基于頻響函數(shù)綜合法的飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)擾動(dòng)力特性研究

劉奧林，賀曉東，華宏星，2，黃修長(zhǎng)，2

（1.上海交通大學(xué) 振動(dòng)沖擊噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200240）

飛輪系統(tǒng)是一種動(dòng)量交換裝置，一般由飛輪、軸承組件、殼體組成，由內(nèi)部無刷直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)，常用于航天器的姿態(tài)控制。飛輪也是航天器平臺(tái)振動(dòng)主要的擾動(dòng)源之一[1]。由于材料特性、機(jī)械設(shè)計(jì)、磨損或腐蝕不均勻以及加工和安裝誤差，飛輪質(zhì)量中心和旋轉(zhuǎn)中心不在同一軸線上，高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生除正常輸出力矩之外的低幅值、寬頻帶的擾動(dòng)力，激起飛輪系統(tǒng)的多階模態(tài)，對(duì)航天器的成像質(zhì)量、激光通信等產(chǎn)生重要影響[2]。隨著現(xiàn)代航天器向著輕量化、高轉(zhuǎn)速、大扭矩、高精度等方向發(fā)展，微振動(dòng)對(duì)在軌航天器的影響越來越大，因此有必要對(duì)飛輪的擾動(dòng)力特性加以研究。

在轉(zhuǎn)子-軸承-基礎(chǔ)的有限元建模的研究方面，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展多項(xiàng)工作。Kumar D[3-4]指出，對(duì)于復(fù)雜的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，傳統(tǒng)的一維梁?jiǎn)卧椒ň炔粔?，甚至二維軸對(duì)稱單元也不能很好捕捉其復(fù)雜的非均勻幾何特征。Jeon等[5]采用三維實(shí)體單元對(duì)渦輪泵的轉(zhuǎn)子-殼體耦合系統(tǒng)進(jìn)行了分析，并將結(jié)果與一維梁?jiǎn)卧Y(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明三維實(shí)體單元的結(jié)果更加精準(zhǔn)。因此，為了獲得足夠的精度，對(duì)復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮采用三維實(shí)體單元。在飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方面，目前的研究通常將飛輪等效為一個(gè)剛性圓盤。周偉勇[6]建立了飛輪-殼體的等效動(dòng)力學(xué)模型，考慮了不平衡質(zhì)量、結(jié)構(gòu)模態(tài)、軸承不規(guī)則、非線性剛度和寬帶隨機(jī)噪聲等因素，分析了各擾動(dòng)源對(duì)擾動(dòng)力特性的影響。研究結(jié)果表明，當(dāng)激勵(lì)中的諧波成分與飛輪的結(jié)構(gòu)模態(tài)互相作用時(shí)，會(huì)造成擾動(dòng)力的峰值突出。文中飛輪結(jié)構(gòu)等效為一個(gè)剛性圓盤，飛輪的結(jié)構(gòu)模態(tài)為圓盤支撐在軸承組件上的模態(tài)。關(guān)新[7]將飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、殼體、軸承作為獨(dú)立的因素，分析了幾種典型擾振源引起的擾動(dòng)力特性，將飛輪的擾動(dòng)力特性簡(jiǎn)化為由轉(zhuǎn)子和飛輪殼體的結(jié)構(gòu)模態(tài)引起的擾動(dòng)放大以及一系列與轉(zhuǎn)速有關(guān)的諧波載荷。

目前針對(duì)彈性基礎(chǔ)對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性影響的研究頗豐，但是針對(duì)飛輪彈性殼體的考慮仍不充分，并且由于飛輪的轉(zhuǎn)速高，陀螺效應(yīng)、應(yīng)力剛化的影響也不可忽略[8]。為提高計(jì)算效率，采用頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法對(duì)飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究。目前頻響函數(shù)法常用于對(duì)靜止部件的綜合[9]，沒有考慮轉(zhuǎn)動(dòng)部件的陀螺效應(yīng)等。

本文分別采用三維實(shí)體有限單元和頻響函數(shù)綜合法對(duì)飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進(jìn)行建模，獲得不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺效應(yīng)時(shí)有/無預(yù)應(yīng)力的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性以及單位簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的擾動(dòng)力特性。

