gòu)，如圖1所示。包含伺服電機、聯(lián)軸器、絲杠、螺母、導(dǎo)軌、滑塊、主軸和承載臺等。主軸、螺母、滑塊和承載臺固定安裝在一起，實際工作中，伺服電機通過聯(lián)軸器帶動絲杠轉(zhuǎn)動，再通過滾珠絲杠副實現(xiàn)承載臺的進給運動。絲杠的支撐方式為一端固定一端簡支，固定端由背對背安裝的一對角接觸軸承支撐，簡支端采用單個深溝球軸承支撐。

圖1 滾珠絲杠進給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The schematic drawing of the ball screw feed drive

2 結(jié)合面的建模與計算

滾珠絲杠進給系統(tǒng)由多個部件通過不同種類的結(jié)合面連接而成，依據(jù)接觸方式的不同，這些結(jié)合面可以分為兩類:①固定結(jié)合面，如主軸、螺母、4個滑塊和承載臺之間的接觸；②滾動結(jié)合面，如滾珠絲杠副、滾動導(dǎo)軌副、軸承之間的接觸。

2.1 固定結(jié)合面

對于固定結(jié)合面也需分兩種情況討論：①螺母和承載臺，承載臺和4個滑塊之間的結(jié)合面，其剛度較高，為方便計算，在有限元建模時將其作為一個剛體固結(jié)在一起；②主軸、支撐板和承載臺之間，其結(jié)合面的接觸剛度相對較低，可能會影響主軸的低階振動。這里參考文獻[16]的研究結(jié)論，以螺栓連接處沉頭孔的面積區(qū)域近似為最大應(yīng)力區(qū)域，以此作為有限元建模的剛性黏結(jié)區(qū)域。

2.2 滾動結(jié)合面

滾動結(jié)合面主要存在于滾珠絲杠副、滾動導(dǎo)軌副、軸承等相應(yīng)部位，其接觸形式都是滾珠與滾道的小區(qū)域接觸。一方面，基于結(jié)合面的受力類型和受力方向可將其等效為相應(yīng)的彈簧-質(zhì)量模型；另一方面，其小區(qū)域接觸的特點滿足Hertz接觸理論的基本條件，Hertz接觸理論描述了兩物體接觸時彈性變形條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，接觸模型如圖2所示。Hertz接觸的基本公式為

(1)

(2)

(3)

圖2 Hertz接觸模型Fig.2 The model of Hertz contact

式(1)中：δ為兩接觸體間的彈性趨近量；Ki，ai為Hertz接觸系數(shù)，與式(3)中cosτ相關(guān)，可通過文獻[17]查得；E1,E2為兩種接觸材料的彈性模量；u1,u2為兩種接觸材料的泊松比；P為接觸法向方向的正壓力。式(2)中：Σρ為綜合曲率；R11,R12為物體1在兩正交平面上的曲率半徑；R21，R22為物體2在兩正交平面上的曲率半徑，當(dāng)曲面為凹面時，R2i的系數(shù)為負(fù)。

對以上Hertz接觸的基本式(1)求一階導(dǎo)數(shù)可得到滾珠-滾道接觸剛度K0的計算公式

(4)

由于滾珠兩側(cè)均與滾道接觸，所以單個滾珠的等效接觸剛度為0.5K0。

2.2.1 滾動導(dǎo)軌副的彈簧質(zhì)量模型與接觸剛度

滾動導(dǎo)軌副的接觸模型如圖3(a)所示。在預(yù)緊力的作用下，滾珠與滾道發(fā)生彈性變形，滿足Hertz接觸理論的基本條件。由文獻[18]可獲得滾動導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)，如表1所示。

表1 滾動導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)

(5)

代入數(shù)值求得Kii=2.123×107N/m，滾動導(dǎo)軌副的等效彈簧質(zhì)量模型如圖3(b)所示。

圖3 滾動導(dǎo)軌副的彈簧-質(zhì)量模型Fig.3 The mass-spring model of linear guide

2.2.2 軸承的彈簧質(zhì)量模型與接觸剛度

圖4 左端軸承的彈簧-質(zhì)量模型Fig.4 The mass-spring model of left bearing

參數(shù)滾珠半徑Rb1i/mm滾道圓弧半徑Rb21/mm彈性模量Eb1, Eb2/GPa數(shù)值2.352.48208參數(shù)泊松比ub1, ub2滾珠排列半徑Rb0/mm接觸角α/(°)數(shù)值0.3940參數(shù)滾珠數(shù)目zb滾道周向半徑Rb22/mm數(shù)值9Rb0 +Rb1i

