例談在“幾何概型”教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

福建省福安市高級中學(xué) 林 平

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系中，統(tǒng)計(jì)概率是相對舊教材而新增的一部分，幾何概型是高中數(shù)學(xué)概率中的一個(gè)概率模型，它在教材中的作用是補(bǔ)充完善概率模型并為后續(xù)的隨機(jī)模擬做好鋪墊，這一部分將概率中的比值和幾何中的度量比值聯(lián)系在一起，這種跨分支的融合對很多學(xué)生來說是一大挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)課上，老師要教學(xué)生用符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，鞏固數(shù)學(xué)的“四基”、發(fā)展數(shù)學(xué)的“四能”，從而在課堂教學(xué)這個(gè)主陣地上達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)。本文以幾何概型的教學(xué)過程為例，闡釋數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展立足于教學(xué)活動(dòng)的開展中，以下對此做出說明。

一、在引入階段發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

引入：生活中遇到的隨機(jī)試驗(yàn)都是有限個(gè)等可能結(jié)果嗎？還有哪些類型的隨機(jī)試驗(yàn)？舉一些生活的例子。根據(jù)數(shù)學(xué)知識的自然生長和聯(lián)系生活來引入新知。從數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的完備性、方法系統(tǒng)的完備性的角度提出問題，說明新課學(xué)習(xí)的必要性。引入階段通過引發(fā)認(rèn)知沖突的方式讓學(xué)生觸及知識的邊界，這樣的教學(xué)方法不僅有利于激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也有利于養(yǎng)成從邏輯上或從完善體系的角度來提出問題的習(xí)慣和弄清知識的來龍去脈的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。引入也通過學(xué)習(xí)老師的提問思考，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力，為數(shù)學(xué)應(yīng)用開辟新的領(lǐng)域，從而肯定數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值。

二、在新課學(xué)習(xí)階段發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

新課學(xué)習(xí)設(shè)置問題串，師生互動(dòng)。

【問題1】拋擲一枚骰子兩次，求兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相同的概率。

問題1設(shè)置的目的是復(fù)習(xí)古典概型，作為新知的生長點(diǎn)，新課數(shù)學(xué)知識是建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上。新課學(xué)習(xí)內(nèi)容是適合學(xué)生學(xué)習(xí)的，實(shí)現(xiàn)新課與舊課之間的良好過渡，而不覺得突兀。

【問題2】試驗(yàn)（1）：取一根長度為3 米的繩子，拉直后在任意位置剪斷。問剪得兩段的長都不小于1 米的概率有多大？試驗(yàn)（2）：射箭問題。

問題2設(shè)置的目的是引發(fā)認(rèn)知沖突，探求解決新問題的途徑。雖然基本事件的“等可能性” 類似于古典概型，但是由于無法表示公式中分子分母的基本事件個(gè)數(shù)，因此此路不通。

本題關(guān)鍵在于結(jié)合學(xué)過的映射知識理解為一個(gè)基本事件對應(yīng)某區(qū)域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)由概率知識向幾何的轉(zhuǎn)化。用點(diǎn)表示基本事件，用圖形表示事件，這是數(shù)形結(jié)合，涉及概率和幾何跨分支結(jié)合，這里也是直觀想象素養(yǎng)在概率中的體現(xiàn)，留足時(shí)間讓學(xué)生去體會(huì)、去總結(jié)，讓學(xué)生去生成。概率與圖形（某個(gè)比值或比例）有關(guān)，計(jì)算方法隱藏在圖形中，學(xué)生在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下畫圖探索，終得答案，教師示范規(guī)范解答。問題（2）基于學(xué)生對隨機(jī)事件的均勻分布有直觀的感受和認(rèn)識，學(xué)生能夠直觀地理解這種新型的概率。學(xué)生迅速補(bǔ)充完善自己的知識網(wǎng)絡(luò)和方法體系，消化吸收新知新法，在此過程中，學(xué)生初步積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，到應(yīng)用現(xiàn)有的知識方法分析并解決數(shù)學(xué)問題，再到解決實(shí)際問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)再次得到發(fā)展。

【問題3】前兩問題中的基本事件有什么特點(diǎn)？兩個(gè)問題中的基本事件的區(qū)別是什么？（預(yù)設(shè)：前者的基本事件個(gè)數(shù)是有限的，而后者的基本事件個(gè)數(shù)是無限的）相信學(xué)生能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這兩者的本質(zhì)差異。

【問題4】新的概率類型有什么特點(diǎn)？請給新的概率類型起個(gè)名字。

幾何概型的概念的生成。由學(xué)生總結(jié)新概型（幾何概型）的基本特點(diǎn)。（預(yù)設(shè)：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；試驗(yàn)所包含的基本事件個(gè)數(shù)是無限多）

