壓縮感知波束形成算法性能分析

魏 娟，孫 健，邵 丁，閆 豪，李爭(zhēng)光

（1.西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710054；2.寶雞吉利發(fā)動(dòng)機(jī)零部件有限公司，陜西 寶雞 721000）

波束形成聲源識(shí)別技術(shù)由于具有測(cè)量速度快、計(jì)算效率高、中高頻分辨率好、適宜中長(zhǎng)距離測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用到航空、列車(chē)、汽車(chē)等領(lǐng)域[1]。延時(shí)求和[2-4]、互譜成像函數(shù)[5-6]等傳統(tǒng)波束形成(Conventional beamforming，CB)算法雖然具有計(jì)算速度快、測(cè)量距離遠(yuǎn)、易于布置等優(yōu)點(diǎn)，但其“主瓣”過(guò)寬造成空間定位精度低，“旁瓣”既高又多導(dǎo)致出現(xiàn)許多“鬼影”聲源，因而限制其進(jìn)一步的應(yīng)用[7]。因此，各種提高波束形成算法識(shí)別效果的改進(jìn)方法應(yīng)運(yùn)而生。

褚志剛[7]提出奇異值分解波束形成聲源識(shí)別方法，突破了主聲源最大旁瓣水平的限制，提高了識(shí)別次聲源的準(zhǔn)確度，進(jìn)行了汽車(chē)前圍板隔聲實(shí)驗(yàn)；隨后基于傳統(tǒng)波數(shù)形成及矩陣特征值分解理論，提出函數(shù)波束形成方法，提高了識(shí)別分辨率，并且能夠清晰地識(shí)別弱源，提出指數(shù)一般取為16的建議；黎術(shù)[8]提出了函數(shù)廣義逆波束形成方法，在準(zhǔn)確識(shí)別聲源強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加階次，成倍提高了算法抑制旁瓣能力；陳思[9]基于高階矩陣函數(shù)提出了廣義逆波束形成的改進(jìn)算法，得到了階次的最優(yōu)區(qū)間，具有更高的聲源識(shí)別精度。

壓縮感知是近年來(lái)極為熱門(mén)的研究前沿，在若干應(yīng)用領(lǐng)域中都引起矚目。其采用隨機(jī)抽樣的方式完成對(duì)目標(biāo)信號(hào)的重建，打破了奈奎斯特抽樣定理的限制，大大提高了信號(hào)處理速度。為了進(jìn)一步提高波束形成算法的識(shí)別精度，降低算法的運(yùn)行時(shí)間，將壓縮感知的信號(hào)重構(gòu)算法引入到波束形成中，提出了一種基于貪婪算法的壓縮感知波束形成算法。通過(guò)數(shù)值仿真分析，分別以單極子和相干聲源作為研究對(duì)象，運(yùn)用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了壓縮感知波束形成算法的正確性。

1 基本原理

壓縮感知的理論主要由以下3部分構(gòu)成：一是可壓縮信號(hào)的稀疏表示，二是觀測(cè)矩陣的構(gòu)建，三是信號(hào)重構(gòu)算法。

信號(hào)的稀疏表示就是將信號(hào)投影到正交變換基時(shí)，絕大部分變換系數(shù)的絕對(duì)值很小，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，可以將其看作原始信號(hào)的一種簡(jiǎn)潔表達(dá)，這是壓縮傳感的先驗(yàn)條件，即信號(hào)必須在某種變換下可以稀疏表示，通常變換基可以根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn)靈活選取，常用的有離散余弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor基以及冗余字典等。

壓縮感知中常用的測(cè)量矩陣有隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣，隨機(jī)伯努利測(cè)量矩陣，部分哈達(dá)瑪測(cè)量矩陣，部分傅里葉測(cè)量矩陣，稀疏隨機(jī)測(cè)量矩陣等，這些矩陣都需要滿(mǎn)足有限等距性（Restricted Isometry Property，RIP）。