1.215×108N

(6)

將左端軸承等效為徑向平勻分布的4根拉伸彈簧和軸向的一根拉伸彈簧，如圖4(b)所示。則其等效剛度值

(7)

2.2.3 滾珠絲杠副的彈簧質(zhì)量模型與接觸剛度

滾珠絲杠副的受力特點如圖5(a)所示。忽略摩擦力的影響，滾珠與絲杠滾道的初始接觸點為T1，滾珠與螺母滾道的初始接觸點為T2,T1與T2的連線為接觸法線n-n。接觸法線n-n垂直于絲杠滾道和螺母滾道接觸點處的切面M1，M2。若法線壓力為Fn1，則其沿軸向、徑向和切向的3個分力如圖5(b)所示。圖中：β為滾珠絲杠副的螺旋角；α為接觸角。

圖5 滾珠絲杠副的受力分析Fig.5 The contact-force analysis of screw nut

表3 滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)

(8)

圖6 滾珠絲杠副的彈簧-質(zhì)量模型Fig.6 The mass-spring model of screw nut

3 有限元建模與模態(tài)分析

3.1 有限元建模

在三維建模軟件中建立如圖1所示的實體模型,為方便網(wǎng)格劃分，將不重要的小尺寸特征去除，同時將絲杠和各滾動結(jié)合面處的滾珠去除，將簡化后的三維模型導(dǎo)入ANSYS軟件中。在ANSYS中采用不同的單元劃分網(wǎng)格，并建立絲杠和各結(jié)合面的有限元模型，具體建模方法如下：

①固定結(jié)合面，用glue功能將螺母和承載臺，承載臺和4個滑塊黏結(jié)在一起；對于主軸、支撐板和承載臺的結(jié)合面，用glue功能將其螺栓連接處沉頭孔的面積區(qū)域黏結(jié)在一起。

②滾動結(jié)合面，依據(jù)前文所建立的彈簧質(zhì)量模型，利用APDL參數(shù)化設(shè)計語言在各滾動結(jié)合面上建立硬點，硬點為彈簧節(jié)點與面體單元的結(jié)合點；于硬點處建立相應(yīng)的combine14彈簧單元，依據(jù)“2.2”節(jié)中的計算結(jié)果，定義彈簧的剛度值和拉伸方向。

③除絲杠和滾珠以外的實體部分，采用solid92單元分別劃分網(wǎng)格，并賦予各部分所對應(yīng)的材料屬性，如密度、彈性模量、泊松比等。

④絲杠，在ANSYS中，于絲杠位置處繪制直線，于前后軸承接觸處、滾珠絲杠接觸處定義硬點；采用beam188梁單元劃分網(wǎng)格，定義截面屬性和材料屬性；beam188梁單元的每個節(jié)點具有6個自由度，可以仿真絲杠的扭轉(zhuǎn)變形。

⑤邊界條件，對兩導(dǎo)軌底部、伺服電機底面、軸承外圈表面施加固定約束。

最后共劃分網(wǎng)格約 15.3 萬個，有限元模型如圖7所示。圖8為隱藏實體單元后各滾動結(jié)合面的彈簧單元。

圖7 滾珠絲杠進給系統(tǒng)的有限元模型Fig.7 The finite element (FE) model of the ball screw feed drive

3.2 有限元模態(tài)分析

對建立的有限元模型進行模態(tài)求解，得到承載臺的前五階模態(tài)振型與固有頻率，如表4所示。以圖1的坐標(biāo)為參考：第一階模態(tài)為承載臺繞Z軸的扭轉(zhuǎn)振動(主軸和承載臺一起運動，以下類同)，固有頻率為34.7 Hz；第二階模態(tài)為承載臺繞Y軸的點頭振動和沿X軸的軸向振動的耦合，固有頻率為76.7 Hz；第三階模態(tài)為承載臺繞X軸的扭轉(zhuǎn)振動，固有頻率為136.9 Hz；第四階模態(tài)為承載臺沿X軸軸向振動和繞Y軸點頭振動的耦合，點頭振動較微弱，軸向振動為主，固有頻率為181.2 Hz；第五階為承載臺沿Z軸的上下振動，固有頻率為243.6 Hz。

