DPS系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與控制*

何宏駿，崔 巖，孫 觀

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)

0 引 言

隨著對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的深入研究，系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題成為動(dòng)力系統(tǒng)中的一個(gè)較為重要的方向，其中時(shí)滯是指系統(tǒng)在過去某個(gè)時(shí)間上的狀態(tài)對(duì)于當(dāng)前狀態(tài)的影響，主要表現(xiàn)為延遲作用，如通信線路中常常會(huì)遇到信號(hào)堵塞,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的察覺時(shí)滯,交通運(yùn)輸中的傳遞擁堵,蒸氣和流體在管道中的流動(dòng)時(shí)滯,電信號(hào)在長(zhǎng)線上的傳遞時(shí)滯等，均表現(xiàn)為時(shí)間延遲。對(duì)于系統(tǒng)中的時(shí)滯現(xiàn)象并不能直接研究與控制,必須建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,從而研究其帶有時(shí)滯項(xiàng)的微分方程。自從1963年Lorenz[1]建立數(shù)學(xué)模型并提出第一個(gè)混沌系統(tǒng)以來(lái),專家學(xué)者們隨后也相繼提出許多混沌系統(tǒng)如 Chen 系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3]、Liu系統(tǒng)[4]、Qi系統(tǒng)[5]、Chua系統(tǒng)[6]等。

對(duì)于自然界以及實(shí)際生產(chǎn)中的非線性系統(tǒng)[7-8]，專家學(xué)者們研究了其產(chǎn)生原因及控制方式[9]。文獻(xiàn)[10]根據(jù)Lorenz系統(tǒng)的特性,設(shè)計(jì)了一個(gè)針對(duì)彩色圖像的加密算法,通過在電子網(wǎng)站中的運(yùn)用,獲得良好的效果；文獻(xiàn)[11]針對(duì)機(jī)械系統(tǒng)故障信號(hào)弱的問題,提出了一種新的關(guān)于Lorenz系統(tǒng)的故障檢測(cè)法,并通過轉(zhuǎn)子沖擊實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性；文獻(xiàn)[12]通過研究超混沌Chen系統(tǒng),提出了具有雙重加密效果的分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的視頻加密通信方法；文獻(xiàn)[13]通過簡(jiǎn)化的Lorenz系統(tǒng)，并通過引入切換控制函數(shù)得到網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子，設(shè)計(jì)電路驗(yàn)證了該系統(tǒng)的通訊保密性能；文獻(xiàn)[14]提出一種基于Chen系統(tǒng)的新加密算法,具有較強(qiáng)的抗干擾能力；文獻(xiàn)[15]研究了分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，利用多種混合電路實(shí)現(xiàn)了該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)；文獻(xiàn)[16]通過建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，利用數(shù)值積分法求解系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng),分析裂紋角和裂紋深度對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響；文獻(xiàn)[17]通過分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性給出了單時(shí)滯類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件。

本文將Chen系統(tǒng)的第一個(gè)非線性方向改為

從而得到一個(gè)新的時(shí)滯擾動(dòng)類Chen系統(tǒng)。以一類新的時(shí)滯擾動(dòng)Chen系統(tǒng)為分析對(duì)象,結(jié)合規(guī)范型定理和Hopf分岔定理,分析該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性并給出Hopf分岔的發(fā)生條件，通過多組仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性。在對(duì)該時(shí)滯系統(tǒng)的控制方面采取了線性狀態(tài)控制器的反饋控制，增強(qiáng)了控制器的作用范圍，同時(shí)得出了時(shí)滯系統(tǒng)反饋系數(shù)的選擇范圍，實(shí)現(xiàn)了對(duì)該時(shí)滯系統(tǒng)的有效控制。

1 新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程形式如下：

(1)

其中[x，y，z]T∈R表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)參數(shù)。該系統(tǒng)由2個(gè)非線性項(xiàng)和4個(gè)線形項(xiàng)組成。此系統(tǒng)吸引子圖像與洛倫茲系統(tǒng)相似，但在拓?fù)渖喜⒉坏韧诼鍌惼澫到y(tǒng)和其他類似洛倫茲的系統(tǒng)。

