An型非退化仿射Hecke代數(shù)的Grbner-Shirshov基?

木娜依木·迪里夏提，阿布都卡的·吾甫

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 前言

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)非空集合，其元素我們稱為字母，X?是由X中字母生成的詞構(gòu)成的自由幺半群，其中單位元是空詞1.設(shè)K是一個(gè)域，我們用KhXi表示由X生成的自由結(jié)合K?代數(shù),那么X?是KhXi的一組K?線性基.對任意詞w∈X?,我們用|w|表示其長度，也就是w所包含的字母個(gè)數(shù).詞w的長度我們有時(shí)候也記作deg(w).為了確定任意非零多項(xiàng)式f∈KhXi的首項(xiàng)，我們在集合X上選取一個(gè)良序<，此序在幺半群X?上誘導(dǎo)出一個(gè)序，我們?nèi)杂?來表示此序.如果序<與幺半群X?的乘法運(yùn)算相容，即對任意u,v,w∈X?，有u

設(shè)<是X?上的單項(xiàng)式序，對于任意兩個(gè)首一多項(xiàng)式f和g，我們定義他們的合成如下：

(1)若存在w∈X?，使得，其中a,b∈X?，且那么稱(f,g)w=fb?ag為f和g相對于w的相交合成.

我們把相交合成和包含合成統(tǒng)稱為合成.

設(shè)<是X?上的一個(gè)單項(xiàng)式序，S?KhXi是首一多項(xiàng)式的非空集合，Id(S)是代數(shù)KhXi的由S生成的雙邊理想.如果集合S上所有多項(xiàng)式的合成都是對模S平凡，那么我們稱S是理想Id(S)在代數(shù)KhXi中的一個(gè)Grbner-Shirshov 基.

引理 1(鉆石合成引理)設(shè)S?KhXi是首一多項(xiàng)式的一個(gè)非空集合，<是X?上的一個(gè)單項(xiàng)式序.下面三個(gè)命題等價(jià)：

(3)Irr(S)={u∈X?|u6=ab,s∈S,a,b∈X?}是商代數(shù)A=KhX|Si=KhXi/Id(S)的一組K-線性基.

2 An型非退化仿射Hecke代數(shù)的Grbner-Shirshov基

在這一節(jié)里我們給出An型非退化仿射Hecke代數(shù)的Grbner-Shirshov基.首先給出An型非退化仿射Hecke代數(shù)的定義(見文獻(xiàn)[8]).

我們用X?表示由X生成的自由幺半群.對任何u∈X?,定義u的次數(shù)（或者長度）為u所包含的X中元素個(gè)數(shù),記為deg(u).這時(shí)可通過X上的良序>在X?上誘導(dǎo)一個(gè)如下的次數(shù)字典序（deg-lex order）：對任意u,v∈X?,定義或者deg(u)=deg(v)且u按字典序大于v.

An型非退化仿射Hecke代數(shù)Hn(q)是由X生成的，并且滿足以下關(guān)系的有單位元的結(jié)合代數(shù):

我們令S={f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10}，其中

這時(shí)我們有

下面我們計(jì)算集合S的元素間合成.

1.合成(f1,f2)w，其中w=因此有

2.合成(f1,f9)w，其中w=T2iXiTi,1≤i≤n?1.因此有

我們把此新關(guān)系記為f19，即

從f19可得到關(guān)系：

3.合成(f9,f1)w，其中w=TiXk,1≤i≤n?1.因此有

我們把此新關(guān)系記為f91，即

同樣，從f91可得關(guān)系：

我們分兩種情況討論：

①如果k=i+2，則

通過同樣計(jì)算，我們知道S中元素之間其他所有合成都對模S平凡.

令

顯然，這四個(gè)新關(guān)系之間沒有合成.因此下面我們要計(jì)算這四個(gè)新關(guān)系和S的元素之間的合成.

5.合成(f1,f19)w，其中w=T2iXi+1,1≤i≤n?1，因此有

再次，通過同樣計(jì)算可知其他所有合成對模Sc平凡.

定理1集合Sc是An型非退化仿射Hecke代數(shù)Hn(q)的一個(gè)Grbner-Shirshov基.

下面我們用引理1和定理1給出An型非退化仿射Hecke代數(shù)Hn(q)的一組K?線性基.

由關(guān)系f1,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10,f19,,f91,可知Hn(q)中任意單項(xiàng)式可以寫成如下形式：

再由定理1和引理1可得

推論1是An型非退化仿射Hecke代數(shù)Hn(q)的一組線性基.