圖8 隱藏實體單元后的有限元模型Fig.8 The FE model after hiding solid elements

表4 有限元模態(tài)分析結(jié)果

4 模態(tài)試驗驗證

4.1 定條件下的試驗驗證

為驗證有限元仿真的合理性，對滾珠絲杠進給系統(tǒng)進行了模態(tài)試驗。應(yīng)用比利時LMS公司的test lab振動噪聲測試系統(tǒng)，在圖9所示的試驗臺上進行錘擊試驗。承載臺置于行程的中間位置，滾動導(dǎo)軌副施加中等預(yù)緊力(ZA)。采用錘擊激勵法，錘擊點位于承載臺右側(cè)底部的中間位置(圖9中T5處)；于承載臺的4個角和錘擊點附近，分別布置5個加速度傳感器；如圖9中箭頭所示，T2點的傳感器為三向傳感器，可以測得3個方向的振動信號；T3,T4,T6點的傳感器為單向傳感器，可以測得沿Z向的振動信號；T5點的傳感器可以獲得沿X向的振動信號。

圖9 模態(tài)試驗測試裝置Fig.9 Modal experimental setup

在T5點錘擊后，通過LMS模態(tài)測試系統(tǒng)獲得到點T2(X向和Z向)、點T3(Z向)、點T4(Z向)、點T6(Z向)和點T5(X向)的FRF(Frequency Response Function)曲線，匯總后如圖10所示。圖10中，T2Z表示于T2點測得的沿Z向的振動信號，其余類似。

圖10 測試點T2,T3,T4,T5,T6處的FRF曲線Fig.10 The FRFs of point T2,T3,T4,T5 and T6

由圖10可知，頻率為35.1 Hz時，曲線T2X和T5X出現(xiàn)共振峰值，峰值處兩曲線的相位相差約180°，符合第一階振動的固有頻率和振型。頻率為81.8 Hz時，曲線T2Z和T3Z點出現(xiàn)共振峰值，曲線T4Z和T6Z出現(xiàn)較低的共振峰值，且兩組的相位相差約180°，表明承載臺在繞Y軸做點頭振動；同時，T2X和T5X也出現(xiàn)共振峰值，表明承載臺有軸向振動，這與第二階承載臺繞Y軸的點頭振動和沿X軸的軸向振動的耦合振動相符；頻率為149.1 Hz時，T2點，T3點，T4點和T6點沿Z向出現(xiàn)共振峰值，峰值處T2Z和T4Z的相位一致,T3Z和T6Z的相位一致，且兩組的相位相差約180°，同第三階振動的固有頻率和振型相符；頻率為166.4 Hz時，曲線T2X和T5X出現(xiàn)共振峰值，且相位一致，同第四階軸向振動的固有頻率和振型相符；頻率為231.5 Hz時，點T2，點T3，點T4和點T6沿Z向出現(xiàn)共振峰值，且相位一致，同第五階上下振動的固有頻率和振型相符。固有頻率的仿真值和試驗值的對比如表5所示。

分析可知，仿真和試驗得到的模態(tài)振型基本一致，固有頻率的最大誤差為8.9%，有限元模型的合理性得以驗證。

表5 預(yù)測頻率與試驗頻率對比

4.2 變條件下的試驗驗證

為了進一步驗證有限元模型的合理性，將承載臺置于不同位置，對比不同位置下仿真值和試驗值的變化。具體方法為：將承載臺的行程均分為5個位置， 于ANSYS中分別計算不同位置下的各階固有頻率；同時，將承載臺置于相應(yīng)位置，分別進行模態(tài)試驗。

圖11為不同位置處，各階固有頻率的試驗值和仿真值的變化曲線；表6為不同位置處，仿真頻率相對于試驗頻率的誤差。由圖11可知，承載臺位置發(fā)生改變時，仿真值與試驗值的變化趨勢基本一致；由表6可知，不同位置處，各階固有頻率的最大誤差為9.4%；其中，第一階頻率的誤差最小，均在3%以內(nèi)。因此，承載臺位置發(fā)生改變時，有限元模型的合理性依然可靠。此外，承載臺由絲杠固定端移向另一端過程中，第二階點頭振動和第四階軸向振動均有下降趨勢，其余各階頻率基本不變。這是由于第二階和第四階的振動特性受絲杠軸向剛度的影響，隨著絲杠受拉長度的增長，其固有頻率也隨之下降，而其余各階振動并不受此影響。

圖11 不同位置下仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的對比Fig.11 The simulation results vs experimental results at different locations

誤差/%左二左一中間右一右二一階2.32.02.62.32.6二階5.76.16.56.55.5三階8.58.58.68.78.7四階9.49.18.98.78.6五階4.74.85.25.15.2