1.1 對(duì)稱性

將系統(tǒng)式(1)中x和y坐標(biāo)做變換(x,y,z)→(-x,-y,z),系統(tǒng)保持不變，則系統(tǒng)式(1)關(guān)于z軸中心對(duì)稱。對(duì)稱性會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生很多方面的影響，如周期解、分岔、相圖在平面上的投影等。

1.2 耗散性分析

對(duì)于系統(tǒng)式(1)有如下等式(2)：

(2)

1.3 平衡點(diǎn)及分岔分析

從而系統(tǒng)式(1)在平衡點(diǎn)O(0,0,0)的特征方程為λ3+(a+b-c)λ2-(ab-ac-bc)λ-abc=0,其中a1=a+b-c,a2=ab-ac-bc,a3=abc,根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，當(dāng)a1>0,a1a2-a3>0，a3>0時(shí)系統(tǒng)式(1)的平衡點(diǎn)O(0,0,0)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。由于系統(tǒng)式(1)的平衡點(diǎn)總是可以通過坐標(biāo)平移變換到零平衡點(diǎn)，故P+和P-的穩(wěn)定性可以類似考慮。

由文獻(xiàn)[16]可知，對(duì)于兩個(gè)平衡點(diǎn)P+和P-，有以下3種情況：當(dāng)a>c> 0和b> 0，那么P+是穩(wěn)定的;當(dāng)c≥a> 0，那么P+是不穩(wěn)定的;如果ac≠0且b=bH，則系統(tǒng)式(1)具有Hopf分岔。

1.4 數(shù)值模擬

系統(tǒng)式(1)選取參數(shù)a=35,b=3,c=25，迭代初始點(diǎn)選(8,1,1),默認(rèn)步長(zhǎng)，積分上限為50，系統(tǒng)的吸引子圖像如圖1所示。從圖1可以看出，當(dāng)a=35,b=3,c=25時(shí)，系統(tǒng)式(1)呈穩(wěn)定的混沌運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)(8,1,1)并不在吸引子中，故迭代過程產(chǎn)生了一條吸引子外的軌線，因?yàn)楹纳⒆饔檬且环N穩(wěn)定的作用，最終將任意起點(diǎn)的迭代過程發(fā)生的軌線都收縮到吸引子中去，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由文獻(xiàn)[16]可知系統(tǒng)式(1)的3個(gè)李雅普諾夫指數(shù)分別為λL1=2.754 5,λL2=0.016 5,λL3=-15.771 2，其中λL2近似等于0，則系統(tǒng)式(1)只有一個(gè)正李雅普諾夫指數(shù)，該狀態(tài)下的吸引子是奇異吸引子，即其維數(shù)是分?jǐn)?shù)維的。

圖1 系統(tǒng)式(1)的相圖Fig.1 System (1) phase diagram

2 混沌控制

2.1 微分反饋控制

本節(jié)將運(yùn)用黃報(bào)星提出的微分反饋控制法[17]對(duì)系統(tǒng)式(1)進(jìn)行穩(wěn)定控制,所謂微分反饋控制就是當(dāng)系統(tǒng)接近目標(biāo)周期態(tài)的時(shí)候，利用現(xiàn)態(tài)與目標(biāo)態(tài)的差值作為被控系統(tǒng)的輸入，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到周期態(tài)，并使之穩(wěn)定的一種控制方法?，F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)式(1)進(jìn)行控制，受控系統(tǒng)如下：

(3)

所對(duì)應(yīng)的特征方程為λ3+(13-35k)λ2+(180-105k)λ+5 250=0，特征方程對(duì)應(yīng)的系數(shù)為a1=13-35k，a2=180-105k，a3=5 250，根據(jù)Routh-Hurwitz定理可知當(dāng)a1>0，a2>0，a1a2-a3>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)P+點(diǎn)，求得k的取值范圍為k∈(-∞,-0.33)。由于系統(tǒng)具有對(duì)稱性，故P-點(diǎn)的穩(wěn)定性與P+點(diǎn)的穩(wěn)定性一樣，因此當(dāng)k在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)式(3)的解漸漸趨近于P+點(diǎn)和P-點(diǎn)。受控系統(tǒng)取初值(-4，-4，10),k取-1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定與平衡點(diǎn)如圖2、圖3所示。

