圖形巧變化

黃旭軍

今天，老師早早進(jìn)了教室，和同學(xué)們聊天。

班里的“數(shù)學(xué)大王”抱怨道：“老師，您昨天布置的作業(yè)太難了，我算了半天才做出來?！?/p>

“是啊，太難了！”

“我想了好久，還沒做出來?！?/p>

……

其他同學(xué)紛紛附和。

“不會(huì)吧？”老師看了同學(xué)們的解答方法，哈哈大笑，“你們沒有選對(duì)解題方法當(dāng)然會(huì)事倍功半了。這兩道題目要變化一下才行！”

“變化？題目又不是孫悟空，怎么變化？”“對(duì)呀，怎么變呀？”同學(xué)們議論紛紛。

“在解決圖形問題時(shí)，有時(shí)可以通過變化讓題目更簡(jiǎn)單，最常用的方法就是等積變化。等積變化要注意兩點(diǎn)：一是變化后的面積與原來的相等，二是盡量把圖形變成已學(xué)過的圖形，圖形越簡(jiǎn)單越好。”老師解釋說。

經(jīng)老師一點(diǎn)撥，同學(xué)們開始埋頭思考起題目來。

例1?如圖，正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起。已知正方形ABCD的邊長是10厘米，正方形EFGC的邊長是6厘米，求三角形AEG的面積。

觀察開始

通過觀察，我們知道三角形AEG的面積就是大小兩個(gè)正方形的面積之和減去三角形ABE、三角形EFG、三角形ADG的面積。

常規(guī)思路

為了方便說明，我們?cè)趫D上標(biāo)出三個(gè)空白三角形。

已知正方形ABCD的邊長是10厘米，正方形EFGC的邊長是6厘米，于是有：

大正方形ABCD的面積=10×10=100（平方厘米）

小正方形EFGC的面積=6×6=36（平方厘米）

三角形①的面積=10×4÷2=20（平方厘米）

三角形②的面積=16×10÷2=80（平方厘米）

三角形③的面積=6×6÷2=18（平方厘米）

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得三角形AEG的面積是100+36-20-80-18=18（平方厘米）。

另辟蹊徑

我們可以通過畫輔助線AC，試著把圖形變化一下。

為了方便說明，我們把EG畫成紅色虛線。因?yàn)锳C和EG平行，而平行線之間距離處處相等，所以以EG為底分別給三角形AEG和三角形ECG畫高，兩個(gè)三角形的高相等。也就是說，三角形AEG的面積等于三角形ECG的面積。

所以，三角形AEG的面積是6×6÷2=18（平方厘米）。

例2?如圖，已知長方形的長為4厘米，求陰影部分的面積。

觀察開始

如右圖，長方形的長是圓的半徑的2倍，寬等于半徑，所以長是寬的2倍。因?yàn)殚L是4厘米，所以寬是4÷2=2（厘米）。

如圖，所求陰影部分的面積就是長方形的面積減去藍(lán)色、紅色兩部分的面積。

常規(guī)思路

長方形的面積=4×2=8（平方厘米）

藍(lán)色部分的面積=8÷2=4（平方厘米）

紅色部分的面積等于正方形的面積減去四分之一圓的面積，即2×2-3.14×2×2÷4=0.86（平方厘米）。

所以，陰影部分的面積是8-4-0.86=3.14（平方厘米）。

另辟蹊徑

其實(shí)，我們還可以通過割補(bǔ)法把陰影部分變成四分之一圓。如圖，只要將黃色部分移到灰色部分即可。

也就是說，四分之一圓的面積就是所求陰影部分的面積。

3.14×2×2÷4=3.14（平方厘米）

訓(xùn)練一二一

如圖，已知大正方形的邊長是6.33厘米，小正方形的邊長是4厘米，求陰影部分的面積。（答案見下期）

上期答案：蜘蛛有46只，蝴蝶有23只。