簡(jiǎn)捷計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)直電流對(duì)共面圓電流的安培力

隆勇 王勝華 李力

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

文獻(xiàn)[1]計(jì)算了無(wú)限長(zhǎng)直電流對(duì)共面圓電流的安培力大小，用到復(fù)分析的留數(shù)定理來(lái)處理相關(guān)定積分，計(jì)算過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng).本文在對(duì)稱性的基礎(chǔ)上，回歸普通積分方法，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算，篇幅不及原文一半.

【題目】無(wú)限長(zhǎng)直電流I1與半徑為R的圓電流I2位于同一平面上，圓心O到直電流的距離為d，分別就d>R,d

圖1 d>R時(shí)圓電流所受安培力

圖2 d

解析：過(guò)圓心O建立平面直角坐標(biāo)系，其中x軸垂直于直電流I1.在圓電流上θ處取微元Rdθ，I1在該處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，大小為

微元所受安培力方向沿半徑向外，大小為

由對(duì)稱性易知：關(guān)于x軸對(duì)稱的兩微元所受安培力的y分量相互抵消，而其x分量等大且與x軸正方向同向，故只需算出上半圓周上各電流元所受安培力的x分量之和的2倍即可.

(1)

以下分別就d>R,d

當(dāng)d>R時(shí)，有

d+Rcosθ=

于是當(dāng)d>R時(shí)，代入式(1)得到

(2)

容易看出結(jié)果為負(fù)值，表示安培力方向沿x軸負(fù)向，從物理上看，這是直線電流I1離左半圓周較右半圓周近，故對(duì)左半圓周電流的吸引力大于右半圓周電流的排斥力的緣故.

當(dāng)d

d+Rcosθ=

0-0=0

于是當(dāng)d

(3)

結(jié)果為正值，表示安培力方向沿x軸正向，大小與R和d的具體數(shù)值無(wú)關(guān)，即只要I1直線與I2圓周相交，無(wú)論直線是否等分圓周，安培力大小皆為常量μ0I1I2，這是很特別的地方.

上述式(2)、(3)與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果完全一致，但數(shù)學(xué)方法較為簡(jiǎn)單易懂.