王 榮 秀
(重慶工商大學(xué) 計算機科學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400067)
帶電粒子在電磁場中的運動一直是電磁理論的核心問題之一,涉及諸多不同的應(yīng)用領(lǐng)域,如電/磁分離器、質(zhì)譜儀、電泳鍍膜、電/磁加速器、等離子體激光相互作用等,因此研究電荷在電磁場的運動具有非常重要的實際意義[1-2]。一般情形下,電荷在電磁場中的運動十分復(fù)雜。目前的參考文獻中, 對帶電粒子在電磁場中運動狀態(tài)的描述主要是針對靜場以及僅有電場或磁場等一些特殊情況[3-8],很少對帶電粒子在時變電磁場中的運動進行一般的分析。經(jīng)典情形下,帶電粒子的運動由洛倫茲力方程(簡稱洛倫茲方程)描述,對帶電粒子運動的分析首先是對洛倫茲方程求解;由于方程中存在耦合項,而且在交變時引進的含時變量使求解困難。Chang等[9]利用本征值分解來求解洛倫茲方程,把解表示成矢量的積分形式,但要得到積分的結(jié)果同樣困難。之后,Donkov等[10]簡化了電磁場矢量的表達式,應(yīng)用微分方程解的疊加性,先后求出齊次通解及特解來得到方程的解。該方法得出了洛倫茲方程解的一般形式,但不足之處是對電/磁分量的假設(shè)條件限制了解的應(yīng)用范圍,而且特解的求取較為復(fù)雜。
由于平面波及正交時變電/磁場是較典型的交變電磁場形式,因此主要對帶電粒子受平面波交變電磁場及正交時諧電/磁場作用下的運動規(guī)律進行探討,通過求解經(jīng)典洛倫茲方程,分析帶電粒子的運動特性,并對幾種常見的情況進行討論。
(1)
(2)
由式(2)可以看出,粒子沿y軸運動不受影響,保持勻速直線運動;而在x、z軸方向由于耦合項的存在,運動相互影響。消去時間因子cosωt后可得:
(3)
經(jīng)過積分也可得到式(3)。磁場雖然不直接做功,但能改變運動速度的方向,使vx和vz的大小發(fā)生變化,從而影響電場做功。
V=XΦ1+YΦ2
(4)
(5)
(6)
利用式(5)、式(6)討論幾種常見情況:
認(rèn)知行為治療,人際心理治療,行為心理治療,都對抑郁癥有確定的療效。其他類型心理治療的證據(jù)少。有一些比較研究表明認(rèn)知行為治療和第二代抗抑郁藥物具有相似療效,而副作用可能更低,此外,使用認(rèn)知行為治療所報告的抑郁復(fù)發(fā)率低于第二代抗抑郁藥物治療。因此,盡管第二代抗抑郁藥物通常是針對抑郁癥患者開出的初始治療方案,CBT依舊可作為初始治療的合理療法,并應(yīng)該被認(rèn)為是可用的第二代抗抑郁藥物的替代治療方法。
(a)速度隨時間的變化 (b)速度關(guān)系
圖1 靜場條件下粒子沿x、z軸的速度變化與相互關(guān)系
Fig.1 The velocities of particle in static fields andtheir relations
(a)靜場時粒子運動軌跡 (b)僅有穩(wěn)恒磁場時粒子的螺旋運動
圖2 粒子靜場下的運動軌跡
Fig.2 Particle trajectory under static field
(a)僅有時變電場時粒子的運動 (b)僅有時變磁場時的運動
圖3 粒子在時變電或磁場下的運動
Fig.3 Movement with alternating electricfield and magnetic field
總之,帶電粒子的運動與初始速度、電/磁矢量的大小和方向、頻率等因素有關(guān);無論靜場還是時變場,沿電場方向和磁場垂直方向都存在周期往返性質(zhì)的運動。其變化頻率在靜場時取決于磁場的強弱,在時變場時則主要由場的變化頻率決定。當(dāng)場的變化頻率很高時,粒子運動中的周期性成分很小,接近直線運動。
(7)
(8)
(9)
當(dāng)然vx并不具有波動性質(zhì),式(9)只是反映了vx隨時空的分布和變化特性。對于方程式(7)、式(3)依然成立,設(shè)粒子速度不超過波速u,因此有:
由于vx具有周期分布和變化的特點,因此vz也具有周期分布和變化的特征,但并不滿足波動方程,而是滿足
圖4 vx和vz的關(guān)系Fig.4 The variation of vx and vz
從圖5中可以看到,質(zhì)子主要在x方向有往返運動,且速度明顯大于其他方向,vx和vz的關(guān)系與圖4相同。隨著z值增加,曲線被拉伸。另外,質(zhì)量的減小,可以使k2較大,因此vx和vz可能變得很大,此時粒子的坐標(biāo)z變化較快,沿x軸的運動會不同。作為比較,考慮電子的運動,e=1.602×10-19C,m=9.1×10-31kg,模擬結(jié)果如圖6、圖7所示。
(a)平面波場下質(zhì)子vx和vz的關(guān)系 (b)平面波場下質(zhì)子三維運動路徑
圖5 質(zhì)子的速度及運動軌跡
Fig.5 The velocity and trajectory of photon
(b) 電子沿x軸的速度
(a) 電子沿x軸的位移
(b) vx的相位變化
圖6(a)顯示,粒子沿x方向運動的周期是變化的,在t≈1.2×10-5s時,有一個明顯的頻率延緩,由于速度較大,從而使x方向位移產(chǎn)生較大變化,如圖7(a)所示;此時vx的相位因子kz-ωt在t≈1.2×10-5s附近有駐點,如圖7(b)所示。這主要與參數(shù)k2、波頻ω(或波矢k)有關(guān)。當(dāng)k2較小(m、B0較?。籯較大),vx和vz很小,粒子沿z軸位移緩慢,相位因子kz-ωt中ωt起主要作用,不出現(xiàn)極值駐點;而當(dāng)k2較大時,粒子沿z軸運動速度很大,kz變化很快,可能使相位因子kz-ωt產(chǎn)生駐點,從而導(dǎo)致位移的突變。理論上,kz-ωt的駐點意味著vz接近光速,這實際上是不可能的,此時應(yīng)考慮粒子的量子和相對論效應(yīng)[11]。另一方面也說明:經(jīng)典洛倫茲方程不適于描述電子等質(zhì)量較小的帶電粒子在高頻且較強電磁場下的運動,當(dāng)然這與經(jīng)典電磁理論的局限性是一致的。