圖2 系統(tǒng)式(3)的相圖Fig.2 Controlled system (3) phase diagram

(a)

(b)

(c)

2.2 x|x|控制

x|x|控制法屬于外力反饋控制法，其特點(diǎn)是當(dāng)無(wú)擾動(dòng)的系統(tǒng)存在混沌時(shí)，從外部給系統(tǒng)輸入一個(gè)強(qiáng)迫信號(hào)，用以與系統(tǒng)的輸出量進(jìn)行比較，并給出控制信號(hào)作為對(duì)系統(tǒng)的一種微擾。當(dāng)然，無(wú)微擾時(shí)的系統(tǒng)必須存在混沌吸引子，只有這樣才有可控制的無(wú)窮多的周期軌道或非周期軌道?？紤]如下定義的n維非線性混沌系統(tǒng)[10]：

(4)

U=Ky|y|

(5)

式(5)中K為反饋增益矩陣。將該非線性反饋控制器負(fù)反饋加到系統(tǒng)式(1)中，則受控系統(tǒng)為

(6)

這樣形成的非線性控制器簡(jiǎn)單且只需要稍微改變參數(shù)，相對(duì)小的反饋增益，就能夠?qū)⒒煦邕\(yùn)動(dòng)控制到各種規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。結(jié)合式(6)，在系統(tǒng)式(1)的第一個(gè)方程中加入負(fù)反饋?zhàn)兞?，就可以得到受控的系統(tǒng)方程為

(7)

基于以上系統(tǒng)式(7)，通過matlab數(shù)值仿真，得到了關(guān)于控制參數(shù)k的全局分岔圖(圖4)：

從圖4可以觀測(cè)到，當(dāng)k=0.9時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔，由穩(wěn)定的2p軌道進(jìn)入1p軌道，在k=1.1時(shí)又從1p軌道進(jìn)入混沌狀態(tài)，在k=1.5時(shí)由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)為穩(wěn)定的2p軌道，k=1.6時(shí)又從2p軌道轉(zhuǎn)為1p軌道。在后面的過程中隨著控制參數(shù)k的不斷增大，系統(tǒng)先處于混沌狀態(tài)發(fā)生分岔，而后又進(jìn)入周期狀態(tài)，而后又分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)，如此交替進(jìn)行。第一次從混沌進(jìn)入周期再進(jìn)入混沌的參數(shù)k間距0.5，第二次參數(shù)k的間距是0.65，第三次的間距為0.8，可見每以此窗口期的時(shí)間在增加，且每次增加約0.15。當(dāng)k取在窗口期的時(shí)候，系統(tǒng)是周期的，x的迭代值是震蕩的。

圖4 參數(shù)k的局部分岔圖Fig.4 Local bifurcation diagram of parameter k

2.3 y|y|控制

從最早2003年閔富紅、徐振源正式提出x|x|控制[13]以后，許多學(xué)者對(duì)其他系統(tǒng)也運(yùn)用了該方法進(jìn)行控制，但是其負(fù)反饋控制項(xiàng)都是加在第一個(gè)方程中，反饋量也只是x。而對(duì)于x|x|控制的效果而言，只能使系統(tǒng)產(chǎn)生周期性的窗口期，并不能完全消除混沌。本文發(fā)現(xiàn)的y|y|控制項(xiàng)能直接消除系統(tǒng)的混沌，且達(dá)到穩(wěn)定的速度很快。在本節(jié)中將輸出y作為非線性負(fù)反饋控制器加到系統(tǒng)式(1)的第二個(gè)方程中去，可得如下受控系統(tǒng)為

(8)

