考慮修正等效嚙合尺寸的行星齒輪箱振動特性分析

王簫劍，李鴻光

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240）

行星齒輪箱是由太陽輪、行星輪、大齒圈以及行星架等元件組成的機(jī)構(gòu)，具有降低轉(zhuǎn)速比、放大電機(jī)扭轉(zhuǎn)力等功能。因其傳遞平穩(wěn)、承載力大、體積小巧等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于船舶、航天、汽車等領(lǐng)域中。然而此類行業(yè)對行星齒輪箱的安全平穩(wěn)運(yùn)行要求極高，所以進(jìn)行行星齒輪箱振動特性研究是十分必要的。

在工程上，有很多商業(yè)軟件可供分析齒輪箱動力學(xué)特性，它們通常利用以殼體與實體力學(xué)為基礎(chǔ)的有限元分析方法進(jìn)行分析。這些有限元模型雖然在建模方面能夠保持較高的真實性，準(zhǔn)確表現(xiàn)出物體之間的接觸特性，但其通常需要較長的求解時間。

與此同時，對于集中參數(shù)模型[1-3,10]目前已有很多研究成果，但在工業(yè)上并未得到廣泛的應(yīng)用。集中參數(shù)模型是一種基于剛體齒輪質(zhì)量-彈簧表示的模型，研究表明其與實驗及有限元分析結(jié)果吻合較好[4-6]。其優(yōu)點在于建立快速，需要的輸入量相對較少，并且求解較為方便。其可利用類似多體動力學(xué)代碼來評估不同工況的振動特性。

但其對等效嚙合尺寸的討論相對較少，故所得到的頻譜圖很難完全反映行星齒輪箱振動的全部頻率成分，且忽視了倍頻成分可能對嚙頻帶來的影響。

本文通過隨動坐標(biāo)系與靜止坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，結(jié)合提出的等效嚙合尺寸模型對行星齒輪箱進(jìn)行了集中參數(shù)建模。采用龍格庫塔法對建立的模型進(jìn)行數(shù)值求解，同時與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，表明該方法可以較為準(zhǔn)確地識別行星齒輪箱振動頻率，模擬行星齒輪箱振動特征。

1 行星齒輪箱集中參數(shù)建模

通常的齒輪箱模型[7，9]如圖1所示，其傳動系統(tǒng)由4部分構(gòu)成，分別為太陽輪，行星輪，內(nèi)齒圈與行星架。而齒輪箱則由于輸出構(gòu)件的不同分為星型齒輪箱及行星齒輪箱。本文研究的行星齒輪箱內(nèi)齒圈固定，通過各齒輪間嚙合關(guān)系，將從太陽輪輸入的功率通過行星輪帶動行星架的運(yùn)動，傳遞給風(fēng)扇進(jìn)行輸出。

圖1 齒輪箱集中參數(shù)模型

集中參數(shù)建模[2]中采用質(zhì)量代替6個部件：1個太陽輪，1個大齒圈，1個行星架與3個行星輪。簡化太陽輪-行星輪、行星輪-外齒圈的接觸特性為以嚙頻為變化頻率的正弦形式的剛度。

1.1 部件接觸狀態(tài)建模

對于部件接觸狀態(tài)分為3個系統(tǒng)進(jìn)行分析，分別為太陽輪-行星輪系統(tǒng)、行星輪-外齒圈系統(tǒng)、行星輪-行星架系統(tǒng)。

(1)太陽輪-行星輪系統(tǒng)

將太陽輪-行星輪的嚙合系統(tǒng)看成雙質(zhì)量塊單彈簧連接系統(tǒng)，共有6個狀態(tài)變量，分別為太陽輪x向平動xs、太陽輪y向平動ys、太陽輪轉(zhuǎn)動θzs、輪x向平動xpi、行星輪y向平動ypi、行星輪轉(zhuǎn)動θzpi。太陽輪、行星輪的運(yùn)動分別用如下兩式描述。

