孫鳳琪
(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000)
隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和人們認(rèn)知能力的不斷提高, 在控制領(lǐng)域迅速深入完善發(fā)展的今天, 研究者們不得不對(duì)比較復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行研究。Lurie系統(tǒng)就是一類(lèi)具有典型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和廣泛應(yīng)用背景, 能更加準(zhǔn)確建模反映客觀實(shí)際的一類(lèi)非線(xiàn)性系統(tǒng), 它能代表非線(xiàn)性系統(tǒng)的許多本質(zhì)特征, 是一種形式上的反饋系統(tǒng): 前饋通道和反饋通道分別是線(xiàn)性定常系統(tǒng)和滿(mǎn)足扇形約束的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)。人們可以用非線(xiàn)性孤立方法把一些非線(xiàn)性系統(tǒng)的非線(xiàn)性部分分離出來(lái), 而形成Lurie型系統(tǒng)。因此, 研究Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題對(duì)于進(jìn)一步完善系統(tǒng)理論, 揭示非線(xiàn)性系統(tǒng)的本質(zhì)特征都有非常重要的意義[1-2]。
自絕對(duì)穩(wěn)定性的概念被提出后, 絕對(duì)穩(wěn)定性理論發(fā)展成為穩(wěn)定性理論中的重要分支, 控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)所要求的控制功能就必須是穩(wěn)定的, 所以它是現(xiàn)代控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的首要問(wèn)題。近些年來(lái), 國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對(duì)Lurie系統(tǒng)的各種穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了廣泛的研究與探討, 也取得了很多的相關(guān)理論成果[3-4]。
文獻(xiàn)[5-7]較早研究了復(fù)合L-K函數(shù)的存在性, 其主要思想是將原系統(tǒng)分解為兩個(gè)低階系統(tǒng), 即降階系統(tǒng)和邊界層系統(tǒng)。在文獻(xiàn)[6-8]中分別給出了Lurie型廣義系統(tǒng)的強(qiáng)絕對(duì)穩(wěn)定的定義, 以及圓判據(jù)和Popov判據(jù)。關(guān)于Lurie控制系統(tǒng)強(qiáng)絕對(duì)穩(wěn)定性的局限性, 還有許多需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題, 上述提及的所有結(jié)論都要求控制系統(tǒng)的線(xiàn)性時(shí)不變部分是容許的, 即正則、 穩(wěn)定、 無(wú)脈沖, 且沒(méi)有涉及攝動(dòng)問(wèn)題。目前, 對(duì)于含有不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 在理論上雖已取得一些成果, 但對(duì)含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的研究還較少。筆者基于現(xiàn)有成果的理論基礎(chǔ)上[8-10], 研究含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題, 主要對(duì)一般的扇形區(qū)域內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定進(jìn)行分析, 得到保守性更小的充分性判據(jù), 通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所得結(jié)論的優(yōu)越性和可行性, 最后提出還需進(jìn)一步研究的問(wèn)題。
1)S<0;
1)S1≥0;
1)Z1>0;
引理5[9]給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y,D和E, 其中Y是對(duì)稱(chēng)陣, 不確定函數(shù)F(t),有FΤ(t)F(t)≤I, 則Y+EF(t)D+DΤFΤ(t)EΤ<0的充要條件是, 存在一個(gè)常量η>0, 使Y+ηEEΤ+η-1DΤD<0。
考慮以下含不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)
(1)
(2)
其中τ,μ為已知常量,F(t)∈Ri×j表示不確定模型的參數(shù)矩陣, 滿(mǎn)足
FΤ(t)F(t)≤I
(3)
系統(tǒng)的反饋關(guān)聯(lián)具有形式
w(t)=-φ(t,z(t))
(4)
其中非線(xiàn)性函數(shù)φ(t,z): [0,∞)×Rm→Rm屬于扇形區(qū)域[V1,V2], 即
[φ(t,z)-V1z]T[φ(t,z)-V2z]≤0, ?t≥0, ?z∈Rm
(5)
V1和V2是已知的實(shí)矩陣, 且V=V2-V1是一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣。
