分?jǐn)?shù)階偏微分方程求解與優(yōu)化模型對(duì)高溫防護(hù)服設(shè)計(jì)的計(jì)量分析

王 寶， 朱家明

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)a.金融學(xué)院；b.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233000)

引 言

高溫作業(yè)是伴隨著高溫、高輻射以及高氣濕等異常作業(yè)條件下致使?jié)袂蚝谇驕囟戎笖?shù)(WBGT指數(shù))超過一定標(biāo)準(zhǔn)的作業(yè)，通常分為高溫以及強(qiáng)輻射作業(yè)、高溫高濕作業(yè)和夏天露天作業(yè)三種，通常發(fā)生在冶金工業(yè)作業(yè)、耐火工業(yè)作業(yè)以及潛水艙作業(yè)等情況中，而實(shí)際研究結(jié)果表明高溫作業(yè)往往會(huì)對(duì)人體造成極大的不同程度的影響。在生理功能方面，高溫作業(yè)會(huì)導(dǎo)致肌體損失水分以及人體必需的微量元素，引起消化系統(tǒng)出現(xiàn)消化不良以及腸胃病發(fā)病率的提高，由于失水過多也會(huì)引發(fā)腎功能不全以及蛋白尿等連鎖反應(yīng)；同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致由于產(chǎn)熱及受熱超過散熱引發(fā)的熱射病，大量脫水導(dǎo)致水與電解質(zhì)比例失調(diào)引發(fā)的熱痙攣和由于失水造成循環(huán)血量減少引發(fā)的熱衰竭等[1]。高溫作業(yè)防護(hù)服是在高溫環(huán)境下能夠防止人體產(chǎn)生不適的防護(hù)衣服，具有阻燃性、聚液性、服裝完整性、穿著舒適性等性能[2]。目前開發(fā)研制的新型熱防護(hù)材料有芳砜綸纖維、NomexⅢA等，另外相變材料的應(yīng)用也成為熱防護(hù)服研究的熱點(diǎn)。熱防護(hù)服織物的加工方法目前主要是純紡法、混紡法、涂層加工法和多層織物復(fù)合法[2]等，優(yōu)良的熱防護(hù)服既要對(duì)外界熱量具有良好的阻隔作用，又要達(dá)到一定的熱濕傳遞能力，以利于人體熱量釋放和汗液蒸發(fā)[1]。但是，目前在熱防護(hù)服和研究開發(fā)中，增強(qiáng)熱防護(hù)性能與減少人體新陳代謝熱負(fù)荷總是相互矛盾的，解決這一問題既是對(duì)科研工作者的挑戰(zhàn)，又是一個(gè)機(jī)遇。因此高溫?zé)岱雷o(hù)服設(shè)計(jì)對(duì)高效完成高溫作業(yè)工作和相關(guān)科技研究具有較大意義。

而在近幾年已有的研究體系下，國內(nèi)部分專家學(xué)者已對(duì)高溫傳導(dǎo)，熱量傳遞，高溫?zé)岱雷o(hù)服設(shè)計(jì)等做了相應(yīng)研究，探索出了相關(guān)結(jié)果。但也存在部分不足和局限性。例如，盧琳珍[3]在《多層高溫作業(yè)防護(hù)服裝的熱傳遞模型及參數(shù)最優(yōu)決定》中基于變系數(shù)拋物型方程建立并驗(yàn)證多層熱防護(hù)熱傳遞模型。該文對(duì)改進(jìn)的變系數(shù)拋物型方程進(jìn)行收斂性分析并對(duì)各層接觸面給出合理的處理方式。不足之處是該文并未考慮濕傳遞對(duì)防熱服的影響程度；蔣曉穎[4]在《兩類空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程反問題研究及其在高溫作業(yè)防護(hù)服設(shè)計(jì)中的應(yīng)用》中基于空間分?jǐn)?shù)階熱傳遞模型并綜合皮膚層熱傳遞模型對(duì)高溫環(huán)境下防熱服的傳遞問題進(jìn)行探究。不足之處是考慮的影響因素并不全面，并未考慮到防熱服不同層所處的環(huán)境不同，是否應(yīng)采用不同的熱傳遞模型加以描述;余躍[5]在《紡織材料熱濕傳遞數(shù)學(xué)建模及其設(shè)計(jì)反問題》對(duì)空間分?jǐn)?shù)階熱傳遞模型進(jìn)行了理論分析得出該模型適合特定的溫度環(huán)境。同時(shí)該文討論了不同溫度環(huán)境下的熱傳遞過程。不足之處是在分?jǐn)?shù)階方程只能達(dá)到一階的精度，并未解決高階問題。本文的創(chuàng)新之處在于將之前已研究的局部條件狀況進(jìn)行綜合運(yùn)用，設(shè)置環(huán)境溫度為65 ℃時(shí)，工作60分鐘且假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，超過44 ℃的時(shí)間不超過5分鐘；以及環(huán)境溫度為80 ℃時(shí)，工作30分鐘假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時(shí)間不超過5分鐘兩種模擬實(shí)驗(yàn)條件，從不同問題角度使用不同算法進(jìn)行探討，在對(duì)已有算法基礎(chǔ)上針對(duì)條件進(jìn)行簡明創(chuàng)新，使算法的使用更加直接簡練。