在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷剝離生活背景和實(shí)際問題，從中抽象出與概率有關(guān)的要素，根據(jù)一一對應(yīng)關(guān)系把一個(gè)基本事件對應(yīng)為圖形中的一個(gè)點(diǎn)。通過這種對應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的升華，把概率和幾何知識自然聯(lián)系，從而理解了幾何概型的本質(zhì)。這一環(huán)節(jié)學(xué)生收獲的不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識（一個(gè)數(shù)學(xué)概念），還收獲了解決此類問題的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化與化歸（概率與幾何）。在這個(gè)過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的素養(yǎng)得以進(jìn)一步發(fā)展。

【問題5】如何計(jì)算幾何概型的概率？師生共同總結(jié)幾何概型的概率公式。預(yù)設(shè)：P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的長度（面積或體積）。

通過總結(jié)分子、分母對應(yīng)的幾何要素度量，經(jīng)歷轉(zhuǎn)化與化歸思想在求概率中的應(yīng)用。從概念的文字到形成數(shù)學(xué)的計(jì)算公式，這個(gè)過程是形象化、直觀化的過程。概念是邏輯思維的對象，相對抽象，而數(shù)學(xué)公式具有一個(gè)直觀形象的結(jié)構(gòu)，它的記憶是直覺思維的對象，通過思維加工，發(fā)展的是學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。有了計(jì)算公式，解決幾何概型問題就有了強(qiáng)大的工具，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)這一步驟就快速而簡潔。只要找到對應(yīng)幾何圖形就能解決問題，有力地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展。

【問題6】請分析這兩個(gè)概率模型之間的區(qū)別和聯(lián)系。

再次辨析相近的概念，在反復(fù)比較中深化對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，在解決概率問題前先要判斷概率模型，因此通過對比區(qū)別幾何概型和古典概型十分重要。

三、在應(yīng)用實(shí)例環(huán)節(jié)發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

例1 一個(gè)學(xué)生欲從凱興小區(qū)公交車站點(diǎn)乘車前往閩東醫(yī)院站點(diǎn)，已知?jiǎng)P興小區(qū)站點(diǎn)發(fā)往閩東醫(yī)院站點(diǎn)的公交車20分鐘一班，求這個(gè)學(xué)生等車時(shí)間不多于5分鐘的概率。

設(shè)置例1的目的是教師部分放手，讓學(xué)生逐漸上手，即“扶著走一段”，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立完整的數(shù)學(xué)建模過程。教師只需伺機(jī)引導(dǎo)學(xué)生思考基本事件是什么和有什么特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立分析、獨(dú)立解決問題。通過分析和必要的動(dòng)手畫圖，實(shí)現(xiàn)由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，通過畫圖形象直觀地轉(zhuǎn)化為幾何度量問題，踏踏實(shí)實(shí)地發(fā)展學(xué)生自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)，教師做好組織、引路和促進(jìn)工作即可。在變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)，進(jìn)一步放手發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)，讓學(xué)生熟練數(shù)學(xué)建模過程，把知識技能思想升為數(shù)學(xué)能力輸出。學(xué)生獨(dú)立的過程需要時(shí)間，初次作品也許不完美，教師多鼓勵(lì)、多欣賞，學(xué)生才能更成功。學(xué)生反思階段總結(jié)，回顧重要步驟：①分析基本事件是什么、有什么特征，判斷適用概率模型；②表述事件A及對應(yīng)幾何區(qū)域；③公式計(jì)算；④答。通過反思總結(jié)再現(xiàn)解題過程，凝練解題步驟，是培養(yǎng)建模能力、發(fā)展學(xué)生收斂思維、提升數(shù)學(xué)解題能力的好方法，絕不能省略。用數(shù)學(xué)語言對話和交流也是對活動(dòng)過程的抽象與直觀再現(xiàn)，對親身經(jīng)歷的思維反思有利于總結(jié)方法和經(jīng)驗(yàn)，形成有個(gè)人特色且印象深刻的記憶。

例2 配套練習(xí)、課堂小結(jié)等環(huán)節(jié)的分析（本文略過）。

通過這個(gè)案例可知，雖然有的幾何概型的題目有較深的生活背景，但通過學(xué)生在課堂學(xué)到的方法和聯(lián)系相關(guān)的幾何知識能夠化難為易，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和學(xué)習(xí)的成就感。只要在每一節(jié)數(shù)學(xué)課的各環(huán)節(jié)中用數(shù)學(xué)的方法學(xué)習(xí)，就一定能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，日有所進(jìn)。數(shù)學(xué)教師立足課堂，按照數(shù)學(xué)知識固有的發(fā)展規(guī)律精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，放手暴露學(xué)生的思維，在實(shí)際的教學(xué)中對學(xué)生的思維做出引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠潛移默化地學(xué)習(xí)和進(jìn)步，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo)。