下面給出4個(gè)經(jīng)典系統(tǒng)的受控分岔圖。圖6(a)為Chen系統(tǒng)受控后的分岔圖，Chen系統(tǒng)在控制參數(shù)k>1以后就進(jìn)入周期態(tài)，混沌現(xiàn)象被消除，不經(jīng)過倍周期分岔。圖6(b)為Rossler系統(tǒng)受控后的分岔圖，當(dāng)參數(shù)k=9時(shí)，系統(tǒng)開始進(jìn)入周期態(tài)，在k∈(6.2,9)時(shí)，系統(tǒng)分岔圖為空白，具體原因有待考察。

(a) Chen系統(tǒng)

(b) Rossler系統(tǒng)

(c) Lü系統(tǒng)

(d) Lorenz系統(tǒng)

圖6(c)為L(zhǎng)ü系統(tǒng)受控后分岔圖，Lü系統(tǒng)在參數(shù)k=0.26時(shí)開始脫離混沌狀態(tài)，直到k=0.35左右才完全進(jìn)入周期態(tài)，也沒有經(jīng)過倍周期分岔直接進(jìn)入穩(wěn)定態(tài)。圖6(d)是Lorenz系統(tǒng)的受控后分岔圖，可以看出它與Lü系統(tǒng)有相似之處，沒有經(jīng)過倍周期分岔直接脫離混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)而進(jìn)入穩(wěn)定態(tài),而且穩(wěn)定性較好。

2.4 恒定外激勵(lì)控制

人們研究混沌控制的最終目的就是要把混沌現(xiàn)象為其所用或者消除不必要的混沌現(xiàn)象，恒定外激勵(lì)控制就是消除混沌的一種方法，這種方法的核心要點(diǎn)就是選取合適的恒定外激勵(lì)控制項(xiàng)u(t)=k，并把該控制項(xiàng)加到系統(tǒng)式(1)的第二個(gè)方程上，可得如下受控系統(tǒng):

(9)

得到受控系統(tǒng)后，通過選取不同的控制項(xiàng)參數(shù)k的值，可將原本混沌的系統(tǒng)控制穩(wěn)定到周期軌道上，以達(dá)到消除混沌的目的。圖7給出了系統(tǒng)(9)關(guān)于參數(shù)k的分岔圖，當(dāng)控制參數(shù)k=24時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)窗口期，隨后在k=25時(shí)又進(jìn)入混沌狀態(tài)，當(dāng)k=28時(shí)系統(tǒng)由混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)入倍周期分岔，當(dāng)k=29.5時(shí)，系統(tǒng)由穩(wěn)定的4p軌道轉(zhuǎn)入穩(wěn)定的2p軌道，隨后一直穩(wěn)定，混沌現(xiàn)象被消除。這種添加一個(gè)常數(shù)的方法不但能使系統(tǒng)產(chǎn)生窗口期，同時(shí)還能發(fā)生亞臨界倍周期分岔，使系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，為以后對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行分岔研究的學(xué)者提供一個(gè)方向。本文所給圖像是將恒外激勵(lì)控制項(xiàng)加在第二個(gè)方程中，將控制項(xiàng)添加到第一個(gè)或者第三個(gè)方程中，均可以實(shí)現(xiàn)混沌消除的功能，為后續(xù)研究混沌消除的學(xué)者提供了一條思路。

圖7 受控系統(tǒng)(9)部分分岔圖Fig.7 System (9) partial bifurcation diagram

3 結(jié) 論

本文對(duì)新提出的混沌系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析與混沌控制研究。分析了混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，通過相圖、分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)值模擬，驗(yàn)證了混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。然后運(yùn)用微分反饋控制、x控制、恒勵(lì)磁控制方法,分別將系統(tǒng)向穩(wěn)定點(diǎn)和周期軌道上控制，并通過在方程第二項(xiàng)中添加y控制項(xiàng)，使混沌現(xiàn)象消除。數(shù)值模擬證明該方法能有效地消除混沌。通過對(duì)新系統(tǒng)的控制，為混沌通信序列提供了一種新的混沌形式，提高了混沌的跟蹤速度。