1 飛輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)

如圖1所示為飛輪-軸承組件-殼體模型。飛輪系統(tǒng)工作時(shí)，飛輪、電機(jī)轉(zhuǎn)子和軸承外圈等部件發(fā)生旋轉(zhuǎn)，殼體，電機(jī)定子和軸承內(nèi)圈不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。軸承組件可等效為軸承質(zhì)量和軸承剛度?？紤]陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力時(shí)，飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)采用三維實(shí)體有限單元進(jìn)行建模，其動(dòng)力學(xué)方程為

其中：M、C和K是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u是節(jié)點(diǎn)位移；G是由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的“阻尼”矩陣，通常稱為陀螺矩陣；Ks是由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的應(yīng)力剛化矩陣；Ω為轉(zhuǎn)速；F為外力矢量。

建立固定坐標(biāo)系Oxyz，原點(diǎn)O位于旋轉(zhuǎn)軸上，z軸垂直向上并和旋轉(zhuǎn)軸心重合，殼體下表面固定。

圖1 飛輪-軸承組件-殼體模型及其有限元模型

為提高建模效率，采用頻響函數(shù)綜合子結(jié)構(gòu)方法對(duì)圖1所示的耦合系統(tǒng)進(jìn)行建模。飛輪和軸承組件（包括軸承剛度和軸承質(zhì)量）共同組成子結(jié)構(gòu)A，子結(jié)構(gòu)B由殼體構(gòu)成。子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B之間通過單根三向彈簧相連（模擬碟簧），該彈簧的剛度矩陣為KAB，阻尼矩陣為CAB。

子結(jié)構(gòu)A和B的頻響函數(shù)可以寫成

其中，上標(biāo)A和B表示子結(jié)構(gòu)A和B；下標(biāo)c表示連接點(diǎn)自由度，i表示內(nèi)部坐標(biāo)；x表示內(nèi)部感興趣點(diǎn)自由度（如激勵(lì)點(diǎn)、感興趣響應(yīng)點(diǎn)）；H表示頻響函數(shù)，f表示節(jié)點(diǎn)受力。由于發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，子結(jié)構(gòu)A頻響函數(shù)和轉(zhuǎn)速Ω有關(guān)，為求得其頻響函數(shù)矩陣，采用三維實(shí)體有限單元進(jìn)行建模，并分別在連接點(diǎn)自由度和內(nèi)部點(diǎn)自由度上施加單位力進(jìn)行響應(yīng)求解，以獲得其頻響函數(shù)矩陣中的某一行。對(duì)于殼體子結(jié)構(gòu)B，采用模態(tài)疊加法進(jìn)行求解（模態(tài)阻尼比取為0.001）。

子結(jié)構(gòu)A和B之間的彈簧采用阻抗矩陣進(jìn)行表示

其中：Z11、Z12、Z21、Z22為子矩陣，由KAB和CAB得到。根據(jù)頻響函數(shù)綜合，可得飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為

上式中，子結(jié)構(gòu)A的頻響函數(shù)已考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力影響。由于不平衡量只存在于子結(jié)構(gòu)A上，、和都為零，子結(jié)構(gòu)A上受力表達(dá)式為

其中：θ為轉(zhuǎn)子初始相位，將式(5)代入式(4)，可以得到響應(yīng)X。則傳遞到殼體的擾動(dòng)力可以表示為

2 數(shù)值模型計(jì)算

2.1 坎貝爾圖

在圖1中，軸承沿Ox、Oy和Oz方向的線性剛度分別為5.4×107N/m、5.4×107N/m和1.8×107N/m。碟簧沿Ox、Oy和Oz方向的圓盤彈簧的線性剛度分別為1.1×109N/m、1.1×109N/m和1.1×108N/m。飛輪的材料為鋼，材料參數(shù)如下：密度為7827.08 kg/m3，彈性模量為 199948×106N/m2，泊松比為0.27。殼體的材料為鋁，材料參數(shù)如下：密度為2793.55 kg/m3，彈性模量為73084.4×106N/m2，泊松比為0.33。軸承質(zhì)量為0.65 kg。針對(duì)圖1模型，求解不考慮/考慮陀螺效應(yīng)時(shí)不同轉(zhuǎn)速下有/無預(yù)應(yīng)力的模態(tài)，得到不同條件下的坎貝爾圖如圖2和圖3所示。

