一類多能級(jí)Rosen-Zener模型的精確解

姚紹武 曹洪2) 岑理相?

1)(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,理論物理中心,成都 610065)

2)(重慶交通大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 400074)

1 引 言

含時(shí)外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子體系是一類非自治量子系統(tǒng),其研究近年來(lái)受到較多關(guān)注.研究興趣主要源于兩方面的原因,一是非自治系統(tǒng)的可解性或可積性本身是一個(gè)值得探討的課題.例如,若一個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量顯含時(shí)間,其薛定諤方程一般不具有定態(tài)解.但如果該系統(tǒng)具有動(dòng)力學(xué)不變量(也稱Lewis不變量[1,2]),則系統(tǒng)仍將有解析解,且解與定態(tài)解可作類比.另一方面的原因,是近年來(lái)量子調(diào)控與量子信息科學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展,促進(jìn)了人們對(duì)含時(shí)驅(qū)動(dòng)體系精確解以及以此為基礎(chǔ)的非絕熱調(diào)控技術(shù)的研究.這方面研究近期取得不少有意義的進(jìn)展,例如,借用輔助外場(chǎng)實(shí)現(xiàn)的無(wú)躍遷算法[3]、超絕熱協(xié)議[4?6]來(lái)完成量子態(tài)的非絕熱調(diào)控.相似的研究思路早前曾在不同場(chǎng)合被提出[7],近年來(lái)這一調(diào)控方法更是在多個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中得以實(shí)現(xiàn)和檢驗(yàn)[6,8?10].此外,相關(guān)研究還包括一些新穎的原子布居數(shù)轉(zhuǎn)移非絕熱方案[11?13]、基于逆向求解微分方程實(shí)現(xiàn)解析調(diào)控等[14,15].

二能級(jí)系統(tǒng)的含時(shí)驅(qū)動(dòng)體系常被稱為最簡(jiǎn)單的非平庸量子體系,長(zhǎng)期以來(lái)都是人們研究的對(duì)象.早期提出的一些二能級(jí)驅(qū)動(dòng)模型,例如Landau-Zener模型[16,17]、Rosen-Zener模型[18]、Rabi模型[19,20]等,至今仍受到持續(xù)關(guān)注.Landau-Zener模型表征典型的能級(jí)免交叉動(dòng)力學(xué),由于其線性驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的簡(jiǎn)單特性,成為目前量子調(diào)控特別是量子態(tài)轉(zhuǎn)移的熱門方案,其可行性在眾多實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中得以研究和檢驗(yàn)[21?24],可謂歷久彌新.與Landau-Zener模型不同,Rosen-Zener模型中系統(tǒng)裸能級(jí)差固定而能級(jí)間的耦合隨外場(chǎng)可調(diào),其最初被提出用以研究旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中兩能級(jí)原子雙斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象[18].多年來(lái)對(duì)這類驅(qū)動(dòng)模型及其變形方案的研究也從未中斷,除了最初提出的雙曲正割型,涉及的兩能級(jí)耦合形式還包括高斯型[25]、指數(shù)型[26]及雙曲正切型[27]等.此外Rosen-Zener驅(qū)動(dòng)在非線性體系中的研究也得到一定關(guān)注[28,29].

本文研究一類特殊的Rosen-Zener模型及其多能級(jí)模型的精確解.以往文獻(xiàn)求解這類體系主要限于二能級(jí)模型,常用方法是將系統(tǒng)薛定諤方程升階為二階常微分方程進(jìn)而轉(zhuǎn)化為超幾何方程,然后根據(jù)超幾何函數(shù)研究其演化性質(zhì).本文發(fā)現(xiàn)在特殊的頻率參數(shù)條件下這類模型可以利用代數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)變換(也稱代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法[30?32])予以解析求解,其解可以用初等函數(shù)表示.后文將詳細(xì)闡明這一模型的動(dòng)力學(xué)演化,包括系統(tǒng)的布居數(shù)轉(zhuǎn)移、非絕熱效應(yīng)以及其多能級(jí)推廣系統(tǒng)的解析解與非絕熱動(dòng)力學(xué)行為.另外,本文也會(huì)討論系統(tǒng)的Lewis動(dòng)力學(xué)不變量、系統(tǒng)的對(duì)偶模型及其可解性.