5 動態(tài)特性影響因素分析

基于以上驗證后的有限元模型，仿真分析以下幾個因素對承載臺動態(tài)特性的影響

5.1 主軸質(zhì)量的影響

承載臺置于行程的中間位置，以主軸原始質(zhì)量8.99 kg為依據(jù)，改變主軸的質(zhì)量，在ANSYS中分別計算不同質(zhì)量下的各階固有頻率。固有頻率的變化如圖12所示。

圖12 主軸質(zhì)量的影響Fig.12 The influence of the spindle mass

5.2 滾動導(dǎo)軌副預(yù)緊力的影響

承載臺置于中間位置，依據(jù)“2.2.1”節(jié)中的計算方法，針對不同規(guī)格的預(yù)緊力Z0，ZA，ZB，分別計算滾動導(dǎo)軌副的接觸剛度，設(shè)定其他參數(shù)不變，代入有限元模型中進行仿真計算。

圖13為不同預(yù)緊力作用下各階固有頻率的變化曲線。由圖13可知，隨著預(yù)緊力由Z0向ZB增大時，各階頻率均有所增大。其中第三階和第五階固有頻率的增大趨勢最顯著，第一階和第二階固有頻率的增大趨勢次之，第四階固有頻率的變化最小。這是由于預(yù)緊力直接影響導(dǎo)軌滑塊的接觸剛度，而預(yù)緊力越大，剛度值越大，固有頻率也越大；其中，導(dǎo)軌滑塊主要限制承載臺的Z向和Y向位移，第三階振動和第五階振動受滾動導(dǎo)軌副Z向剛度值的影響較大，其增大趨勢均較顯著；第一階振動主要受滾動導(dǎo)軌副Y向接觸剛度的影響，所以也會隨之增大；第二階振動為軸向振動和繞Y軸扭轉(zhuǎn)振動的耦合，而Y軸扭轉(zhuǎn)振動主要受滾動導(dǎo)軌副Z向剛度的影響，所以第二階固有頻率也會隨之增大；第四階振動為承載臺以軸向振動為主的耦合振動，基本不受滾動導(dǎo)軌副的影響，所以其變化曲線相對平直。

圖13 滑塊預(yù)緊力的影響Fig.13 The influence of the linear-guide preload

5.3 滑塊間距的影響

主軸承載臺置于中間位置，設(shè)置不同滑塊間距D，間距D如圖14所示。其他參數(shù)不變，在ANSYS中分別計算不同間距下的各階固有頻率。各階固有頻率的變化如圖15所示。

圖14 滑塊間距Fig.14 The block interval

圖15 滑塊間距的影響Fig.15 The influence of the block interval

由圖15可知，在滑塊間距逐漸增大時，第一階固有頻率和第二階固有頻率都隨之增大，而第三階、第四階和第五階的固有頻率變化很小。這是由于滑塊間距影響承載臺繞Z軸的扭轉(zhuǎn)剛度，所以第一階固有頻率會隨之增大；同時，滑塊間距的增大使得承載臺繞Y軸的扭轉(zhuǎn)剛度增大，而第二階振動為承載臺繞Y軸的扭轉(zhuǎn)振動和軸向振動的耦合振動，所以其固有頻率也會隨之增大。第三階振動為承載臺繞X軸的扭轉(zhuǎn)振動，第四階振動為承載臺以軸向振動為主的耦合振動,第五階振動為承載臺沿Z軸的上下振動，這三階振動基本不受滑塊間距的影響，所以其固有頻率的變化很小。

6 結(jié) 論

(1)建立滾珠絲杠進給系統(tǒng)各滾動結(jié)合面的彈簧-質(zhì)量模型，基于Hertz接觸理論推導(dǎo)得到各滾動結(jié)合面接觸剛度的計算公式。

(2)采用多單元混合的方法劃分網(wǎng)格，建立滾珠絲杠進給系統(tǒng)的有限元模型，該模型考慮了各滾動結(jié)合面的接觸剛度，仿真了承載臺的前五階模態(tài)振型和固有頻率。

(3)對滾珠絲杠進給系統(tǒng)進行了模態(tài)試驗驗證，仿真的模態(tài)振型與試驗結(jié)果基本吻合，固有頻率最大誤差為8.9%；當(dāng)承載臺位置發(fā)生改變時仿真結(jié)果依然可靠，固有頻率最大誤差為9.4%。

(4)基于有限元模型，分析了主軸質(zhì)量、滾動導(dǎo)軌副預(yù)緊力以及滑塊間距對各階固有頻率的影響，揭示了以上因素對承載臺振動變形的影響規(guī)律，為滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動態(tài)特性分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了參考。