數(shù)形結(jié)合解選擇題常見驚喜

廣東省珠海市藝術(shù)高級(jí)中學(xué) 羅興文

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)大廈的兩塊基石，兩者在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在解題方法上相互滲透，在特定的條件下相互轉(zhuǎn)化，“數(shù)形結(jié)合法”就是在這一學(xué)科特點(diǎn)下發(fā)展起來的。應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”解題就是對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義，又分析其幾何含義，力求在代數(shù)與幾何的結(jié)合中尋找解題思路，它是觀察推斷問題的一條非常重要的捷徑。

一、數(shù)形結(jié)合解決幾何概型有關(guān)問題常見驚喜

例1 甲、乙同學(xué)約定在校門口會(huì)面，假定他們都將在12:00～12:30這段時(shí)間內(nèi)的任意時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)校門口。甲說：我最多等你5分鐘，看不見你來我就走人。乙說：我也最多等你5分鐘，看不見你來我就走人。假設(shè)兩人到達(dá)校門口互不影響，且沒借用任何通訊工具，問甲、乙兩人在校門口相會(huì)的概率為（ ）

二、數(shù)形結(jié)合解決平面向量有關(guān)問題常見驚喜

【類題通法】解決向量問題的常見兩種方法：（1）幾何法，即幾何的觀點(diǎn)，利用向量合成予以解決；（2）代數(shù)法，即代數(shù)的觀點(diǎn)，通常用坐標(biāo)法予以解決。兩類方法都借助數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為具體，解題明快。

三、數(shù)形結(jié)合解決鑲嵌函數(shù)有關(guān)問題常見驚喜

例3 用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）=min{2x，x+2，10-x}(x≥0)，則f（x）的最大值為（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

【類題通法】鑲嵌函數(shù)是一類特殊函數(shù)，常以min{a,b,c}和max{a,b,c}形式呈現(xiàn)。解決此類題型只需借助信息，利用數(shù)形結(jié)合思想將鑲嵌函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)分段函數(shù)的圖像，問題就變得明朗，易于理解和接受。

四、數(shù)形結(jié)合解決立體幾何中與函數(shù)有關(guān)問題常見驚喜

例4 如右圖，已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記SE=x(0＜x＜1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為（ ）

【類題通法】立體幾何中與函數(shù)交匯的問題，處理常見兩種策略：（1）引入變量，由變量減的函數(shù)關(guān)系刻畫，確定對(duì)應(yīng)的解析式；（2）確定解析式方法煩瑣，計(jì)算復(fù)雜，只需做定性分析，就能快速解決。兩種策略中“數(shù)與形”的轉(zhuǎn)化達(dá)到極致。

五、數(shù)形結(jié)合解決解析幾何有關(guān)問題常見驚喜

【類題通法】在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，使數(shù)更形象、更直白地得以表達(dá)，充分利用圖像的特征，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系向幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化，避免煩瑣的計(jì)算。幾何意義是實(shí)施數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵，常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式有：（1）定義法；（2）比值考慮轉(zhuǎn)化為直線的斜率；（3）二元一次考慮轉(zhuǎn)化為直線的截距；（4）根式考慮轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離；（5）根式分式考慮轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離。

六、數(shù)形結(jié)合解決線性規(guī)劃有關(guān)問題常見驚喜

A.[6，15] B.[7，15] C.[6，8] D.[7，8]

【解題分析】作出可行域，由3≤x≤5，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)Z=3x+2y的最大值隨x的變化而改變。（1）當(dāng)x=3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)Z=3x+2y過點(diǎn)M，此時(shí)可行域?yàn)樗倪呅?；?）當(dāng)3＜x＜5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)向右上方移動(dòng)，可行域仍然為四邊形；（3）當(dāng)x≥5時(shí)，可行域由四邊形變?yōu)槿切巍?/p>

圖（2）中，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過（0，4）時(shí)，Zmax=3×0+2×4=8。

綜上所得：Zmax∈[7，8]。故選D。

七、數(shù)形結(jié)合解決方程根（函數(shù)零點(diǎn)）有關(guān)問題常見驚喜

A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)

【類題通法】由零點(diǎn)定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方程的根，等價(jià)于函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。數(shù)形結(jié)合思想將三者緊密聯(lián)系起來，彼此相互轉(zhuǎn)化。由此可見，數(shù)形結(jié)合是聯(lián)系三者的紐帶，它能將所研究的問題抽象變形象，不論是求函數(shù)零點(diǎn)或方程的根，或已知零點(diǎn)，確定參數(shù)取值范圍等，都能得以解決。

“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”是數(shù)形結(jié)合思想的靈魂。以形助數(shù)，揭示形中數(shù)的本質(zhì)；由數(shù)助形，利用形的直觀性開拓解題思路。即常說的代數(shù)法和幾何法。代數(shù)方法解答過程嚴(yán)密、規(guī)范、思路清晰；幾何方法具有直觀、具體、形象的優(yōu)勢(shì)。在解決有關(guān)問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想所表現(xiàn)出來的思路上的靈活、過程上的簡(jiǎn)便、方法上的多樣化是一目了然的，它為問題的解決提供了多條通道，使靈活性、創(chuàng)造性的思維品質(zhì)在解題中得到了更大限度的發(fā)揮。在具體應(yīng)用中應(yīng)揚(yáng)兩種方法之長，避呆板單調(diào)解法之短，做到左右逢源，游刃有余。