2 二能級(jí)Rosen-Zener模型的精確求解

2.1 原有方法回顧

考慮如下的二能級(jí)系統(tǒng)哈密頓量:

其中V(t)描述橫向磁場(chǎng),e為正常數(shù),描述裸原子能級(jí).原則上,形為(1)式的哈密頓量其薛定諤方程可以通過(guò)如下過(guò)程化為二階常微分方程.設(shè)系統(tǒng)波函數(shù)為 |ψ(t)=c1(t)e?iεt|↑+c2(t)eiεt|↓,其中c1(t)與c2(t)為待定系數(shù).將其代入薛定諤方程(令 ?=1):

容易得系數(shù)c1,2(t)滿足如下方程:

對(duì)方程(3)式再做微分并將(4)式代入,可得:

上述方程容易轉(zhuǎn)化為超幾何方程從而可以得到超幾何函數(shù)解.值得指出,利用上述方法求解二能級(jí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有過(guò)大量研究,包括熟知的Landau-Zener模型、Allen-Eberly模型[33]以及近來(lái)的研究工作如Rosen-Zener-Demkov模型[26]、雙曲正切模型[27]及Sech-Tanh模型[34,35]等.當(dāng)V(t)取雙曲正割形式即V(t)=νsech(t/τ)時(shí),系統(tǒng)的解最早由Rosen和Zener[18]給出.雖然這種情況利用超幾何函數(shù)不能給出任意時(shí)刻c1(t)的初等函數(shù)解,但是對(duì)于全時(shí)段演化,設(shè)若t→?∞系統(tǒng)處在 |↑狀態(tài),即 |c1(?∞)|=1與c2(?∞)=0 ,則可求得t→+∞時(shí)系統(tǒng)的躍遷幾率為

2.2 正則變換方法求解二能級(jí)Rosen-Zener模型

一般而言,上述將薛定諤方程升階為高階常微分方程的方法不便向多能級(jí)系統(tǒng)推廣.以下考慮一類特殊Rosen-Zener模型,研究發(fā)現(xiàn)其可以利用正則變換方法嚴(yán)格解析求解.后文會(huì)將這類模型推廣到多能級(jí)系統(tǒng)并證明其亦可解析求解.這類模型的哈密頓量為

與原Rosen-Zener模型一樣,這里的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)取雙曲正割型,但要求場(chǎng)強(qiáng)與頻率滿足ν=2ε及ντ=1(實(shí)為ντ=?),模型由單一頻率參數(shù)ν描述.現(xiàn)對(duì)該模型進(jìn)行求解.同樣設(shè)該兩能級(jí)系統(tǒng)波函數(shù)的一般形式為 |ψ(t)=c1(t)|↑+c2(t)|↓,其中待定系數(shù)c1(t)與c2(t)須滿足歸一化條件|c1(t)|2+|c2(t)|2=1.依據(jù)薛定諤方程(2)式,有

通過(guò)如下變換

可以得到

也就是說(shuō),在變換后的新表象中,d1(t)和d2(t)所滿足的方程組已經(jīng)退耦合.可以稱方程(10)式和(11)式所描述的變換為正則變換或規(guī)范變換.該變換是幺正的,變換后d1(t)和d2(t)亦滿足|d1(t)|2+|d2(t)|2=1.上述方程組的解從而可以表示為d1(t)=μ1e?iνt/2,d2(t)=μ2eiνt/2,其中μ1,2由系統(tǒng)初始條件決定.分別取μ1=1 ,μ2=0 或μ1=0 ,μ2=1,并將得到的d1(t)和d2(t)代入方程(10)式和(11)式中,即可得到滿足系統(tǒng)薛定諤方程的兩個(gè)特解,亦即系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)基矢:

如果初始時(shí)刻t→?∞系統(tǒng)處在 |↑態(tài)上,隨時(shí)間演化系統(tǒng)狀態(tài)將由基矢決定.演化過(guò)程中系統(tǒng)向 |↓狀態(tài)躍遷的幾率為

在t→+∞時(shí),顯然系統(tǒng)仍將回到 |↑態(tài)上,也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)整體演化躍遷幾率為零.這與(6)式結(jié)果(須取 1/τ=ν)一致.

值得指出,上述解析解使得我們可以描述系統(tǒng)在演化過(guò)程中的非絕熱躍遷.定義表征系統(tǒng)哈密頓量(7)式的瞬時(shí)絕熱本征態(tài).由于時(shí)一致,故描述了演化過(guò)程中絕熱態(tài)的保留幾率則描述非絕熱效應(yīng)所致的絕熱態(tài)之間的躍遷幾率.圖1分別畫出了驅(qū)動(dòng)過(guò)程中上述布居數(shù)以及非絕熱效應(yīng)隨時(shí)間的演變.

