一類(lèi)趨化-流體耦合方程組的局部存在性

趙 麗， 侯智博

(西華大學(xué)理學(xué)院， 成都 610039)

引 言

趨化性(也被稱為化學(xué)趨向性)是趨向性的一種，指身體細(xì)胞、細(xì)菌及其他單細(xì)胞、多細(xì)胞生物依據(jù)環(huán)境中的某些化學(xué)物質(zhì)的分布而作定向運(yùn)動(dòng)。趨化方程組[1]主要是研究細(xì)胞或者細(xì)菌在有化學(xué)物質(zhì)或營(yíng)養(yǎng)液中的趨化行為。趨化方程組的代表是標(biāo)準(zhǔn)的Keller-Segel模型[2-4]及其各類(lèi)變體。經(jīng)典的Keller-Segel模型主要描述了細(xì)胞和化學(xué)物質(zhì)二者之間的相互作用。然而，在實(shí)際的生物背景下，細(xì)胞自身所處的流體環(huán)境也會(huì)對(duì)趨化運(yùn)動(dòng)有影響[4-9]，這一生物現(xiàn)象可以用趨化-流體方程組刻畫(huà)，如下[5]：

(1)

此處的n表示細(xì)胞密度，c表示化學(xué)物質(zhì)、信號(hào)的濃度，u和P分別表示流體速度場(chǎng)和相應(yīng)的壓力；系數(shù)κ和非線性流體對(duì)流項(xiàng)的強(qiáng)度有關(guān)；φ表示重力勢(shì)；趨化靈敏度S(c)和氧氣消耗率f(c)是已知的標(biāo)量函數(shù)。對(duì)于這類(lèi)趨化-流體方程組，其局部存在性的研究是后續(xù)所有研究的基礎(chǔ)，至關(guān)重要。文獻(xiàn)[10]中，Winkler已證明方程組(1)的解是局部存在的，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了其解的整體存在性、有界性、大時(shí)間行為等。隨著大量數(shù)學(xué)者的研究，文獻(xiàn)[11-13]中，Wang等考慮方程組(1)在2、3維的情況下，方程組的解具備整體存在性和有界性。后來(lái)Lorz(文獻(xiàn)[14])考慮了重力(勢(shì)力)對(duì)細(xì)胞的影響和趨化力對(duì)流體的影響，考慮一類(lèi)更符合現(xiàn)實(shí)的自封閉趨化-流體耦合模型，提出如下的初邊值問(wèn)題：

(2)

(3)

在上述的假設(shè)條件下，本文的主要結(jié)果如下：

c∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);W1,q(Ω))

u∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);D(Aα))

t→Tmax

成立。

1 定理1的證明

定理1的證明：證明分三步完成。

(1) 存在性：利用不動(dòng)點(diǎn)定理，Neumann熱半群，Stokes半群和不等式進(jìn)行估計(jì)即可證得。

Step1:先證明Φ是S上映射到自身的算子：

取R>0且T∈(0,1)待定。在

Banach空間：

設(shè)Φ=(Φ1,Φ2,Φ3)為如下定義在S上的映射：

Φ1(n,c,u)(·,t)=

u·▽n-▽·(n▽?duì)?}(·,s)ds

Φ2(n,c,u)(·,t)=

Φ3(n,c,u)(·,t)=

其中,ρ為L(zhǎng)2(Ω)上的Helmholtz投射算子。

(4)

(5)

這里運(yùn)用了D(Aα)嵌入到L∞(Ω)，因此u在L∞(Ω)上有界。

最后，存在C9>0,C10>0,C11(R)>0使得對(duì)任意t∈(0,T)。

(6)

結(jié)合(4)，(5)和(6)式就可以得到當(dāng)T充分小時(shí)，Φ是從S到S的映射。

Step2:再證明Φ是壓縮映射，即證存在0

使得：

以下的估計(jì)方法與上面的相類(lèi)似：

因此可得：

Step1:對(duì)方程組(2)中的第一個(gè)方程左右兩端乘以，對(duì)任意t∈(0,T0)得到如下：

(7)

若T00使得對(duì)任意t∈(0,T0)

把I1～I(xiàn)5的不等式相加代入(7)得：

(8)

(9)

以下分別對(duì)II1～I(xiàn)I4進(jìn)行估計(jì)，對(duì)任意t∈(0,T0)：

這里運(yùn)用Poincare′inequality：

結(jié)合II1～I(xiàn)I4，我們可以得到如下不等式：

(10)

(11)

類(lèi)似地，我們也對(duì)III1、III2、III3進(jìn)行估計(jì)，對(duì)任意t∈(0,T0)：

同樣結(jié)合II1～I(xiàn)I3可以得到：

(12)

綜上，把(10)、(11)、(12)三個(gè)式子相加得：

(13)

y′(t)≤C59y(t)

(14)

這里C59>0的與時(shí)間T0有關(guān)。

由于y(0)=0，對(duì)(14)直接積分可得，在區(qū)間(0,T)上y=0，即

因此得出方程(2)的解是唯一。

結(jié)合以上三步，最終我們證得了定理1。

2 結(jié)束語(yǔ)

本文證明了一類(lèi)趨化-流體耦合方程組解的局部存在性，主要研究重力對(duì)細(xì)胞影響(▽·(n▽?duì)?)和趨化力對(duì)流體影響(n▽c)這兩項(xiàng)對(duì)證明局部存在性的影響。既為此類(lèi)方程組解的長(zhǎng)時(shí)間適定性奠定了基礎(chǔ)，也為更為復(fù)雜的模型解的局部存在性證明提供了一個(gè)方法基礎(chǔ)。顯然，對(duì)于這類(lèi)模型在更高維情形下解的局部存在性還要繼續(xù)研究。