時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孫鳳琪

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和人們認(rèn)知能力的不斷提高, 在控制領(lǐng)域迅速深入完善發(fā)展的今天, 研究者們不得不對比較復(fù)雜的非線性系統(tǒng)進(jìn)行研究。Lurie系統(tǒng)就是一類具有典型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和廣泛應(yīng)用背景, 能更加準(zhǔn)確建模反映客觀實(shí)際的一類非線性系統(tǒng), 它能代表非線性系統(tǒng)的許多本質(zhì)特征, 是一種形式上的反饋系統(tǒng): 前饋通道和反饋通道分別是線性定常系統(tǒng)和滿足扇形約束的非線性環(huán)節(jié)。人們可以用非線性孤立方法把一些非線性系統(tǒng)的非線性部分分離出來, 而形成Lurie型系統(tǒng)。因此, 研究Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題對于進(jìn)一步完善系統(tǒng)理論, 揭示非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征都有非常重要的意義[1-2]。

自絕對穩(wěn)定性的概念被提出后, 絕對穩(wěn)定性理論發(fā)展成為穩(wěn)定性理論中的重要分支, 控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)所要求的控制功能就必須是穩(wěn)定的, 所以它是現(xiàn)代控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的首要問題。近些年來, 國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對Lurie系統(tǒng)的各種穩(wěn)定性問題進(jìn)行了廣泛的研究與探討, 也取得了很多的相關(guān)理論成果[3-4]。

文獻(xiàn)[5-7]較早研究了復(fù)合L-K函數(shù)的存在性, 其主要思想是將原系統(tǒng)分解為兩個(gè)低階系統(tǒng), 即降階系統(tǒng)和邊界層系統(tǒng)。在文獻(xiàn)[6-8]中分別給出了Lurie型廣義系統(tǒng)的強(qiáng)絕對穩(wěn)定的定義, 以及圓判據(jù)和Popov判據(jù)。關(guān)于Lurie控制系統(tǒng)強(qiáng)絕對穩(wěn)定性的局限性, 還有許多需要進(jìn)一步解決的問題, 上述提及的所有結(jié)論都要求控制系統(tǒng)的線性時(shí)不變部分是容許的, 即正則、 穩(wěn)定、 無脈沖, 且沒有涉及攝動(dòng)問題。目前, 對于含有不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 在理論上雖已取得一些成果, 但對含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的研究還較少。筆者基于現(xiàn)有成果的理論基礎(chǔ)上[8-10], 研究含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題, 主要對一般的扇形區(qū)域內(nèi)的絕對穩(wěn)定進(jìn)行分析, 得到保守性更小的充分性判據(jù), 通過數(shù)值算例驗(yàn)證所得結(jié)論的優(yōu)越性和可行性, 最后提出還需進(jìn)一步研究的問題。

1 相關(guān)引理

1)S<0;

1)S1≥0;

1)Z1>0;

引理5[9]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E, 其中Y是對稱陣, 不確定函數(shù)F(t),有FΤ(t)F(t)≤I, 則Y+EF(t)D+DΤFΤ(t)EΤ<0的充要條件是, 存在一個(gè)常量η>0, 使Y+ηEEΤ+η-1DΤD<0。

2 Lurie控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

考慮以下含不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)

(1)

(2)

其中τ,μ為已知常量,F(t)∈Ri×j表示不確定模型的參數(shù)矩陣, 滿足

FΤ(t)F(t)≤I

(3)

系統(tǒng)的反饋關(guān)聯(lián)具有形式

w(t)=-φ(t,z(t))

(4)

其中非線性函數(shù)φ(t,z): [0,∞)×Rm→Rm屬于扇形區(qū)域[V1,V2], 即

[φ(t,z)-V1z]T[φ(t,z)-V2z]≤0, ?t≥0, ?z∈Rm

(5)

V1和V2是已知的實(shí)矩陣, 且V=V2-V1是一個(gè)對稱正定矩陣。

定義1[8]如果對所有屬于扇形區(qū)域[V1,V2]的非線性函數(shù)φ(t,z), Lurie系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的, 則Lurie系統(tǒng)(1)稱為在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對穩(wěn)定。

