薄板結(jié)構(gòu)中聲場(chǎng)的計(jì)算研究

吳 沖，王子成

(1.中國(guó)科學(xué)院 武漢物理與數(shù)學(xué)研究所，武漢 430071；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 3.武漢中科創(chuàng)新技術(shù)股份有限公司，武漢 430206)

板型構(gòu)件尤其是厚度在6 mm以下的薄板件，無(wú)論是在航空航天工業(yè)、汽車工業(yè)、船舶工業(yè)還是在壓力鍋爐、大型化工容器方面均有廣泛應(yīng)用[1]。平板結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)問(wèn)題一直是工業(yè)上研究的熱點(diǎn)，然而通常對(duì)于其是否健康的判定都需要借助相關(guān)無(wú)損檢測(cè)儀器與專用的檢測(cè)技術(shù)。如果基于實(shí)際試驗(yàn)進(jìn)行開(kāi)發(fā)，通常成本較高且對(duì)于材料及研究經(jīng)費(fèi)都會(huì)造成一定的浪費(fèi)。采用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)模擬檢測(cè)過(guò)程，一方面可以對(duì)于上述問(wèn)題進(jìn)行較深入的分析研究，從而找到最佳檢測(cè)方法，另一方面還能與已有檢測(cè)設(shè)備的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，提高改善設(shè)備的檢測(cè)性能。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于超聲檢測(cè)模擬仿真軟件的開(kāi)發(fā)都已進(jìn)行一定的研究[2]，國(guó)內(nèi)主要基于聲線方法的超聲檢測(cè)仿真軟件進(jìn)行開(kāi)發(fā)研究[3]。對(duì)于聲場(chǎng)模型的建立與軟件開(kāi)發(fā)研究還相對(duì)較少。

理解其相關(guān)理論算法基礎(chǔ)對(duì)于相應(yīng)軟件的開(kāi)發(fā)工作尤為重要。數(shù)值模擬法可應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)中超聲波傳播特性的研究，并在某種程度上驗(yàn)證理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果，是超聲無(wú)損檢測(cè)技術(shù)重要的驗(yàn)證手段[4]。

本文選取應(yīng)用較廣泛的平板結(jié)構(gòu)即薄板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)有限差分法并利用MATLAB數(shù)值分析軟件模擬薄板中聲場(chǎng)的傳播情況。這有助于深入理解二維波動(dòng)方程以及有限差分法在聲波傳播中的應(yīng)用。

1 薄板二維空間質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

1.1 應(yīng)變

圖1各向同性彈性固體介質(zhì)中的兩點(diǎn)A和B，坐標(biāo)分別為xi和xi+dxi。它們的位移分別為ui和ui+dui，B相對(duì)于A的位移是dui，在A、B十分接近時(shí)為[5-6]

圖1 相對(duì)位移圖

任何剛性的移動(dòng)不改變介質(zhì)中任意線段的長(zhǎng)度，而形變時(shí)總有一些線段的長(zhǎng)度會(huì)改變，因此可以把位移產(chǎn)生前后線段長(zhǎng)度的平方差作為形變的度量，因此由式(1)得到

式中：ηjk為有限應(yīng)變分量，且ηjk為

通常聲波引起的質(zhì)點(diǎn)位移及其導(dǎo)數(shù)比較小，忽略式(3)的高階量得到無(wú)限小應(yīng)變分量

1.2 波動(dòng)方程

假設(shè)薄板結(jié)構(gòu)A、A′之間為質(zhì)點(diǎn)位移，如圖2所示，由式(4)得到薄板的應(yīng)變量分量

圖2 薄板結(jié)構(gòu)圖

式中：εij為應(yīng)變，ui為質(zhì)點(diǎn)位移。由于研究對(duì)象為薄板即板厚趨于零，因此得到εyz=0；εzx=0。

由各向同性介質(zhì)的廣義胡克定理，得到薄板各方向的應(yīng)力張量[5]

式中：σij為應(yīng)力，λ、μ為拉密系數(shù)。

平面應(yīng)變情況下，薄板的邊界條件為

由式(6)中第3行

由式(7)得到板厚應(yīng)變和板內(nèi)應(yīng)變的關(guān)系

由x方向運(yùn)動(dòng)方程，應(yīng)力梯度和外力使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生加速度

式中：fx為單位面積元的激勵(lì)即外力分量，T為薄壁板厚度。

聯(lián)立式(5)至式(9)得x方向的運(yùn)動(dòng)方程為

同理，可得到y(tǒng)方向的運(yùn)動(dòng)方程為

2 有限差分法

有限差分法用于求解由偏微分方程或積分方程描述的物理科學(xué)各學(xué)科的復(fù)雜問(wèn)題。有限元法的一個(gè)特點(diǎn)是將被分析區(qū)域離散為一定數(shù)量的較小的子區(qū)域，稱為有限元，在其中尋求由均勻間距節(jié)點(diǎn)上的多項(xiàng)式近似描述的解[7]。