式中：ψspi=φsp-αpi為嚙合線傾角，即法面壓力角αpi與行星輪相對位置角φsp之差。而

其為等效嚙合尺寸。

(2)外齒圈-行星輪

將外齒圈-行星輪的嚙合系統(tǒng)看成雙質(zhì)量塊單彈簧連接系統(tǒng)，共有6個狀態(tài)變量，分別為外齒圈x向平動xr、外齒圈y向平動yr、齒圈轉(zhuǎn)動θzr、星輪x向平動xpi、行星輪y向平動ypi、輪轉(zhuǎn)動θzpi。外齒圈、行星輪的運(yùn)動分別用如下兩式表示。

式中：ψrpi=φrp+αpi為嚙合線傾角，即法面壓力角αpi與行星輪相對位置角φrp之和。而

其為嚙合尺寸。

(3)行星架-行星輪

而行星輪與行星架的運(yùn)動方程為

以上3組矩陣式疊加，即為各狀態(tài)變量隨嚙合剛度變化的動力學(xué)方程。此時，式中共有6個構(gòu)件（1個行星架、1個太陽輪、1個內(nèi)齒圈、3個行星輪），每個構(gòu)件有3個狀態(tài)變量，故共存在18個狀態(tài)變量。

構(gòu)建內(nèi)部相互作用導(dǎo)致的動力學(xué)方程如下式所示

式中：M為質(zhì)量矩陣；Km為嚙合剛度矩陣；q為狀態(tài)變量列向量。

1.2 部件支承狀態(tài)建模

由于行星輪因安裝在行星架上，不與地面直接接觸，其支承剛度由行星輪-行星架的相互作用剛度代替。故僅需考慮太陽輪，大齒圈與行星架的支承剛度，如下3組式所示：

太陽輪質(zhì)量-支承剛度系統(tǒng)

二是高度重視閱讀與寫作。美國高中生的閱讀量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于中國學(xué)生，又厚又大的課本，要在課前閱讀，并寫出閱讀筆記和提出問題；教師還會發(fā)閱讀資料及學(xué)習(xí)任務(wù)單；每個單元結(jié)束時都有綜合寫作，不論人文課還是科學(xué)課，學(xué)生們常常一寫就是一篇論文。

大齒圈質(zhì)量-支承剛度系統(tǒng)

行星架質(zhì)量-支承剛度系統(tǒng)

以上3組矩陣式子疊加，即為各狀態(tài)變量隨支承剛度變化的動力學(xué)方程。此時，式中共有3個構(gòu)件（1個行星架，1個太陽輪，1個內(nèi)齒圈），每個構(gòu)件3個狀態(tài)變量，故共存在9個狀態(tài)變量。

支承剛度作用的動力學(xué)方程如下式所示

式中：M為質(zhì)量矩陣；Kb為支承剛度矩陣；q為狀態(tài)變量列向量。

1.3 隨動坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)建模

隨動坐標(biāo)系與靜止坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換一般為

故隨動坐標(biāo)系下速度在靜止坐標(biāo)系中可表示為

而加速度在靜止坐標(biāo)系中可表示為

1.4 系統(tǒng)總體方程分析

結(jié)合式（10）、式（14），人字齒行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程的矩陣形式如下

q為隨動坐標(biāo)系下狀態(tài)變量，這里存在18個狀態(tài)變量，分別為6個工作構(gòu)件（1個太陽輪、1個外齒圈、1個行星架、3個行星輪）的x向位移、y向位移與旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角。

之后，將式（15）、式（17）代入式（18）中，將隨動坐標(biāo)系系統(tǒng)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)化到靜止坐標(biāo)系下。并考慮外加扭矩的影響，所得方程如下

Q為靜止坐標(biāo)系下狀態(tài)變量。

1.5 等效嚙合尺寸與等效嚙合剛度建模

對于嚙合尺寸，本文忽略齒廓誤差，而僅討論型心制造誤差所帶來的影響。由于在不對中的情況下，將外激勵看為轉(zhuǎn)子的不平衡激勵。

太陽輪型心以轉(zhuǎn)頻為頻率周期運(yùn)動，故其坐標(biāo)可以表示為

式中，XX、YY為太陽輪型心坐標(biāo)，X、Y為太陽輪旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)，ω為太陽輪轉(zhuǎn)動角速度，γ為初始誤差相位角，e為初始誤差值。

