微細(xì)磨料水射流拋光異型零件路徑規(guī)劃及算法

陳雪松，侯榮國，呂 哲，蔣振偉，張 宇

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

磨料水射流加工技術(shù)與其他加工工藝相比，被加工材料不會產(chǎn)生熱影響區(qū)，能夠保持材料原有的化學(xué)、物理性能，尤其是對硬脆性材料加工方面優(yōu)勢明顯[1-3]。隨著水射流技術(shù)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大和對復(fù)雜形狀零件要求的不斷提高，磨料水射流加工所需的工作平臺由平面直線模式轉(zhuǎn)向空間曲面模式。磨料水射流運動軌跡規(guī)劃的優(yōu)劣直接影響到被加工零件的質(zhì)量，所以需要根據(jù)零件的形狀進(jìn)行空間軌跡的規(guī)劃，制定合理的數(shù)學(xué)算法，使噴嘴在運動過程中為可控模式，并要求運行軌跡平穩(wěn)、光滑、連續(xù)，減輕機(jī)械本體的振動，提高加工精度[4-5]。

目前曲面加工的方法很多，如曹桄等[6]采用D-H法為三軸、四軸機(jī)床加工凸輪建立數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用于數(shù)控加工的后置處理。張舒曼等[7]以工業(yè)機(jī)器人為研究對象，采用改進(jìn)的D-H法在MATLAB環(huán)境下建立數(shù)學(xué)模型，并驗證了模型的可靠性。華茂發(fā)等[8]采用基本的齊次坐標(biāo)變換對三類基本結(jié)構(gòu)形式的機(jī)床運動學(xué)建模，得到結(jié)果并應(yīng)用于曲面加工。邊培瑩[9]提出了自由曲面的變曲率分片方法，并結(jié)合螺旋線軌跡規(guī)劃算法來提高多軸聯(lián)動曲面研磨機(jī)床的加工精度。然而，以上方法推導(dǎo)過程復(fù)雜，難以理解，不適合水射流加工平臺。本文以微細(xì)磨料水射流拋光加工異型零件為研究對象，在多自由度運動平臺上，研究可用于曲面陶瓷零件拋光的噴嘴運動規(guī)劃，采用空間圓弧和空間樣條曲線等兩種規(guī)則曲線的插補算法，推導(dǎo)建立磨料水射流噴嘴的運動數(shù)學(xué)模型，并利用MATLAB軟件對其進(jìn)行數(shù)值模擬以驗證模型的準(zhǔn)確性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

利用從噴嘴噴射而出形成的高壓水柱對曲面陶瓷零件進(jìn)行拋光，在理想狀態(tài)下，忽略射流發(fā)散，該水柱可近似地看作如圖1所示的水刀模型。

圖1 水刀模型Fig.1 Model of water jet

為了建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型，通常在射流束邊緣線上建立局部流動坐標(biāo)系，進(jìn)而將局部流動坐標(biāo)系上點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為最終需要的工件坐標(biāo)系上點的坐標(biāo)。矢量圖如圖2所示，利用矢量法求得最終的矩陣。

圖2 矢量圖Fig.2 Vector graph

在笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)的圓柱體半徑為R，其表面方程為

(1)

式中：θ為半徑r與y軸的夾角;L為圓柱體的長度。

設(shè)O1在O-XYZ中的坐標(biāo)為(O1x，O1y，O1z)，P在O-XYZ中的坐標(biāo)為(Px，Py，Pz)，在O1-X1Y1Z1中的坐標(biāo)為(Px1，Py1，Pz1)。

坐標(biāo)系a1=[o1，x1，y1，z1]坐標(biāo)分量在坐標(biāo)系a=[o，x，y，z]中的單位矢量分別為T、N、B，坐標(biāo)系a=[o，x，y，z]的單位坐標(biāo)矢量為i、j、k。則有以下矢量關(guān)系式：

故坐標(biāo)變換矩陣為

(3)

式中：T為射流束邊緣線在任意點的單位切向量;B為射流束邊緣線在該點的單位主法向量;N為射流束邊緣線在該點的單位副法向量。該矩陣隨著射流束邊緣線上點的變化而變化。

根據(jù)這個轉(zhuǎn)換矩陣建立前半圓柱面、水刀射流截面和后半圓柱面的數(shù)學(xué)模型。如圖1所示：β為前角，α1為第一后面角，α2為第二后面角，f為水刀加工寬度。

前半圓柱面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,cotβ*z1,z1)T

(4)

水刀射流截面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,tanα1*z1,z1)T

(5)

