符號動力學(xué)信息熵參數(shù)優(yōu)化方法研究

丁 闖，張兵志,2，馮輔周，吳守軍

（1.陸軍裝甲兵學(xué)院 車輛工程系，北京 100072； 2.北方特種車輛研究所，北京 100072）

符號動力學(xué)信息熵（Symbolic Dynamic Entropy，SDE）能夠有效檢測振動信號時間序列的動力學(xué)特性[1]，因此，SDE在特征提取及故障診斷中的應(yīng)用越來越引起人們的重視。SDE具有計算速度快、對數(shù)據(jù)量要求小且能捕捉到時間序列的非平穩(wěn)特性、能夠快速有效提取振動信號的運行狀態(tài)等特征。

然而，SDE的計算結(jié)果受自身參數(shù)的影響比較大，參數(shù)的選擇主要依靠人為經(jīng)驗，限制了SDE的應(yīng)用。本文將對參數(shù)確定的2種觀點進(jìn)行闡述，對比了2種觀點中參數(shù)確定的典型方法，并通過對比優(yōu)化參數(shù)，提高SDE作為特征的算法效率和敏感度。

1 SDE原理

SDE最早由Kurths等提出[2]，計算方法過程如下：

設(shè)振動信號序列X={x(i),i=1,2,…N}，即時域信號由N個采樣點元素組成。

（1）振動信號符號化。將時間序列X轉(zhuǎn)化到符號域S={s(i),i=1,2,…,N}，即s(i)代表符號域S中的第i個元素。符號域中符號使用si表示，其中，si∈{0,1,2,3}，此處si代表符號{0,1,2,3}的具體某個符號，具體轉(zhuǎn)化方法為

式中：μ為時間序列X的平均值，α為權(quán)重，一般取α=0.1[3]。

（2）相空間重構(gòu)。對符號域的時間序列S=進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到矩陣S0

其中：m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時間，j=1,2,3,…,K，其中，K=N-(m-1)τ。重構(gòu)矩陣中的每一行S0(j)為一個重構(gòu)分量，重構(gòu)矩陣中共有K個重構(gòu)分量。

重構(gòu)矩陣中每個重構(gòu)分量為一個獨立的狀態(tài)模式，由于S0(j)有m個元素，每個元素的符號共有4種可能，因此共有n=4m種狀態(tài)模式。

（3）計算各狀態(tài)模式出現(xiàn)的概率。統(tǒng)計各狀態(tài)模式出現(xiàn)的次數(shù)，記為Z(l)(l=1,2,3,…,n)，并計算其出現(xiàn)的概率，記為

（4）計算符號動力學(xué)信息熵。

根據(jù)SDE原理，相空間重構(gòu)是算法中的關(guān)鍵一步，其延遲時間和嵌入維數(shù)的選擇對SDE的計算結(jié)果有較大的影響。

2 SDE參數(shù)優(yōu)化

相空間重構(gòu)最早由Takens在1981年提出[4]，關(guān)于延遲時間τ和嵌入維數(shù)m的選擇，相關(guān)學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[5]。

目前對于參數(shù)選擇有兩種觀點：

(1)延遲時間和嵌入維數(shù)的選擇互不相關(guān)，即兩者獨立確定，通常使用互信息法和偽近鄰法相結(jié)合，首先使用互信息法確定延遲時間，然后在延遲時間確定后，使用偽近鄰法確定嵌入維數(shù)；

(2)延遲時間和嵌入維數(shù)的選擇存在聯(lián)系，即兩個參數(shù)的選擇相互依賴，通常使用關(guān)聯(lián)積分法（即CC算法），通過構(gòu)造統(tǒng)計變量和延遲時間的關(guān)系確定最佳延遲時間和嵌入窗寬，根據(jù)嵌入窗寬確定嵌入維數(shù)。針對不同的應(yīng)用需要根據(jù)其具體效果確定參數(shù)選擇的具體方法。