將式（20）代入式（19）中，可得到系統(tǒng)新的狀態(tài)方程為

其中，嚙合剛度矩陣中時變變量為時變嚙合剛度[8]，將其規(guī)定為

而等效嚙合尺寸可以由式（6）、式（20）推導(dǎo)得到。

考慮到其他倍頻成分激勵，類比式（22），此處采用ω、2ω、3ω等來代替單個的ω分量，即可將等效嚙合尺寸修正為

由式（10）、式（23）推得，因等效嚙合尺寸變化而導(dǎo)致的內(nèi)嚙合激勵力F(t)為

式中：NN1(ωct)與NN2(ωct)可由式（18）、式（19）推導(dǎo)得到。

從式（25）中可以看出，系統(tǒng)外界激勵包括轉(zhuǎn)頻、倍頻、嚙頻以及嚙頻對應(yīng)的邊頻帶成分。而整個系統(tǒng)為剛度含時間項的非線性振動問題。

2 數(shù)值求解

由上述分析可知，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為包含18個狀態(tài)變量的2階非線性微分方程組，對于此2階微分方程組，求解析解乃至解耦均較為困難。故采用龍格庫塔法（顯式高精度單步算法）對此微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解。

將新的動力學(xué)方程簡化表示為

式中：q(t)為新的狀態(tài)變量，即

H為傳遞矩陣，即

式中：K′b、K′m、M′分別為經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的支承剛度矩陣，嚙合剛度矩陣與質(zhì)量矩陣。而G與Kω為旋轉(zhuǎn)變換引入的陀螺矩陣與向心剛度矩陣。

而Y為外界激勵，即為系統(tǒng)輸入

根據(jù)龍格庫塔方法，此初值問題表示如下

當(dāng)龍格庫塔法的時間間隔滿足奈奎斯特采樣定理時，即可得到系統(tǒng)在外激勵下的響應(yīng)曲線。

選取進(jìn)行仿真分析的數(shù)據(jù)如表1所示。

經(jīng)過上述數(shù)值積分，得到太陽輪、外齒圈、行星架與行星輪的振動速度圖像與位移圖像如圖2所示。

3 對比實驗

實驗的振動數(shù)據(jù)采集自行星齒輪箱故障模擬試驗臺。如圖3所示，試驗臺包括驅(qū)動電機(jī)、交流電機(jī)、行星齒輪箱、固定軸齒輪箱和制動器。采用轉(zhuǎn)速傳感器和加速度傳感器分別采集電機(jī)軸轉(zhuǎn)速和行星齒輪箱振動信號，電機(jī)軸轉(zhuǎn)速可由驅(qū)動電機(jī)自由調(diào)節(jié)，本實驗中電機(jī)為恒定轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速為2100 r/min。

由于太陽輪制造誤差值無法測量，所以在信號的頻譜圖參考基頻處幅值做歸一化處理，所得實驗信號頻譜與理論信號頻譜比較如圖4所示。

如圖4所示，本文方法能夠清楚地展示出齒輪箱振動的1、2、3、4倍頻、各階嚙頻及其邊頻帶。從實驗結(jié)果可以看出，本方法能夠便捷找到系統(tǒng)的各特征頻率，且各頻率幅值與真實情況較為接近。

表1 太陽輪不對中行星齒輪箱仿真模型參數(shù)

4 結(jié)語

本文提出了行星齒輪等效嚙合尺寸的表示方法，并基于其與隨動坐標(biāo)變換建立了一種行星齒輪箱動力學(xué)模型。對其進(jìn)行數(shù)值求解，并與實驗結(jié)果進(jìn)行比較，表明了該模型能夠較為準(zhǔn)確預(yù)測行星齒輪箱在太陽輪制造不對中時的振動特征頻率，該模型預(yù)測結(jié)果較為準(zhǔn)確，相比一般的有限元模型計算耗時短。該模型可用于行星齒輪箱的動力學(xué)分析與故障診斷。

圖2 動力學(xué)模型數(shù)值分析結(jié)果

圖3 行星齒輪箱實驗布置

圖4 齒輪箱外齒圈振動信號計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比