本文通過建立數(shù)學(xué)模型，研究在高溫環(huán)境下實(shí)驗(yàn)?zāi)M假人皮膚表面外側(cè)溫度不斷變化時(shí)，高溫?zé)岱雷o(hù)服中材料層溫度發(fā)生的變化；在已知實(shí)際高溫作業(yè)條件限制下針對(duì)高溫?zé)岱雷o(hù)服材料層厚度設(shè)計(jì)并優(yōu)化，為相關(guān)熱防護(hù)服設(shè)計(jì)和研發(fā)提供進(jìn)一步模型支持。

1 數(shù)據(jù)來源與假設(shè)

本文數(shù)據(jù)主要來源于2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽主辦方提供。為了更方便對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解和科學(xué)高效的解決問題，特提出以下假設(shè)：①高溫作業(yè)防護(hù)服中同一織物層不同方向上具有相同性以及同一織物層中不同區(qū)域吸收熱量是相同的；②由于其他無關(guān)因素如水分和濕度等因素變化導(dǎo)致的高溫作業(yè)防護(hù)服體積變化忽略不計(jì)，并將有效曲折系數(shù)設(shè)為常數(shù)；③“環(huán)境-服裝-皮膚”系統(tǒng)中熱傳遞過程僅考慮熱傳導(dǎo)與熱輻射的傳熱過程，不考慮其它熱傳遞過程；④高溫作業(yè)防護(hù)服中各織物層在防熱過程中未發(fā)生熔融與分解；⑤假設(shè)高溫作業(yè)防護(hù)服不同織物層的輻射系數(shù)固定不變。

2 基于熱傳導(dǎo)分?jǐn)?shù)階偏微分方程求解對(duì)材料層溫度分布研究

2.1 研究思路

專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，其中I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，記為IV層空隙層。以環(huán)境與高溫作業(yè)防護(hù)服接觸點(diǎn)為原點(diǎn)，各點(diǎn)與環(huán)境的距離為x軸，環(huán)境與高溫作業(yè)防護(hù)服接觸面為y軸，建立“環(huán)境-防護(hù)服-皮膚”系統(tǒng)[6]，如圖1所示。

圖1 “環(huán)境-防護(hù)服-皮膚”系統(tǒng)

根據(jù)已知不同層次的密度、比熱、熱傳導(dǎo)率以及厚度四個(gè)指標(biāo)，可以反映三個(gè)層面織物的熱傳導(dǎo)效率。而要利用已知參數(shù)信息對(duì)環(huán)境溫度為75 ℃、Ⅱ?qū)雍穸葹? mm、Ⅳ層厚度為5 mm、工作時(shí)間為90分鐘的條件下求解Ⅲ層材料層的溫度分布，可通過對(duì)不同織物熱傳導(dǎo)效率，環(huán)境溫度、不同織物厚度以及工作時(shí)間等參數(shù)研究，將三個(gè)織物層次(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)看成一個(gè)熱傳導(dǎo)方式相同但參數(shù)不同的系統(tǒng)，考慮織物層熱傳遞過程，同時(shí)分析空隙層(Ⅳ)的熱傳遞過程，建立分?jǐn)?shù)階偏微分方程，對(duì)不同時(shí)刻的假人身體溫度進(jìn)行刻畫。研究思路如2所示。

圖2 研究思路流程

2.2 研究方法

在高溫環(huán)境中，熱量主要經(jīng)過熱傳導(dǎo)和熱輻射作用穿過高溫防護(hù)服與空氣間隙，作用于人體皮膚表層使人體溫度逐漸升高，根據(jù)物理學(xué)中熱學(xué)相關(guān)理論知識(shí)對(duì)熱傳導(dǎo)和熱輻射做簡單相關(guān)闡述。