對于設(shè)備不同運行狀態(tài)下的時域振動信號，采用相同參數(shù)對其進(jìn)行相空間重構(gòu)，將得到不同的SDE。因此，可使用系統(tǒng)正常狀態(tài)下的振動信號確定的參數(shù)，對系統(tǒng)不同狀態(tài)下的振動信號進(jìn)行SDE計算，將熵值作為特征用于判斷系統(tǒng)的運行狀態(tài)，從而達(dá)到特征提取的目的。

2.1 延遲時間和嵌入維數(shù)的獨立確定方法

（1）基于互信息法確定延遲時間

對于振動信號序列X={x(i),i=1,2,…M}，其符號域的時間序列S={s(i),1,2,…,N}，為了研究s(i)與s(i+τ)的相關(guān)性，選取延遲序列s(i+τ)構(gòu)成新的序列Q={q(i),i=1,2,…M}，將S與Q的相關(guān)性大小作為確定延遲時間τ的依據(jù)。根據(jù)信息論理論，兩個時間序列的互信息可表示為

式中：Ps(si)和Pq(qi)分別為對應(yīng)的符號域時間序列中事件si和qj的概率，Psq(si,qj)為事件si和qj的聯(lián)合分布概率，此處事件si和qj分別對應(yīng)相應(yīng)序列的各個符號。

對于某一特定符號域時間序列S，其與延遲后的時間序列Q的互信息值只與延遲時間有關(guān)，令

式中：I(τ)的大小代表了在已知時間序列S與時間延遲后時間序列Q的相關(guān)性。當(dāng)I(τ)=0時，表示S和Q完全不相關(guān)；當(dāng)I(τ)取極小值時，表示S和Q最大可能的不相關(guān)，重構(gòu)過程中，使用I(τ)的第一個極小值對應(yīng)的延遲時間τ作為最優(yōu)延遲時間[6]，記為τ0。

（2）基于偽近鄰法確定嵌入維數(shù)

偽近鄰法（False Nearest Neighbor，F(xiàn)NN）是確定最小嵌入維數(shù)的一種有效方法，其計算過程為：若嵌入維數(shù)為m時的重構(gòu)相空間的近鄰點仍然為嵌入維數(shù)為m+1的近鄰點，則此點為真近鄰點，反之若嵌入維數(shù)為m時的重構(gòu)相空間的近鄰點不是嵌入維數(shù)為m+1的近鄰點，則此點為偽近鄰點。當(dāng)嵌入維數(shù)處于某個值m時，偽近鄰點百分比（False Nearest Neighbor Percent，F(xiàn)NNP）將突變下降至0或接近0，且隨著m的增大不再變化，此突變點對應(yīng)的m值即為所求嵌入維數(shù)，記為m0。

偽近鄰法確定嵌入維數(shù)的具體步驟如下：

當(dāng)嵌入維度為m時，針對相空間中的任一重構(gòu)分量S0(j)，在重構(gòu)向量中，與S0(j)歐式距離最近的重構(gòu)向量稱之為S0(j)的最近鄰點，記為SN0N(j)

此時，有

式中：j≠i，其與重構(gòu)分量S0(j)的距離為

同理，求得嵌入維數(shù)為m+1時，其重構(gòu)分量S0′(j)與其最近鄰點SN0,Nm+1(j)的距離為Dm+1(j)，此時可得

引入兩個偽近鄰點判據(jù)

式中：為符號域時間序列Q的均值，Rtol和Atol為選取的閾值。判據(jù)（1）通常用于有限長無噪聲的數(shù)據(jù)，判據(jù)（2）通常用于含噪聲的數(shù)據(jù)。

由此可知，重構(gòu)矩陣中的K個重構(gòu)分量對應(yīng)K個最近鄰點，若K個最近鄰點有l(wèi)個偽近鄰點，則此時偽近鄰百分比（即偽近鄰率）為

在實際計算過程中，將嵌入維數(shù)m從2開始依次增加，計算偽近鄰點百分比，直到偽近鄰點百分比小于5%或不再下降時，此時的嵌入維數(shù)即為最小嵌入維數(shù)[8]，記為m0。