差分方程可以看做是原始方程按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的有限項(xiàng)近似[8]。根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)不停近似的截取方式，差分格式可以分為3種格式

Lax-Friedriches格式。

Leap-Forg格式。

Crank-Nicholoson格式。

式中：Δt、Δh分別為時(shí)間步長(zhǎng)、空間步長(zhǎng)。

方程等號(hào)兩邊的差分在空間和時(shí)間上都應(yīng)該取在相同的離散點(diǎn)上，才能確定計(jì)算中不發(fā)散[9]。分析上述3種格式，只有式(13)符合條件。

3 數(shù)值仿真

3.1 仿真對(duì)象相關(guān)參數(shù)

激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)為[10-11]

式中：A為激勵(lì)信號(hào)幅值，H(t)為階躍函數(shù)，fc為中心頻率，N為波峰數(shù)，w=2πfc。

加載信號(hào)以加載力的方式進(jìn)行，幅值大小為200 N，以中心頻率70 kHz為例，得到如圖3所示的激勵(lì)信號(hào)在時(shí)域中的波形圖。

圖3 激勵(lì)信號(hào)波形圖

本次仿真選用材料為鋼材，其密度ρ=7.8×103kg∕m3，縱波速度為cL=5.4 × 103m∕s，橫波速度為cT=3.2×103m∕s。板材結(jié)構(gòu)如圖2所示，為周長(zhǎng)等于200 mm的正方形薄板。

3.2 波動(dòng)方程有限差分

將式(10)按差分格式(13)進(jìn)行有限差分，其模型見(jiàn)圖3。從圖中可看出，該波動(dòng)方程有限差分化簡(jiǎn)后在時(shí)間上取5層，在二維空間上對(duì)各座標(biāo)軸也分別取5個(gè)離散點(diǎn)。得到x方向驅(qū)動(dòng)時(shí)波動(dòng)方程的差分格式

圖4 ux波動(dòng)方程模型

采用同樣方法可得到y(tǒng)方向分量振動(dòng)時(shí)波動(dòng)方程的差分格式。

為保證計(jì)算結(jié)果的精確度，有限元模型的空間步長(zhǎng)、時(shí)間步長(zhǎng)應(yīng)分別滿足[12]

式中：λmin為介質(zhì)傳播的所有波種最小波長(zhǎng)，Δs為最小單元邊長(zhǎng)，c為介質(zhì)中的波速。本次實(shí)驗(yàn)中網(wǎng)格尺寸為2 mm，時(shí)間步長(zhǎng)0.3μs。

3.3 結(jié)果分析

基于以上理論基礎(chǔ)，運(yùn)用matlab數(shù)值模擬仿真軟件編程，得到混合驅(qū)動(dòng)時(shí)聲場(chǎng)傳播情況、x方向振動(dòng)分量聲場(chǎng)傳播情況以及y方向振動(dòng)分量聲場(chǎng)傳播情況，聲波聲場(chǎng)圖為振動(dòng)聲場(chǎng)，圖5至圖7分別為20 μs時(shí)對(duì)應(yīng)的聲場(chǎng)快照?qǐng)D。

通過(guò)聲場(chǎng)快照?qǐng)D，首先可較清晰地看到薄板結(jié)構(gòu)中縱波(CL)傳播方向與偏振方向平行、橫波(CT)傳播方向與偏振方向垂直的現(xiàn)象，如圖6、圖7所示；其次，可明顯觀察到激勵(lì)信號(hào)在薄板中同時(shí)產(chǎn)生不同方向的傳播分量，并且在時(shí)間為20μs時(shí)可明顯看出縱波已經(jīng)出現(xiàn)了反射疊加聲場(chǎng)的變化情況，如圖5所示。仿真結(jié)果基本符合實(shí)際固體中的聲場(chǎng)傳播情況，聲場(chǎng)的分布情況也與文獻(xiàn)[13] 中用光彈法所測(cè)得的聲場(chǎng)分布情況基本一致。

圖5 聲波聲場(chǎng)模擬圖

圖6 x方向振動(dòng)分量聲場(chǎng)模擬圖

圖7 y方向振動(dòng)分量聲場(chǎng)模擬圖

4 結(jié)語(yǔ)

直接利用相關(guān)波動(dòng)方程分析對(duì)聲場(chǎng)欠缺實(shí)質(zhì)性的理解，不同于已有的研究[3,12,14-15]，本文通過(guò)薄板的應(yīng)變、應(yīng)力得到各方向波動(dòng)方程，然后借助有限差分法對(duì)x、y方向的波動(dòng)方程進(jìn)行有限差分，最后對(duì)聲場(chǎng)分別進(jìn)行數(shù)值仿真模擬，并通過(guò)對(duì)比分析可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際基本相符。又根據(jù)文獻(xiàn)可知，當(dāng)薄壁管半徑與管厚滿足時(shí)，管材可近似按同厚度薄板進(jìn)行導(dǎo)波分析[16]。因此該算法研究對(duì)薄壁管導(dǎo)波模擬仿真軟件的開(kāi)發(fā)具有重要的理論參考價(jià)值。