定義1[8]如果對(duì)所有屬于扇形區(qū)域[V1,V2]的非線(xiàn)性函數(shù)φ(t,z), Lurie系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的, 則Lurie系統(tǒng)(1)稱(chēng)為在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)絕對(duì)穩(wěn)定。
注1 現(xiàn)有結(jié)果,τ可以取到∞[9]。
注2 條件式(2)在現(xiàn)有一些文獻(xiàn)中可以被放寬[8-10], 在實(shí)際理論中被廣泛應(yīng)用于含有不確定性的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)中。
非線(xiàn)性函數(shù)φ(t,z)屬于扇形區(qū)域 [0,V], 即φ滿(mǎn)足
φΤ(t,z)[φ(t,z)-Vz]≤0
(6)
的扇形約束條件。
2.1.1 時(shí)滯依賴(lài)的穩(wěn)定性判據(jù)
Z1>0
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
證明 定義一個(gè)二次L-K泛函V=V1+V2+V3, 其中
其中Q、M為對(duì)稱(chēng)正定矩陣, 即QΤ=Q>0、MΤ=M>0。
由引理4和線(xiàn)性矩陣不等式(7)~式(9) ,有
(12)
這樣V就為正定的L-K泛函。
沿系統(tǒng)(1)的任意軌線(xiàn),V1關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)
同理V2和V3關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)分別是
利用0≤2wΤ(-w-Vz), 再根據(jù)Lurie系統(tǒng)(1)中z(t)=Cx(t), 整理可得
其中
由于
(13)
由Schur補(bǔ)引理, 式(13)等價(jià)于
(14)
為求解定理1中的未知參數(shù)變量, 應(yīng)消除式(14)中的不確定函數(shù)F(t), 由引理5知, 存在一個(gè)正常數(shù)η>0, 使
成立。由Schur補(bǔ)引理, 整理可得矩陣不等式對(duì)于變量η、Q、M和Z(ε)是線(xiàn)性的, 在式(7)~式(9)條件下, 得如下定理。
2.1.2 時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性判據(jù)
證略。
對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)在一般扇形區(qū)域[V1,V2]中的情形, 通過(guò)應(yīng)用反饋環(huán)的變換可得系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[V1,V2]內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定性等價(jià)于系統(tǒng)
(15)
在扇形區(qū)域[0,V2-V1]內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定性。
2.2.1 時(shí)滯依賴(lài)的穩(wěn)定性判據(jù)
其中
L11(0)=(A-DV1C)ΤZ(0)+ZΤ(0)(A-DV1C)+Q
證略。
2.2.2 時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性判據(jù)
證略。
考慮以下時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie控制系統(tǒng)
其中
φ(t,z)=0.25z+0.5sinz,d(t)=0.5,τ=1,μ=0.8,
圖時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.1 The state response curve of the system in
Z2=5.385 3,Z3=0.419 2,
Z4=-0.127 0,Z5=-0.252 2
因此, 根據(jù)定理2, 該系統(tǒng)對(duì)?ε∈(0,0.3]是在扇形區(qū)域(0,1]內(nèi)絕對(duì)穩(wěn)定的。
筆者利用L-K穩(wěn)定性理論, 構(gòu)造出一種新的L-K泛函, 研究含有不確定性結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)Lurie系統(tǒng)(1)在扇形區(qū)域[0,V]和[V1,V2]內(nèi)的絕對(duì)穩(wěn)定性, 得到了此Lurie系統(tǒng)在不同的扇形區(qū)域的時(shí)滯依賴(lài)和時(shí)滯獨(dú)立的絕對(duì)穩(wěn)定性充分判據(jù), 且所有結(jié)論均以線(xiàn)性矩陣不等式形式給出。筆者研究了時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)魯棒控制下的Lurie系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題, 對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)相應(yīng)理論的進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ)。 筆者只是相關(guān)理論的前段控制系統(tǒng)分析部分, 后期系統(tǒng)控制理論已經(jīng)完成, 篇幅所限, 將在下一篇論文中給出。筆者所用到的方法和得出的結(jié)論也存在一定的局限性: 所選非線(xiàn)性函數(shù)φ(t,z)屬于的扇形區(qū)域的不同, 最后得到的線(xiàn)性矩陣不等式也會(huì)有所不同; 如何定義一個(gè)新的二次L-K泛函以及如何找到新的交叉項(xiàng)界定方法, 有待作進(jìn)一步探討研究。