圖中橫坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)速，縱坐標(biāo)表示頻率，每條曲線對(duì)應(yīng)各階模態(tài)頻率在不同轉(zhuǎn)速下的變化；過零點(diǎn)斜率為1/60的直線為轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的頻率，即轉(zhuǎn)頻。

據(jù)圖2可知，不考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力時(shí)，飛輪的坎貝爾圖是一些平行的直線，模態(tài)頻率不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生改變；考慮預(yù)應(yīng)力時(shí)，模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速升高略微上升，但變化幅度不大。這是因?yàn)榭紤]預(yù)應(yīng)力時(shí)，由于應(yīng)力剛化的作用，結(jié)構(gòu)的剛度有所增加，預(yù)應(yīng)力的存在會(huì)對(duì)飛輪系統(tǒng)模態(tài)頻率造成影響。

圖2 不考慮陀螺效應(yīng)時(shí)飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

圖3 考慮陀螺效應(yīng)時(shí)飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

對(duì)比考慮陀螺效應(yīng)時(shí)無/有預(yù)應(yīng)力下的飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖，可以發(fā)現(xiàn)部分模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速的升高而升高或降低，查看模態(tài)振型可知，這些隨轉(zhuǎn)速升高發(fā)生變化的頻率均出現(xiàn)在轉(zhuǎn)動(dòng)部件飛輪上；而靜止部件殼體的頻率幾乎不隨飛輪轉(zhuǎn)速的升高而發(fā)生改變，且在有預(yù)應(yīng)力的情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)部件對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)頻率普遍有所增大。另外，飛輪系統(tǒng)的第一階臨界轉(zhuǎn)速由于考慮預(yù)應(yīng)力而出現(xiàn)上升，因此在對(duì)飛輪系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，有必要在飛輪系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)頻率附近進(jìn)行更細(xì)致分析。從圖2和圖3可知，陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力對(duì)飛輪模態(tài)的影響不容忽視。

2.2 模態(tài)振型

圖4為考慮陀螺效應(yīng)且有預(yù)應(yīng)力時(shí)3000 r/min工況下1000 Hz以內(nèi)的典型模態(tài)振型。殼體設(shè)置為半透明以便于觀察飛輪在殼體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，結(jié)果表明，100.18 Hz和192.11 Hz時(shí)為飛輪沿徑向的翻轉(zhuǎn)模態(tài)，105.68 Hz時(shí)為飛輪繞軸向的旋轉(zhuǎn)模態(tài)，212.38Hz時(shí)為飛輪沿軸向的上下拍打模態(tài)，313.88 Hz和535.77 Hz對(duì)應(yīng)殼體的彈性變形，382.77 Hz對(duì)應(yīng)飛輪扭轉(zhuǎn)和徑向的耦合變形，873.11 Hz時(shí)為輪轂沿軸向的上下振動(dòng)模態(tài)。從以上結(jié)果可知，飛輪的模態(tài)包括剛體模態(tài)、彈性模態(tài)、飛輪與軸承和殼體互相作用時(shí)的耦合模態(tài)。

2.3 傳遞力結(jié)果

在飛輪輪緣處施加了一沿著Ox方向的徑向單位簡(jiǎn)諧力，求解單位簡(jiǎn)諧力作用下傳遞給殼體的擾動(dòng)力大小，擾動(dòng)力分解為在xOy平面內(nèi)的徑向力（為沿著Ox方向和沿著Oy方向的擾動(dòng)力平方和開根號(hào)）和軸向的擾動(dòng)力。頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法和有限元法求得的考慮陀螺效應(yīng)且有預(yù)應(yīng)力時(shí)的結(jié)果如圖5所示。