壓縮感知的重構(gòu)算法很多，其中正交匹配追蹤（OMP）算法被廣泛使用?；趬嚎s感知OMP算法對(duì)波束形成算法進(jìn)行改進(jìn)，使其在分辨率與運(yùn)行時(shí)間上有較大改善。

2 模型分析

如圖1所示，將空間聲源面分成N份，在其上分布著K個(gè)同頻相干聲源，其位置坐標(biāo)為Sn（xn，yn，zn），在測(cè)量面上分布著M個(gè)均勻分布的傳聲器陣列。

聲源信號(hào)是自然空間稀疏信號(hào)，將信號(hào)與其空間所在位置一一對(duì)應(yīng)，傳聲器陣列接收信號(hào)并重構(gòu)聲源發(fā)射信號(hào)，為聲源定位提供基礎(chǔ)。

圖1 聲源測(cè)量模型

2.1數(shù)學(xué)模型

給定具有M個(gè)傳聲器組成的測(cè)量陣列，輸出y=(y1…yi…yM)T∈RM×1，(·)T代表轉(zhuǎn)置，對(duì)于在空間中傳播的聲源信號(hào)用x(t)∈R1表示，根據(jù)相關(guān)格林函數(shù)，波束形成的輸出為

r是聲源到傳聲器的距離，r?RM×1;t是聲音傳播時(shí)間，τ是相應(yīng)的傳播時(shí)間時(shí)延。

在實(shí)際應(yīng)用中，波束形成一般在頻域內(nèi)進(jìn)行，式（1）相應(yīng)的頻域方程為

對(duì)于具有多個(gè)信號(hào)和受測(cè)量噪聲影響的問(wèn)題，情況變得更加復(fù)雜，數(shù)組輸出以標(biāo)量形式表示為

其中：Aik表示第i號(hào)傳聲器與第k個(gè)信號(hào)之間的導(dǎo)向矢量，Xi表示第i個(gè)信號(hào)，Ni表示第i號(hào)傳聲器總的測(cè)量噪聲包含了數(shù)據(jù)采集期間的背景干擾和電子噪聲。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，方程式（4）可以寫(xiě)成

A為M×N維感知矩陣，n為傳聲器陣列接收的噪聲信號(hào)，該模型描述的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是利用已經(jīng)獲知的感知矩陣A和傳聲器測(cè)量的信號(hào)y來(lái)重構(gòu)稀疏信號(hào)x的過(guò)程。

2.2 OMP算法流程

輸入為：

（1）M×N的傳感矩陣A=Φψ；

（2）N×1維觀測(cè)向量y；

（3）信號(hào)的稀疏度K。

輸出為：

OMP算法流程為

（2）找到索引λi，使得

（4） 求y=Aiθi的 最 小 二 乘 解

（3）令∧i=∧i-1∪λi,Ai=Ai-1∪aλ；

（6）t=t+1，如果t≤K則返回第(2)步，否則停止迭代進(jìn)入第(7)步；

（7）重構(gòu)所得在∧i處有非零項(xiàng)，其值分別為最后一次迭代所得

其中：ri表示殘差，t表示迭代次數(shù)，Φ表示空集，∧i表示t此迭代的索引集合，λi表示第t次迭代找到的索引，aj表示矩陣A的第j列，Ai表示按索引∧i選出的矩陣A的列集合，θi為t×1的列向量，符號(hào)∪表示并集，表示向量?jī)?nèi)積。

信號(hào)的稀疏度可由下式得出

2.3 OMP算法的信號(hào)重建

以一維信號(hào)為例驗(yàn)證OMP算法的重建效果。假設(shè)稀疏信號(hào)x長(zhǎng)度N=256，觀測(cè)值個(gè)數(shù)M=64，取稀疏度K=10，取滿(mǎn)足有限等距性的隨機(jī)高斯矩陣為測(cè)量矩陣Φ，取單位矩陣為稀疏矩陣，利用MATLAB得到的恢復(fù)信號(hào)如圖2所示。