2.2 延遲時間和嵌入維數(shù)的聯(lián)合確定方法

延遲時間和嵌入維數(shù)的聯(lián)合確定通常使用關(guān)聯(lián)積分法（C-C算法），該方法最早由Broomhead和Kim提出，是一種同時確定最佳延遲時間和最佳嵌入維數(shù)的算法。其基本思想是通過嵌入時間序列的關(guān)聯(lián)積分構(gòu)造能夠代表非線性時間序列相關(guān)性的統(tǒng)計量，根據(jù)其和延遲時間的關(guān)系確定最佳延遲時間和嵌入窗寬，進(jìn)而確定嵌入維數(shù)。C-C算法是根據(jù)大量的統(tǒng)計規(guī)律中得到的，具有一定的優(yōu)勢。

對于時間序列X對應(yīng)的符號域時間序列S={s(i),1,2,…,N}，其相空間中的重構(gòu)分量為S0(j)，得出嵌入時間序列的關(guān)聯(lián)積分方程為

式中：K為相空間矩陣中重構(gòu)向量的數(shù)量，即K=N-(m-1)τ；r為參考半徑，即為閾值；dij為重構(gòu)向量中任一兩個重構(gòu)分量S0(i)和S0(j)的距離，即dij=‖S0(i)-S0(j)‖ ；H(u)為Heaviside函數(shù)，其取值為

對于任意的參考半徑r，C(m,τ,N,r)代表任意兩個重構(gòu)分量的距離小于r的個數(shù)占總數(shù)的C2K中的比例。對于符號域時間序列S，首先將時間序列進(jìn)行劃分，分成τ個長度相等的時間序列，τ為延遲時間。然后構(gòu)造一個與延遲時間τ相關(guān)的關(guān)聯(lián)方程：

當(dāng)延遲時間τ=1時為單個時間序列本身，而此時，有

當(dāng)延遲時間τ=2時，有2個時間序列，為和{s(2),s(4),…,s(N)} ，長度為，而此時，有

以此類推，可得出當(dāng)延遲時間τ為任意自然數(shù)時，其關(guān)聯(lián)方程為F(m,τ,N,r)。

當(dāng)N→∞時，則

由上式可知，當(dāng)時間序列中的點為獨立分布且N→∞時，所有的F(m,τ,r)均為零。然而實際序列的長度為有限值，且時間序列中的點是相關(guān)的，因此F(m,τ,r)并不是總為零。若參考半徑r為任意值、F(m,τ,r)均為極小值點時，時間序列最接近均勻分布。此處，將F(m,τ,r)的最大值和最小值的差定義為

在求解過程中，Brock等通過對各種分布的研究，得出結(jié)論：當(dāng)時間序列的長度N≥500時，對于嵌入維數(shù)m，一般取2≤m≤5，對于參考半徑r，一般取為時間序列的標(biāo)準(zhǔn)差），可得到較好的結(jié)果。而將其應(yīng)用于符號動力學(xué)信息熵特征提取時，若嵌入維數(shù)取2，得出的信息熵難以區(qū)分故障模式，因此，在計算時，可取1,2,3,4。然后構(gòu)造以下3個統(tǒng)計量

3 試驗驗證

為了檢驗并對比參數(shù)優(yōu)化方法的有效性，在SDE取不同參數(shù)條件下對行星齒輪箱振動信號進(jìn)行特征提取。行星齒輪箱試驗臺如圖1所示。

圖1 行星齒輪箱試驗臺

試驗臺主要由變頻電動機(jī)、行星齒輪箱、渦流測功機(jī)組成，變頻電動機(jī)提供動力，由渦流測功機(jī)加載，行星齒輪箱的參數(shù)如表1所示。

表1 行星齒輪箱參數(shù)