在溫度場中某一時(shí)刻τ下同一等溫線上某點(diǎn)y=f(x,y,z,r)，且在具有連續(xù)溫度場的情況下，用溫度梯度gradt描述過任意一點(diǎn)的最大溫度變化率，即

(1)

(2)

k(uxx+uyy+uzz)

(3)

結(jié)合能量守恒定律與比熱，密度關(guān)系，可將Fourier定理改寫成[8]：

(4)

另外值得注意的是，在初始階段，假人皮膚表層溫度對(duì)防護(hù)服第四層同樣起著熱傳導(dǎo)作用，即人體本身溫度作為內(nèi)部熱源。同樣在dt時(shí)間內(nèi)，在物體內(nèi)部任何一點(diǎn)所產(chǎn)生的熱量為Q(x,y,z,t)，可得出含熱源的熱傳導(dǎo)方程：

(5)

如果時(shí)間足夠長，溫度不再變化，此時(shí)u′=0，得到穩(wěn)定條件下有熱源Laplace方程：

▽2u=f

(6)

在對(duì)熱傳導(dǎo)偏微分求解和Fourier定理理解基礎(chǔ)上，對(duì)于高溫高溫作業(yè)防護(hù)服的多層熱傳遞模型，考慮到高溫作業(yè)防護(hù)服在與環(huán)境接觸的接觸面在高溫下存在反常擴(kuò)散現(xiàn)象[9]，基于此物理現(xiàn)象，在熱傳導(dǎo)求偏微分的基礎(chǔ)上考慮使用分?jǐn)?shù)階偏微分方程的擴(kuò)散模型[10]，具體表示如下：

①高溫作業(yè)防護(hù)服中的分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型

首先，先考慮高溫作業(yè)防護(hù)服中的熱傳遞，根據(jù)高溫作業(yè)防護(hù)服的溫度T(α,t)和高溫作業(yè)防護(hù)服左邊界與右邊界的熱輻射建立方程組：

(7)

環(huán)境的初值條件：

T(α,0)=T1(α),α∈A

高溫作業(yè)防護(hù)服左邊界條件：

(8)

其中，從熱源到高溫作業(yè)防護(hù)服過程中產(chǎn)生的熱通量為：

(ρ1+ρ2)|α=0=m(T0-T1)

(9)

高溫作業(yè)防護(hù)服中第Ⅰ層與第Ⅱ?qū)拥慕佑|面：

(10)

高溫作業(yè)防護(hù)服中第Ⅱ?qū)优c第Ⅲ層的接觸面：

(11)

高溫作業(yè)防護(hù)服的右邊界條件：

(12)

②高溫作業(yè)防護(hù)服與皮膚層之間空隙(即IV層)分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型空隙層的初始條件為：

T(α,0)=T1(α)

空隙層的分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型為：

(13)

2.3 問題求解

針對(duì) “環(huán)境-服裝-皮膚”系統(tǒng)建立的分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值離散：

前三層織物層的離散為：

其中，i=1,2,…,a1-1；n=0,1,…,N-1。

假設(shè)

則：

其中，i=1,2,…,a1-1；n=0,1,…,N-1。

III層織物層的左邊界離散：

(14)

假設(shè)

則III層織物層的右邊界離散：

(15)

空隙層的左邊界條件離散：

(16)

空隙層的右邊界條件離散：

(17)

2.4 結(jié)果輸出

熱防護(hù)服材料主要參數(shù)見表1，根據(jù)已知參數(shù)對(duì)已構(gòu)建偏微分方程進(jìn)行求解。

表1 熱防護(hù)服材料主要參數(shù)

結(jié)合Matlab等數(shù)學(xué)計(jì)量軟件計(jì)算，初步擬合出方程為：

y=9.093e-9x2-3.031e-5x3+0.03252x+36.72

畫出溫度分布方程圖像，如圖3所示。

圖3 擬合曲線與已知實(shí)驗(yàn)值對(duì)比圖

由此擬合出在環(huán)境溫度為75 ℃、Ⅱ?qū)雍穸葹? mm、Ⅳ層厚度為5 mm、工作時(shí)間為90分鐘的條件下實(shí)際作業(yè)限制條件下熱量傳導(dǎo)擬合圖，如圖4所示。