圖2 OMP算法信號(hào)恢復(fù)圖

恢復(fù)殘差為4.3963×10-15，可以證明OMP算法可以完美恢復(fù)原始信號(hào)。

3 數(shù)值仿真分析

將測(cè)量平面離散成點(diǎn)間距為0.025 m大小的離散平面，每個(gè)離散點(diǎn)均為壓縮感知波束形成的聚焦點(diǎn)，在聲源平面任意位置上布置單極子聲源，與測(cè)量面的距離為1 m，單極子聲源輻射聲壓為30 Pa，頻率為2000 Hz。在測(cè)量面上布置7×7的正方形傳聲器陣列，間距為0.1 m，利用壓縮感知波束形成方法和函數(shù)波束形成方法進(jìn)行聲源識(shí)別成像仿真對(duì)比。

3.1 單極子聲源

在聲源平面上布置單極子聲源，位置坐標(biāo)為（0 m，0 m，1 m），分別運(yùn)用壓縮感知波束形成方法和函數(shù)波束形成方法進(jìn)行聲源成像，結(jié)果如圖3至圖6所示。

圖3 函數(shù)波束形成二維識(shí)別圖

圖4 函數(shù)波束形成三維識(shí)別圖

圖5 壓縮感知波束形成二維識(shí)別圖

圖6 壓縮感知波束形成三維識(shí)別圖

函數(shù)波束形成的運(yùn)行階次取16。仿真結(jié)果表明，壓縮感知波束形成方法在識(shí)別聲源的精度上和對(duì)于旁瓣的抑制上都優(yōu)于函數(shù)波束形成算法。

壓縮感知波束形成方法和函數(shù)波束形成方法對(duì)于單極子聲源的運(yùn)行時(shí)間如表1所示。

表1 單極子聲源兩種算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比/秒

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以得到，對(duì)于單極子聲源的識(shí)別，壓縮感知波束形成方法的運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)小于函數(shù)波束形成運(yùn)行時(shí)間。

3.2 相干聲源

在聲源平面上布置兩個(gè)相干聲源，位置坐標(biāo)分別為（-0.3 m、0 m、1 m）和（0.3 m、0 m、1 m），分別運(yùn)用壓縮感知波束形成方法和函數(shù)波束形成方法進(jìn)行聲源成像，結(jié)果如圖7至圖10所示。

函數(shù)波束形成的運(yùn)行階次取16。仿真結(jié)果表明，壓縮感知波束形成方法在識(shí)別聲源的精度上和對(duì)于旁瓣的抑制上都優(yōu)于函數(shù)波束形成算法。

壓縮感知波束形成方法和函數(shù)波束形成方法對(duì)于相干聲源的運(yùn)行時(shí)間如表2所示。

表2 相干聲源2種算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比/秒

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以得到，對(duì)于單極子聲源的識(shí)別，壓縮感知波束形成方法的運(yùn)行時(shí)間遠(yuǎn)小于函數(shù)波束形成運(yùn)行時(shí)間。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）本文將壓縮感知中貪婪算法與波束形成方法相結(jié)合，提出了一種壓縮感知波束形成方法，通過(guò)理論分析，探究了對(duì)于單極子聲源和相干聲源壓縮感知波束形成算法對(duì)聲源的識(shí)別效果。

圖7 函數(shù)波束形成二維識(shí)別圖

圖8 函數(shù)波束形成三維識(shí)別圖

圖9 壓縮感知波束形成二維識(shí)別圖

圖10 壓縮感知波束形成三維識(shí)別圖

（2）對(duì)比壓縮感知波束形成方法與函數(shù)波束形成方法，數(shù)值仿真結(jié)果表明壓縮感知波束形成方法在聲源識(shí)別的準(zhǔn)確度、對(duì)于旁瓣的抑制能力和識(shí)別時(shí)間方面具有更優(yōu)越的性能。