變量線下面積法在高中物理解題中的應(yīng)用

張孟琦 黃薦

【摘要】物理是對生產(chǎn)生活現(xiàn)象的解釋，在高中階段由于沒有學習微積分知識，致使高中生對某些抽象的物理問題不僅存在解題困難，更主要的是不易理解題面的內(nèi)涵及物理意義。為此利用變量線下面積對典型高中物理問題進行解釋，并利用變量線下面積法進行求解分析，可為高中學生加深對物理知識的理解，培養(yǎng)物理學習興趣提供幫助和參考。

【關(guān)鍵詞】物理 變量 線下面積法

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）33-0190-02

文字、公式、圖形是物理學中的三大表達方式，特別在高中階段由于學生的數(shù)學基礎(chǔ)比較薄，借助圖形手段進行復雜問題求解是非常有效的手段，圖形可以使復雜的、動態(tài)的物理過程變得更加直觀。

一、線下面積法求解運動學問題

在實際產(chǎn)生和生活中存在很多現(xiàn)象都是1個或1個以上變量在時間上累計的結(jié)果，如速度和位移之間的關(guān)系。勻速直線運動的路程是速度和時間的乘積，即S=V0·t，如圖1（a）。對于初始速度為V0，加速度為a的勻加速直線運動，可以將時間t分成n段，在每段內(nèi)速度近似不變，則在時間t時，路程為S=·V，如圖1（b）；當n取得足夠多，即△t=足夠小，有S=V0·t+a·t2，如圖1（c）。由此可知直線運動的路程為V-t圖中某一時刻速度與坐標軸所包圍的面積，對更加復雜的運動問題也可用線下面積法求解位移，如圖1（d）。

二、線下面積法求解力對物體做功問題

力對物體做功問題也可以采用線下面積法求解。力對物體所做的功為力與力作用方向上物體位移的乘積，即W=F·S，作用在物體上的力F和物體的位移S可能都是隨時間變化的，此時如圖1所示的簡單面積法就無能為力了。嚴格意義上力對物體所做的功可以用外力F（t）、物體在力作用方向上的速度V（t）和作用時間t的積分表示，即：

W（t）=F（t）·S（t）dt=F（t）·V（t）·tdt （1）

如果F（t）和V（t）中某一項是不變的或者隨時間線性變化的，則有V（t）=V0+a·t，代入式（2）得

W（t）=F（t）·（V0+a·t）dt （2）

對于F（t）和V（t）都是不變的，則力對物體所做的功如式（3）和如圖2（a）所示。

W=F·S=F·t×V=F·t×V=AF·V=F×V·t=F·AV （3）

如果作用在物體上的力F（t）是變量，物體仍做勻加速直線運動，則力F（t）對物體所做的功如式（4）和圖2（b）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0·F（t）dt+a·F（t）tdt

=V0·AF+a·tc·AF=（V0+a·tc）·AF=hc·AF （4）

如作用在物體上的力F（t）是恒定的，即F（t）=F，物體仍做勻加速直線運動，則F對物體所做的功如式（5）和圖2（c）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0（F·t）+a·t·（F·t）=AF（V0+a·t）（5）

由此可知：對于2個變量x和y在時間上累計的問題，可以采用x變量的線下面積Ax與x變量線下面積相對應(yīng)的y變量高度hyc的乘積來計算，如式（6）所示，該方法的適用條件是兩個變量中有一個變量隨時間線性關(guān)系變化。

三、線下面積法求解碰撞問題

棒球運動中球棒擊打棒球，車輛追尾，臺球運動中兩個球之間的碰撞等都屬于碰撞問題，其特點是碰撞力是隨時間變化的，先增大后減小，對于此類現(xiàn)象求解最大碰撞力也可以采用線下面積法。

例：架設(shè)臺球的質(zhì)量為170g，白球以9m/s的速度撞擊另一球后，白球靜止，另一球以9m/s的速度運動，假設(shè)碰撞力先從0線性增大到最大值后再線性降到0，碰撞過程兩球的接觸時間為0.03s，球兩球碰撞時的最大碰撞力是多少？

析：該題沒有給出碰撞力發(fā)生的最大時間，只是給出了總的碰撞接觸時間為0.03s，常規(guī)解法比較困難，如果利用線下面積法就比較直觀，如圖3所示。碰撞力隨時間呈三角形變化，碰撞過程中一個球的動量變化量為碰撞力的線下面積，由此得：

四、結(jié)論與心得

物理是一門應(yīng)用性較強的學科，在高中階段對于比較抽象的物理問題如果生背硬記教材上的定理公式，不僅理解深度不夠，而且在解題過程中也可能遇到一些困難。借助圖像法可以加深對對高中物理問題的理解，運用變量的線下面積求解較抽象復雜的問題有助于提高物理學習興趣和能力。

參考文獻：

[1]崔偉健.高中物理圖像中“面積”的意義和應(yīng)用[J].物理之友，2018（08）：43-45.

作者簡介：

張孟琦（2001-），女，滿族，吉林伊通人，高中在校學生。

黃薦（1989-），男，漢族，四川南充人，博士生，研究方向：工程力學。