圖4 熱量傳導(dǎo)擬合圖

3 基于非線性優(yōu)化算法對(duì)單層材料層最優(yōu)厚度研究

3.1 粒子集群算法對(duì)最優(yōu)厚度設(shè)計(jì)的使用

下面我們?cè)诃h(huán)境溫度為65 ℃時(shí)，確保工作60分鐘假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時(shí)間不超過5分鐘條件下，確定II層最優(yōu)厚度。

3.1.1 研究方法

對(duì)于內(nèi)層有如下一維穩(wěn)態(tài)熱傳遞模型：

(18)

對(duì)織物外層有：

(19)

T(x)|x=A′=TR

(19)

在上文建立的熱傳導(dǎo)模型基礎(chǔ)上，可得出Ⅱ?qū)訜醾鲗?dǎo)過程，結(jié)果如下：

(20)

可以確定Ⅱ?qū)拥暮穸葹锳2-A1，其中：

α1=0.06 mm,α2=(A1-0.6) mm,

α3=3.6 mm,α4=5.5 mm

第II層的初始條件為：

T(α,0)=(α2,0)=T(A1-0.6,0)

第II層的左邊界條件為：

第II層的右邊界條件為：

(21)

由題意可得到約束條件為：

T(x,t=3600)≤47 ℃

T(x,t≤3600)≤44 ℃

聯(lián)立上述方程，可利用Lingo運(yùn)算得出：α2≥9.2。

第一步：選擇閾值ε和最大迭代次數(shù)Nmax；每個(gè)粒子的初始位置和初始速度分別為：

3.1.2 結(jié)論分析

由輸出結(jié)果可以看出，在環(huán)境溫度為65 ℃，IV層的厚度確定且等于5.5 mm情況下，在t≤3600s，滿足約束條件T(x,t=3600)≤47 ℃，T(x,t≤3600)≤44 ℃，從非穩(wěn)態(tài)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)和制作成本等角度考慮，Ⅱ?qū)幼顑?yōu)厚度可取9.2 mm。

3.2 簡單遺傳算法對(duì)單層材料層最優(yōu)厚度研究分析

在環(huán)境溫度為80 ℃時(shí)，確保工作30分鐘假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時(shí)間不超過5分鐘條件下，確定II層和IV層的最優(yōu)厚度。

3.2.1 研究思路

對(duì)于當(dāng)環(huán)境溫度為80 ℃時(shí)，確定II層和IV層的最優(yōu)厚度，確保工作30分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時(shí)間不超過5分鐘的問題。首先將皮膚外側(cè)溫度轉(zhuǎn)化為皮膚熱損傷程度的問題，建立反方向理論模型[11]。在熱損傷程度與防護(hù)服厚度的限制條件下，建立目標(biāo)函數(shù)及離散形式，最后對(duì)離散方程進(jìn)行正則化處理，通過遺傳算法求解得到最優(yōu)厚度。可簡化思路如圖5所示。

圖5 遺傳算法思路分析圖

3.2.2 研究過程

為了改善高溫作業(yè)防護(hù)服的厚度，采用Henriques積分來做標(biāo)準(zhǔn)[12]。以此為準(zhǔn)則，當(dāng)基底層(這里表示為人體外側(cè)皮膚中間接觸面)溫度達(dá)到44 ℃時(shí)，人體皮膚就會(huì)發(fā)生熱損傷。長時(shí)間在高溫條件下工作，防護(hù)服很難滿足保持舒適的要求；另外，高溫工作人員的人身安全是最主要考慮的事情。因此，提出的反問題目標(biāo)為皮膚熱損傷程度最小或者避免熱損傷。為了預(yù)測皮膚的損傷程度，將接觸面溫度代入下面積分：

(22)

其中，積分的時(shí)間區(qū)間為人體外側(cè)皮膚溫度超過44 ℃之后的時(shí)間。T取基底層的溫度，當(dāng)基底層滿足Ω|x=A1+A3≤1，不會(huì)發(fā)生熱損傷。P和ΔE的值見表2。

表2 P和ΔE的數(shù)值分布[14]

以人體外側(cè)皮膚接觸面作為目標(biāo)點(diǎn)，滿足Ω≤1即認(rèn)為沒有發(fā)生熱損傷，將發(fā)生熱損傷的臨界Ω記做Ω·。對(duì)于正問題而言，如果知道相應(yīng)的參數(shù)，就可以算出熱損傷的程度及時(shí)間。那么在反問題中，在給定的工作時(shí)間內(nèi)，保證安全的同時(shí)能夠使得皮膚損傷程度最小的最優(yōu)參數(shù)，即求L,k，使得：