后半圓柱面的數(shù)學(xué)模型為

T(O1)*(0,z1*tanα1-f*tanβ,z1)T

(6)

2 運動軌跡的實現(xiàn)算法

對于一些復(fù)雜的異型陶瓷零件需由空間直線、圓弧、樣條曲線結(jié)合生成所需要的運動軌跡。下面研究射流束邊緣線任意點以空間圓弧和空間樣條曲線等兩種規(guī)則曲線的插補算法，并進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 空間圓弧插補

已知空間任意三點為圓弧起點A、中間點B和終點C，以及插補次數(shù)N(不包括A、C點)。

1)求圓弧圓心O(x0，y0，z0)和半徑R。

由|AO|=|BO|=|CO|得

(7)

由不共線的三點確定的平面方程為

(8)

聯(lián)立(7)式及(8)式，即可求出圓心坐標(biāo)及半徑

(9)

2)由不共線的三點確定的平面方程，求圓弧所在平面的法向量n。

給定了起點、終點和一個中間點的空間三點圓弧的走向是確定的，用AB×BC表示空間三點圓弧所在平面的法向量n，從n的正方向看，A到C的圓弧始終是逆時針圓弧。設(shè)n=AB×BC=ui+vj+wk，則

3)求圓心角θ。

當(dāng)θ< π時，

當(dāng)θ> π時，

4)求步距角δ。

每次插補走過的步距角是不變的，且

5)求插補遞推公式[10]。

式中，E和G為常量，且

式中，ΔS為沿圓弧切向移動距離。運用該算法并進(jìn)行MATLAB編程仿真模擬，達(dá)到了理想的效果?？臻g圓弧插補模擬結(jié)果如圖3所示。

圖3 MATLAB空間圓弧插補模擬結(jié)果圖Fig. 3 Simulation result diagram of space circular interpolation in MATLAB

2.2 空間樣條曲線插補

樣條曲線的表達(dá)式(0≤X≤Xm)為

P(x)=b1+b2x+b3x2+b4x3

令P1t=0，已知P′(1)、P′(2)，代入方程可得方程系數(shù)b1、b2、b3、b4，P(0)=P(1)=b1，P′(0)=P′(1)=b2。

P(x2)=b1+b2x2+b3x22+b4x23

從而有

對PiPi+1段有

由條件可知，Pi+1應(yīng)達(dá)到二階連續(xù)

2b3i+6b4ixi+1=2b3i+1

即

當(dāng)i=1時

當(dāng)i=n-1時

MATLAB空間樣條曲線插補模擬結(jié)果如圖4所示。

圖4 MATLAB空間樣條曲線插補模擬結(jié)果圖Fig.4 Simulation result diagram of space spline curves interpolation in MATLAB

由圖3和圖4的模擬結(jié)果可知，空間圓弧和空間樣條插補曲線光滑，不同曲率半徑曲線之間的過渡線平緩、圓滑，無尖角或斷點等缺陷。并且插補曲線準(zhǔn)確地穿過了所有插補點，曲線軌跡精確完整，可以滿足磨料水射流拋光復(fù)雜曲面陶瓷零件的要求。而且提出的空間圓弧和空間樣條曲線插補算法利用較少的插補點就能生成光滑、連續(xù)的拋光軌跡，保證了拋光過程的連續(xù)性和平穩(wěn)性，減輕了噴嘴的振動，減少了磨料水射流加工系統(tǒng)的定位次數(shù)，提高了工作效率。拋光軌跡正確完整，可精確拋光形狀復(fù)雜且加工面為曲面的陶瓷零件，算法精簡，計算時間短，累積誤差小，加工精度高，符合射流束拋光要求，證明了該算法的有效性和先進(jìn)性。

3 結(jié)束語

空間圓弧和空間樣條曲線插補是磨料水射流路徑規(guī)劃過程中不可缺少的插補算法。在建立水射流數(shù)學(xué)模型時，采用矢量法，減少了大量繁瑣的步驟，保證了準(zhǔn)確性。研究了空間圓弧和空間樣條曲線的插補算法，并進(jìn)行了MATLAB編程仿真模擬，結(jié)果表明，該運動數(shù)學(xué)模型所得到的運動軌跡符合射流束拋光曲面零件要求，從而證明了該模型的可行性。并且該算法計算速度快、適用性強(qiáng)，可用于大多數(shù)自由曲面的加工，對于非直線、非圓弧的軌跡，都可以采用圓弧和樣條曲線來逼近，以得到需要的軌跡。