指數(shù)分布無失效數(shù)據(jù)下參數(shù)的單側(cè)M-Bayes估計(jì)

李億民

(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 淄博 255049)

對(duì)于指數(shù)分布的定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，已經(jīng)有了比較成熟的處理方法[1-2]。對(duì)于定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，如果規(guī)定的截尾時(shí)間較短，特別是對(duì)于高可靠產(chǎn)品，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)失效個(gè)數(shù)往往比較少，甚至出現(xiàn)無失效的情形[3-5]。

設(shè)產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，即

T～f(t)=λexp{-λt},t>0

(1)

式中：λ>0為產(chǎn)品的失效率,R(t)=exp{-λt}為產(chǎn)品在時(shí)刻t的可靠度。

為了充分利用產(chǎn)品的試驗(yàn)信息{(ni,0,τi),i=1,2,…,m}和總體參數(shù)的先驗(yàn)信息，對(duì)式(1)，本文試圖給出參數(shù)λ的單側(cè)M-Bayes置信上限[6]和可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes置信下限，并討論估計(jì)量的有關(guān)性質(zhì)。

1 失效率λ的單側(cè)M-Bayes置信上限定義

對(duì)于參數(shù)λ，可以選擇其先驗(yàn)密度函數(shù)為

π(λ|a)=aexp(-aλ),λ>0

(2)

式中a>0為超參數(shù)[6]。

證明 在無失效數(shù)據(jù){(ni,0,τi),i=1,2,…,m}情況下，樣本的似然函數(shù)為L(0|λ)=exp{-Sλ}，若λ的先驗(yàn)密度函數(shù)由式(2)給出，由Bayes定理，得參數(shù)λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

對(duì)于a>0，假定其上界為c，由于不知a服從(0,c)上的具體分布類型，為此，假定其密度函數(shù)為

(3)

(4)

式中j≥0。當(dāng)j=0時(shí)，即為(0,c)上的均勻分布；兩種密度函數(shù)從圖形上差別較大，式(3)為a的嚴(yán)格遞減函數(shù)，式(4)為a的嚴(yán)格遞增函數(shù)。在對(duì)參數(shù)沒有任何信息時(shí)，常常選用無信息先驗(yàn)分布，即選擇均勻分布。在式(3)、式(4)中，選擇了參數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)和單調(diào)遞增函數(shù)，即選擇了比較極端的先驗(yàn)分布情況下對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，目的在于比較極端情況下參數(shù)估計(jì)結(jié)果的差異，從而說明該方法的穩(wěn)健性。

2 失效率λ的單側(cè)M-Bayes置信上限函數(shù)性質(zhì)

證明 (i)由定義，得

對(duì)任意0

(5)

所以

3 可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes置信下限定義

為便于應(yīng)用，本文給出a的3個(gè)特殊先驗(yàn)密度函數(shù)為：

(6)

(7)

(8)

(i)固定c，參數(shù)λ的置信水平為1-α(0<α<1)的單側(cè)M-Bayes置信上限分別為：

4 實(shí)例分析

現(xiàn)有某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的一組無失效數(shù)據(jù)，見表1。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，該產(chǎn)品的壽命T服從失效率為λ的指數(shù)分布式(1)。

表1 發(fā)動(dòng)機(jī)的無失效數(shù)據(jù)
Tab.1 No failure data for engine

i 123 4 5τi/s115185 783 8701 450ni/個(gè)27 13 4 52

c 15001 0003 0005 000極差λ^MBU11.885 0×10-41.870 4×10-41.856 1×10-41.802 2×10-41.753 0×10-42.320×10-5λ^MBU21.884 9×10-41.856 0 ×10-4 1.828 1×10-4 1.726 8×10-41.639 0×10-42.459×10-5λ^MBU31.884 9×10-41.846 4×10-41.809 5×10-4 1.677 0×10-41.563 2×10-43.217×10-5極差0.01×10-62.40×10-6 4.66×10-612.52×10-618.98×10-6

c 1 5001 000 3 0005 000極差R^MBU1(100)R^MBU2(100)R^MBU3(100)極差0.9813 2 0.981 47 0.981 610.982 140.982 620.001 290.981 330.981 610.981 890.982 880.983 740.002 410.981 330.981 710.982 070.983 370.984 490.003 160.000 010.000 240.000 460.001 230.001 87R^MBU1(500)R^MBU2(500)R^MBU3(500)極差 0.910 050.910 720.911 370.913 830.916 080.006 02 0.910 060.911 380.912 650.917 280.921 320.011 260.910 060.911 810.913 500.919 670.924 820.014 76 0.000 010.001 090.002 130.006 840.008 74

從計(jì)算結(jié)果看，無論是失效率λ的還是可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes估計(jì)，在0