基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)下的《獨立重復(fù)試驗與二項分布》的教學(xué)設(shè)計

□徐夢園 張 通 趙寶江

一、教材分析

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容來自人教A版選修2～3的第2.2.3節(jié)《獨立重復(fù)試驗與二項分布》，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了概率和統(tǒng)計的相關(guān)知識后，如二項式定理、離散型隨機變量、兩點分布以及分布列等有關(guān)內(nèi)容后對概率的更深層的研究。二項分布模型是被廣泛應(yīng)用的概率模型，大量的隨機變量都服從二項分布。二項分布的學(xué)習(xí)是從生活實際入手，利用抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的重要方法。本節(jié)知識不僅是對前面所學(xué)內(nèi)容的綜合應(yīng)用，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程。本節(jié)課的學(xué)習(xí)對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)與研究有深遠的影響。

本節(jié)課的內(nèi)容面向高二學(xué)生，雖然學(xué)生具有一定的抽象思維能力，但是從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，對于大多數(shù)學(xué)生來說還是困難的，基于以上分析，制定出本節(jié)教學(xué)的重難點。教學(xué)重點包括能理解n次獨立重復(fù)試驗的內(nèi)容及二項分布的模型，并能解答一些簡單的實際問題，而計算與n次獨立重復(fù)試驗及二項分布相關(guān)的問題并理解二項分布模型的構(gòu)建過程是本節(jié)教學(xué)設(shè)計的難點。

本節(jié)教學(xué)設(shè)計主要有三個教學(xué)目標：在知識方面，學(xué)生能理解n次獨立重復(fù)試驗的概念，體會二項分布模型的形成過程，并能解決簡單的實際問題；在能力方面，能夠進行與n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布有關(guān)的概率的計算；在情感方面，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)建模過程，并發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。圍繞教學(xué)目標，設(shè)計出以下的教學(xué)思路。

二、教學(xué)設(shè)計思路

(一)精心設(shè)計導(dǎo)入環(huán)節(jié)，內(nèi)容編排循序漸進。在課前已經(jīng)發(fā)放了關(guān)于本節(jié)課的導(dǎo)學(xué)案，本導(dǎo)學(xué)案由教學(xué)重點、難點、概念填空、探究問題、典例講解以及易考點組成，學(xué)生可以將導(dǎo)學(xué)案作為數(shù)學(xué)筆記,對問題進行解析與標注，有助于理清本節(jié)數(shù)學(xué)知識的脈絡(luò),并對題型有準確的定位。

(二)引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)，并建構(gòu)相關(guān)數(shù)學(xué)概念。通過學(xué)生的分析與探討可以得到，以上的各類實驗有以下幾個共同點：一是都包含了n個相同的試驗；二是每次試驗之間相互獨立，不影響彼此；三是每次試驗只有兩種可能的結(jié)果，如種子發(fā)芽與不發(fā)芽；四是每次出現(xiàn)“是”的概率相同，“不是”的概率也相同，實驗結(jié)果可以計數(shù)。以上結(jié)果為學(xué)生整理所得，學(xué)生從具體實例中抽象出獨立重復(fù)試驗的概念，并通過抽象概括去認識新的數(shù)學(xué)概念。此外，本概念教學(xué)還采用了“歸納式”的方法，讓學(xué)生體驗概念的形成過程，并在建構(gòu)概念的過程中有效地促進學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、總結(jié)、歸納的能力。

(三)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對概念的理解。教師對學(xué)生總結(jié)的內(nèi)容進行整理，規(guī)范n次獨立重復(fù)試驗的定義。教師需強調(diào)在定義中所提及的“在相同的條件下”等價于各次實驗間的結(jié)果不會受其他實驗結(jié)果影響，并且每次試驗的結(jié)果只有兩種，兩種結(jié)果發(fā)生概率的和為1。即滿足獨立重復(fù)試驗要需要具有以下四點特征：第一，每次試驗是在相同的條件下進行；第二，各次試驗中的事件互不影響，相互獨立；第三，每次實驗的結(jié)果僅有兩種，即事件成功或失??；第四，每次實驗中某事件發(fā)生的概率不變。

在給概念劃完重點后，此時的學(xué)生具有強烈的求知欲，注意力高度集中,正等待著解決下一個問題。教師此時順水推舟拋出問題2：投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p。連續(xù)擲一枚圖釘3次,僅出現(xiàn)一次針尖向上的概率是多少？出現(xiàn)k(k=0,1,2,3)次針尖向上的概率是多少？能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？能給出一個統(tǒng)一的公式嗎？

(四)尊重學(xué)生間差異，發(fā)揮小組合作討論的作用。給學(xué)生充分的時間進行小組討論，計算出結(jié)果的小組派一名組員上臺為大家講解，結(jié)束之后請其他同學(xué)進行補充或步驟糾錯。