可見，在0和3000 r/min時(shí)，頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法結(jié)果和有限元法的結(jié)果一致，所建立的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法可用于求解不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺力矩時(shí)的子結(jié)構(gòu)和靜止子結(jié)構(gòu)的綜合，所得結(jié)果中考慮了陀螺效應(yīng)的影響。該子結(jié)構(gòu)方法可應(yīng)用于壓氣機(jī)多級(jí)葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-軸承-機(jī)匣的整機(jī)動(dòng)力學(xué)建模。

圖4 考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力時(shí)3000 r/min工況下飛輪-軸承-殼體典型模態(tài)振型圖

圖5 基于有限元法和頻響子結(jié)構(gòu)綜合法的傳遞力計(jì)算結(jié)果

不同轉(zhuǎn)速工況下徑向力和軸向力的結(jié)果如圖6所示?？梢?，考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力時(shí)，徑向方向的響應(yīng)大于軸向方向的響應(yīng)。徑向方向上，不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的模態(tài)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也不隨轉(zhuǎn)速變化，而隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的模態(tài)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也隨轉(zhuǎn)速升高發(fā)生變化。軸向方向上的響應(yīng)和徑向方向類似。以有預(yù)應(yīng)力時(shí)3000 r/min工況下的擾動(dòng)力結(jié)果為例，參考圖4中模態(tài)可知，100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz對(duì)應(yīng)的模態(tài)在徑向和軸向都有較為明顯的擾動(dòng)力輸出，其中徑向的響應(yīng)遠(yuǎn)大于軸向，說明在對(duì)應(yīng)頻率處擾動(dòng)力主要沿徑向傳遞。在212.38 Hz和873.11 Hz處，擾動(dòng)力在軸向有明顯的峰值，但是在徑向方向沒有出現(xiàn)，說明飛輪以軸向振動(dòng)為主的模態(tài)會(huì)在軸向上產(chǎn)生較大的擾動(dòng)力，但是對(duì)徑向上的擾動(dòng)力貢獻(xiàn)不大。313.88 Hz和535.77 Hz處是殼體的模態(tài)，對(duì)于目前的模型，對(duì)徑向和軸向方向上的擾動(dòng)力影響小。382.77 Hz等對(duì)應(yīng)的模態(tài)是輪體的彈性變形，其在擾動(dòng)力上的傳遞特征類似于100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz，即擾動(dòng)力的峰值主要沿著徑向傳遞。

當(dāng)飛輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不平衡質(zhì)量激勵(lì)，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動(dòng)力會(huì)被放大。因此，需要對(duì)考慮預(yù)應(yīng)力影響的模態(tài)頻率進(jìn)行精確估計(jì)，以檢查模態(tài)頻率與激勵(lì)頻率之間的重疊。

圖6 不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力的擾動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)語

建立了飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的三維實(shí)體有限元模型和子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，獲得了飛輪系統(tǒng)在考慮陀螺效應(yīng)時(shí)不同轉(zhuǎn)速工況下有/無預(yù)應(yīng)力的模態(tài)結(jié)果和擾動(dòng)力計(jì)算結(jié)果，得到了以下結(jié)論：

(1)考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力時(shí)，隨著飛輪轉(zhuǎn)速的增加，模態(tài)頻率會(huì)出現(xiàn)一定的上升，且陀螺效應(yīng)對(duì)模態(tài)特性的影響要大于預(yù)應(yīng)力。

(2)擾動(dòng)力結(jié)果對(duì)應(yīng)的峰值既包括不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的飛輪軸向振動(dòng)模態(tài)和殼體模態(tài)，也包含隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的飛輪徑向振動(dòng)模態(tài)。飛輪徑向振動(dòng)模態(tài)對(duì)飛輪徑向擾動(dòng)力影響顯著，飛輪以軸向變形為主的模態(tài)對(duì)軸向擾動(dòng)力影響顯著。當(dāng)飛輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不平衡質(zhì)量激勵(lì)，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動(dòng)力會(huì)被放大。

(3)所提出的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法既能對(duì)靜止部件進(jìn)行綜合，也能在考慮陀螺效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力情況下對(duì)不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)部件進(jìn)行綜合。該子結(jié)構(gòu)綜合方法可應(yīng)用于壓氣機(jī)多級(jí)葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-軸承-機(jī)匣的整機(jī)動(dòng)力學(xué)建模。