分別對行星齒輪箱齒輪正常、太陽輪輪齒局部裂紋故障、行星輪輪齒局部裂紋故障等3種狀態(tài)信號進(jìn)行分析[7-9]。

此試驗中2種狀態(tài)的振動信號均在有負(fù)載情況下完成，其中，變頻電機(jī)輸入轉(zhuǎn)速為2400 r/min，采樣頻率為5120 Hz。正常信號、太陽輪裂紋故障、行星輪裂紋故障時域波形如圖2所示。

圖23 種狀態(tài)振動信號的時域波形

（1）SDE信息熵參數(shù)確定

首先利用互信息法計算正常狀態(tài)下振動信號符號域時間序列的延遲時間τ與互信息之間的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 振動仿真信號互信息與延遲時間的關(guān)系

由圖3可知，互信息第一次取得極小值時，最佳延遲時間τ0=8。

當(dāng)輸入延遲時間τ0=8時，使用偽近鄰法求解時間序列的嵌入維數(shù)，使用判據(jù)（2），選擇閾值A(chǔ)tol=2，求出此時間序列的偽近鄰率與嵌入維數(shù)的關(guān)系如圖4所示，由圖4可知，最佳嵌入維數(shù)m0=3。

使用聯(lián)合積分法即C-C方法確定延遲時間和嵌入維數(shù)，圖5為由聯(lián)合積分法得出的相關(guān)參數(shù)變化曲線。

由圖5可知，當(dāng)圖中)變化曲線取第1個零點或接近零點時，τ0=20，且Fcor(τ)變化曲線取最小值時，最佳嵌入窗寬τw=25，此時根據(jù)式（21）可得，m=3；當(dāng)圖中(τ)變化曲線取第一個極小值時，τ0=35，同理得m=2。由前文可知，嵌入維數(shù)至少大于2，因此，得出最佳延遲時間τ0=20，最佳嵌入維數(shù)m0=3。

圖4 振動仿真信號偽近鄰率與嵌入維數(shù)的關(guān)系

圖5 聯(lián)合積分法各參數(shù)的變化曲線

（2）特征提取

取齒輪正常、太陽輪裂紋故障、行星輪裂紋故障各20個樣本，使用SDE計算3種狀態(tài)下各個樣本的熵值。使用獨立方法和聯(lián)合積分法確定參數(shù)的各狀態(tài)下SDE如圖6、圖7所示。

圖6 根據(jù)獨立確定方法確定參數(shù)的各狀態(tài)SDE

圖7 根據(jù)聯(lián)合積分法確定參數(shù)的各狀態(tài)SDE

為進(jìn)一步突出本文2種方法確定參數(shù)的實際應(yīng)用效果，在實際計算中，增加任意選定的參數(shù)計算，任意選定延遲時間τ0=4，嵌入維數(shù)m0=3，此參數(shù)下各狀態(tài)下SDE如圖8所示。

圖8 任意給定參數(shù)的各狀態(tài)SDE

由圖6、圖7、圖8可知，使用獨立方法確定的參數(shù)計算得到的3種狀態(tài)下的SDE值相差最大，即分類效果最好，且同種狀態(tài)下的SDE較穩(wěn)定。因此使用互信息法確定延遲時間，根據(jù)偽近鄰法確定嵌入維數(shù)，具有更好的分類效果。

4 結(jié)語

本文重點研究符號動力學(xué)信息熵參數(shù)優(yōu)化確定方法。根據(jù)其算法原理，使用相空間重構(gòu)的方法確定算法參數(shù)，克服了人為主觀或憑經(jīng)驗確定算法參數(shù)的不確定性。根據(jù)當(dāng)前確定相空間參數(shù)的兩種不同觀點，介紹了2種方法中典型參數(shù)確定方法的基本原理，并利用行星齒輪箱實測信號對所提參數(shù)優(yōu)化方法進(jìn)行了驗證。結(jié)果表明，相空間重構(gòu)參數(shù)的獨立確定方法比聯(lián)合確定方法更優(yōu)，這為符號動力學(xué)信息熵算法中參數(shù)的確定奠定了基礎(chǔ)。