(23)

當(dāng)不考慮Ω>Ω*=1的部分，則Ω與Ω=1所圍成的面積越大表示著熱損傷程度越低，也就是人體外側(cè)溫度超過44℃的時(shí)間越短。因此將防護(hù)服厚度優(yōu)化的問題轉(zhuǎn)化為下列目標(biāo)函數(shù)：

(24)

這樣原來優(yōu)化函數(shù)求最小值就轉(zhuǎn)化成求該方程組的最大值點(diǎn)。

已知在基層處(x=A1+A3)任意時(shí)刻的溫度T(t)=T(A1+A3,t)， Ω(t)=Ω(A1+A3,t)。這里，選取最優(yōu)II層和IV層的厚度A2和A4，將Ω(t)改寫為Ω(t,A)，其中A=(A2，A4)。由前面分析可知，當(dāng)Ω<1，人體外側(cè)皮膚沒有達(dá)到熱損傷程度，認(rèn)為是安全的。我們只在安全前提下討論反問題。工作時(shí)間取30分鐘，燒傷程度取Ω*=1，故上述目標(biāo)函數(shù)可改寫為：

(25)

改寫為離散形式為：

(26)

最優(yōu)解即為求該方程的最大值點(diǎn)。

3.2.3 問題求解

現(xiàn)實(shí)生活中防護(hù)服的制造還受到厚度上的限制，例如A2+A4≤Amax=31.4。首先對(duì)離散式(10)進(jìn)行正則化處理，再使用遺傳算法進(jìn)行求解，得到下列目標(biāo)函數(shù)：

(27)

其中，參數(shù)β稱為正則化參數(shù)，該目標(biāo)函數(shù)的解即是滿足安全指標(biāo)與厚度限制的最優(yōu)解。Qβ(A2,A4)即是該方程的極小值點(diǎn)(A2*,A4*)，稱為反問題的正則化解。具體方法表述如下：

①給定工作時(shí)間t*=1800 s

②劃分情況：Amin=A′

③求解DP，獲得Qβ(A2,A4)

對(duì)β的處理將對(duì)結(jié)果產(chǎn)生直接的影響。這里我們采用先驗(yàn)誤差，取β=10-6，另外賦值遺傳算法的其他參數(shù)：個(gè)體數(shù)目為40，迭代數(shù)目為100，變量個(gè)數(shù)為2，每個(gè)變量的25位數(shù)字表達(dá)為25，代溝數(shù)為0.9。這里我們將運(yùn)行50次的最大值作為最優(yōu)解，得出A=(10.6,4.2),且Q(A)=0.9906。即II層最優(yōu)厚度為10.6 mm，IV層的最優(yōu)厚度為4.2 mm。結(jié)合實(shí)際研發(fā)，可從工作時(shí)間和具體工作環(huán)境角度進(jìn)行合理化設(shè)計(jì)。

4 結(jié)束語

本文結(jié)合之前高溫防護(hù)服相關(guān)設(shè)計(jì)研究的基礎(chǔ)上，建立了完整的“環(huán)境-服裝-皮膚”系統(tǒng)熱傳遞模型。考慮到高溫作業(yè)防護(hù)服的左邊界處于高溫狀態(tài)時(shí)會(huì)發(fā)生反常擴(kuò)散現(xiàn)象，基于此現(xiàn)象提出分?jǐn)?shù)階微分方程的熱傳遞模型并求解得出單層在特定條件下溫度分布。在對(duì)高溫作業(yè)防護(hù)服最優(yōu)厚度確定時(shí)，以安全性作為指標(biāo)，結(jié)合其他織物層的熱傳導(dǎo)過程，建立了反問題模型，以最優(yōu)參數(shù)的確定和粒子集群算法來求解最優(yōu)解。遺傳算法作為全局優(yōu)化算法，不需要深入研究問題的內(nèi)在特性。對(duì)于任意形式的約束與目標(biāo)函數(shù)，無論是連續(xù)還是離散，線性還是非線性都可處理。本文總體研究思路、模型建立與求解過程簡明有效，具有較強(qiáng)理論和實(shí)證性，可為相關(guān)高溫?zé)岱雷o(hù)服設(shè)計(jì)及其衍生產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供理論依據(jù)與實(shí)驗(yàn)解釋，提供相關(guān)參考依據(jù)。