3 多能級(jí)模型及其精確解

3.1 規(guī)范變換及系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化

下面將上一節(jié)中提出的正則變換求解方法推廣到相應(yīng)的多能級(jí)系統(tǒng).為此,研究如下哈密頓量:

其中J是角動(dòng)量算符,其分量滿足對(duì)易關(guān)系當(dāng)角動(dòng)量量子數(shù)時(shí),這個(gè)哈密頓量就是上面求解的哈密頓量(7)式.欲利用前述變換方法處理目前代數(shù)系統(tǒng),需要采用特定形式轉(zhuǎn)動(dòng)變換(也稱規(guī)范變換[30]).結(jié)果表明,對(duì)上述驅(qū)動(dòng)模型采用如下變換可以為求解帶來(lái)便利:

在新表象中容易得到 |ψg(t)滿足協(xié)變薛定諤方程i?t|ψg(t)=Hg(t)|ψg(t),相應(yīng)有效哈密頓量Hg(t)可表達(dá)為

其中X(t)三個(gè)分量的具體形式為:

容易驗(yàn)證,如果取

可以得到X1(t)=X2(t)=0 以及X3(t)=ν,從而

也就是說(shuō),在做規(guī)范變換后的新表象,協(xié)變薛定諤方程中的有效哈密頓量不再顯含時(shí)間,系統(tǒng)因而具有定態(tài)解:

從而有:

注意到方程(21)式中α(t)的表達(dá)式,可以檢驗(yàn)這一結(jié)果與方程(14)式和(15)式完全一致.

及

圖2 (a)初態(tài)為 |1 態(tài)時(shí)系統(tǒng)演化過(guò)程中的非絕熱躍遷Fm1(t)(m=0,±1).其中 |1→|?1 躍遷幾率非常小,在 t=0 時(shí) F?11≈0.0028 ;(b)初態(tài)為 |0 態(tài)時(shí)系統(tǒng)演化過(guò)程中的非絕熱躍遷 Fm0(t),其中F10(t)=F?10(t)Fig.2.(a)Nonadiabaticity-induced transition of the initial state |1 during the evolution.The transition probability from |1 to |?1 is very small with F?11≈0.0028 at t=0;(b)nonadiabaticity-induced transition of the initial state |0 during the evolution,where F10(t)=F?10(t).

3.2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)不變量

前面已經(jīng)得到多能級(jí)Rosen-Zener模型的精確解.按照代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法本身[30],上述求解過(guò)程表明該系統(tǒng)具有Lewis動(dòng)力學(xué)不變量

其中α(t),β(t)由方程(21)式給出.欲檢驗(yàn)I(t)是否滿足

可考察其分量方程.記I(t)≡R(t)·J,根據(jù)(21)式和(31)式,可知

從而可以直接驗(yàn)證(32)式的分量方程均成立:

根據(jù)(31)式,I(t)的本征態(tài)可表示為對(duì)比方程(24)式可以看到僅相差一相位,此即所謂的Lewis總相位[1,2]:

4 討 論

哈密頓量(17)式存在一個(gè)對(duì)偶系統(tǒng):

容易檢驗(yàn),該系統(tǒng)具有如下動(dòng)力學(xué)不變量

其中α(t),β(t)仍由方程(21)式給出.這一結(jié)果可以通過(guò)對(duì)上面動(dòng)力學(xué)不變量分量方程(34)式直接觀察得到.實(shí)際上,這樣的對(duì)偶變換對(duì)兩分量形式哈密頓量是普適的.由于哈密頓量H′(t)與H(t)僅x分量相差一負(fù)號(hào)只要將不變量算子x,y分量做替換Rx(t)→?Rx(t),Ry(t)→?Ry(t),則分量方程(34)式仍能成立.上述變換I(t)→I′(t)相當(dāng)于將角度參數(shù)α(t),β(t)換成?α(t)與?β(t).也就是說(shuō),對(duì)于上面的對(duì)偶哈密頓量(36)式,可以采用規(guī)范變換前述代數(shù)動(dòng)力學(xué)求解方法依然有效.

5 結(jié) 論

本文用代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法精確求解了一類多能級(jí)Rosen-Zener模型,討論了系統(tǒng)波函數(shù)演化、非絕熱躍遷以及動(dòng)力學(xué)不變量算子.以往對(duì)這類體系基于超幾何方程的求解方法難以推廣至多能級(jí)系統(tǒng),我們的方法克服了這一缺點(diǎn).值得指出的是,盡管從形式上看代數(shù)動(dòng)力學(xué)方法能夠普適處理這類含時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),但是對(duì)于具體給定的驅(qū)動(dòng)外場(chǎng),如何確定規(guī)范變換并不是一個(gè)平庸的問(wèn)題.本文采用了由Jx與Jy生成元生成的規(guī)范變換,形式上與以往采用由Jy與Jz生成的轉(zhuǎn)動(dòng)稍有不同.雖然它們?cè)跀?shù)學(xué)上是等價(jià)的,但是本文的做法表明采用不同形式能為求解特定系統(tǒng)帶來(lái)便利.這為今后進(jìn)一步研究含時(shí)體系提供了一個(gè)可以借鑒的的思路.