通過解決問題2,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,以問題為載體，體會由具體到抽象、由特殊到一般的二項分布模型的建模過程。在課堂上，學(xué)生不斷地進行分析與整理，將數(shù)學(xué)知識進行內(nèi)化。并將抽象的計數(shù)問題轉(zhuǎn)譯為與之等價的數(shù)學(xué)模型，可以發(fā)現(xiàn)恰當?shù)剡\用模型方法有利于計數(shù)問題的解決。教師在本節(jié)課堂上主要起引導(dǎo)作用，適時地對學(xué)生的答案予以補充，并進行最后的整理與總結(jié)。

(五)圍繞數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，建立二項分布模型。教師將學(xué)生對問題2的講解，進行以下整理，用Bk(k=0,1,2,3)表示事件“連續(xù)擲一枚圖釘3次，出現(xiàn)k次針尖向上”。通過學(xué)生的討論與計算，可以得到：

P(B3)=P(A1A2A3)=p3.

觀察上述等式，易得

k表示事件B發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次實驗中事件B發(fā)生的概率為p。

通過對問題二的分析與思考，引出本節(jié)課的教學(xué)難點，二項分布的概念與模型。一般地,在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次實驗中事件A發(fā)生的概率為p，則：

此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n,p),并稱p為成功概率。

在得到二項分布的概念后，利用新的探究問題3讓學(xué)生思考，上述公式與二項式定理的公式有什么共同點，它們之間存在什么聯(lián)系。本問題的設(shè)計一方面引導(dǎo)學(xué)生深度探究二項分布模型，另一方面復(fù)習(xí)之前所學(xué)習(xí)的二項式定理，在對二項式定理以及兩點分布的內(nèi)容進行鞏固的過程中，發(fā)現(xiàn)二項分布中的公式是二項式定理中展開式的某一項，以及兩點分布是特殊的二項分布ξ～B(1,p)。

以上的教學(xué)設(shè)計，由難易程度不同的問題串組成。堅持將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成符合課程要求和學(xué)生實際情況的原則，并具有一定的啟發(fā)性，利用以問題為主線的教學(xué)方法。

為進一步鞏固新知,并向?qū)W生展示二次分布模型的適用情況，教師從課本中選取一道緊扣教學(xué)重點的例題,某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中一是恰有8次擊中的概率；二是至少有8次擊中的概率。(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)。

眾所周知，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科,在學(xué)習(xí)的過程中,對示范性例題的依賴性,相比于其他學(xué)科可能更大。教師在該題的教學(xué)中,除了闡述題目自身解法,還要讓學(xué)生在理解題目解法的同時，能反思產(chǎn)生解題想法的根源。

教師在進行課堂練習(xí)鞏固時，分別設(shè)置基礎(chǔ)訓(xùn)練、變式訓(xùn)練以及實踐創(chuàng)新三個層次的訓(xùn)練題，即模型的直接應(yīng)用、變形應(yīng)用和實際應(yīng)用，而且教師從學(xué)生實際出發(fā),既將學(xué)情放在首位,又將基礎(chǔ)要求同特殊要求結(jié)合起來。

(七)指導(dǎo)學(xué)生課堂總結(jié)，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。在課堂的最后，教師引導(dǎo)學(xué)生進行課堂總結(jié)，回顧獨立重復(fù)試驗的概念及其成立的要求，強調(diào)二項分布模型的應(yīng)用范圍為獨立重復(fù)試驗。二項分布這一重要的概率模型,可以解決實際問題，二項分布模型還與二項式定理和兩點分布存在重要聯(lián)系。通過本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識從生活實際出發(fā),可以解決實際問題。

三、結(jié)語

教師在進行本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計時，根據(jù)學(xué)生的生理和心理特征,充分發(fā)揮學(xué)生的自主性和創(chuàng)造性,尊重學(xué)生對新知的獨特認識，對學(xué)生的求異和求新給予一定的指導(dǎo)與肯定。在學(xué)習(xí)過程積極體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新精神的，并滲透數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。本節(jié)設(shè)計以新課程改革的理念為指導(dǎo)，始終遵循著教學(xué)內(nèi)容要符合學(xué)生的認知規(guī)律，在教學(xué)過程中，堅持以學(xué)生為主體的教學(xué)思想，并采取循序漸進的教學(xué)原則，在教學(xué)過程中運用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和分析討論法相結(jié)合的教學(xué)方法。在課堂上，通過設(shè)問、啟發(fā)、適時點撥、總結(jié)以及講練結(jié)合的方法，積極調(diào)動學(xué)生的思維活動，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下層層遞進地展開學(xué)習(xí)活動，并讓學(xué)生大膽參與課堂教學(xué)。在具體情境中，讓學(xué)生體會兩個事件相互獨立的概念，理解二項分布模型的應(yīng)用背景以及掌握n次獨立重復(fù)試驗的概念，并能利用所學(xué)的理論知識解決簡單的現(xiàn)實問題，進而深度剖析概率的本質(zhì)。