注1 現(xiàn)有結(jié)果,τ可以取到∞[9]。

注2 條件式(2)在現(xiàn)有一些文獻(xiàn)中可以被放寬[8-10], 在實(shí)際理論中被廣泛應(yīng)用于含有不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中。

2.1 Lurie系統(tǒng)在扇形區(qū)域[0,V]的穩(wěn)定性分析

非線性函數(shù)φ(t,z)屬于扇形區(qū)域 [0,V], 即φ滿足

φΤ(t,z)[φ(t,z)-Vz]≤0

(6)

的扇形約束條件。

2.1.1 時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)

Z1>0

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

證明 定義一個(gè)二次L-K泛函V=V1+V2+V3, 其中

其中Q、M為對稱正定矩陣, 即QΤ=Q>0、MΤ=M>0。

由引理4和線性矩陣不等式(7)～式(9) ,有

(12)

這樣V就為正定的L-K泛函。

沿系統(tǒng)(1)的任意軌線,V1關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

同理V2和V3關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)分別是

利用0≤2wΤ(-w-Vz), 再根據(jù)Lurie系統(tǒng)(1)中z(t)=Cx(t), 整理可得

其中

由于

(13)

由Schur補(bǔ)引理, 式(13)等價(jià)于

(14)

為求解定理1中的未知參數(shù)變量, 應(yīng)消除式(14)中的不確定函數(shù)F(t), 由引理5知, 存在一個(gè)正常數(shù)η>0, 使

成立。由Schur補(bǔ)引理, 整理可得矩陣不等式對于變量η、Q、M和Z(ε)是線性的, 在式(7)～式(9)條件下, 得如下定理。

2.1.2 時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性判據(jù)

證略。

2.2 Lurie系統(tǒng)在扇形區(qū)域[V1,V2]的穩(wěn)定性分析

對非線性函數(shù)在一般扇形區(qū)域[V1,V2]中的情形, 通過應(yīng)用反饋環(huán)的變換可得系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的絕對穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)

(15)

在扇形區(qū)域[0,V2-V1]內(nèi)的絕對穩(wěn)定性。

2.2.1 時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性判據(jù)

其中

L11(0)=(A-DV1C)ΤZ(0)+ZΤ(0)(A-DV1C)+Q

證略。

2.2.2 時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性判據(jù)

證略。

3 算 例

考慮以下時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)

其中

φ(t,z)=0.25z+0.5sinz,d(t)=0.5,τ=1,μ=0.8,

圖時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 The state response curve of the system in

Z2=5.385 3,Z3=0.419 2,

Z4=-0.127 0,Z5=-0.252 2

因此, 根據(jù)定理2, 該系統(tǒng)對?ε∈(0,0.3]是在扇形區(qū)域(0,1]內(nèi)絕對穩(wěn)定的。

4 結(jié) 語

筆者利用L-K穩(wěn)定性理論, 構(gòu)造出一種新的L-K泛函, 研究含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[0,V]和[V1,V2]內(nèi)的絕對穩(wěn)定性, 得到了此Lurie系統(tǒng)在不同的扇形區(qū)域的時(shí)滯依賴和時(shí)滯獨(dú)立的絕對穩(wěn)定性充分判據(jù), 且所有結(jié)論均以線性矩陣不等式形式給出。筆者研究了時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)魯棒控制下的Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定性問題, 對非線性系統(tǒng)相應(yīng)理論的進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ)。 筆者只是相關(guān)理論的前段控制系統(tǒng)分析部分, 后期系統(tǒng)控制理論已經(jīng)完成, 篇幅所限, 將在下一篇論文中給出。筆者所用到的方法和得出的結(jié)論也存在一定的局限性： 所選非線性函數(shù)φ(t,z)屬于的扇形區(qū)域的不同, 最后得到的線性矩陣不等式也會(huì)有所不同； 如何定義一個(gè)新的二次L-K泛函以及如何找到新的交叉項(xiàng)界定方法, 有待作進(jìn)一步探討研究。