任意邊界下多跨梁彎曲計算及其工程應(yīng)用

熊劍鋒，閆肖杰，江璞玉，劉均，程遠(yuǎn)勝*

1華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

2中國艦船研究設(shè)計中心船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢430064

0 引 言

多跨梁模型是船舶、橋梁領(lǐng)域常見的力學(xué)模型。目前，國內(nèi)外針對任意邊界條件下梁結(jié)構(gòu)的振動與沖擊方面的研究較多。例如，文獻(xiàn)［1-3］提出了一種改進(jìn)的傅里葉級數(shù)方法（Improved Fourier Series Method，IFSM），該方法在傳統(tǒng)的余弦傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上，增加了4項正弦級數(shù)，是一種半解析法（Semi-Analytical Method，SAM）。經(jīng)數(shù)學(xué)證明，此方法可擴(kuò)展并收斂于任意一個函數(shù)，通過對彈性邊界條件下的梁、板的振動分析，驗證了此方法的正確性。Xu和Li［4］則在傳統(tǒng)的傅里葉余弦級數(shù)的基礎(chǔ)上添加了4項多項式級數(shù)（此方法也可消除傅里葉級數(shù)在邊界上的不連續(xù)問題），并研究了動載荷下多跨梁響應(yīng)的問題。此外，周渤和石先杰［5］也利用該級數(shù)形式研究了任意邊界條件下多跨梁振動的問題。目前，針對任意邊界條件下梁或多跨梁彎曲的問題，主要采用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)力學(xué)法或有限元法（FEM）求解，前者需要先求解三彎矩方程或五彎矩方程，然后再由求得的節(jié)點彎矩值得到每跨位移，進(jìn)而利用其他物理量與位移的微分關(guān)系得到待求解的物理量結(jié)果，而后者則首先需要在前處理中建立模型，然后再求解，因此整個過程耗時較長，且當(dāng)幾何參數(shù)變化時修改也較麻煩。

在滾裝船和大型艦船中，車輛裝載甲板及機(jī)庫甲板上的強橫梁及縱桁等主要承力構(gòu)件均可被視為一種多跨梁結(jié)構(gòu)，在輪印載荷下，其承受的載荷大小與作用位置具有不確定性。因此，在多種輪印載荷工況下找到多跨梁的最危險工況，對于船舶結(jié)構(gòu)的安全校核及裝載方案的設(shè)計具有重要意義。為此，Jeon和Kim［6］研究了遺傳算法應(yīng)用于最危險工況分析的算法性能，成功找到了多個經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的最危險工況。方陸鵬等［7］將輪印載荷簡化為集中力，制作了輪印載荷下連續(xù)多跨梁結(jié)構(gòu)模型的試驗裝置，并對比了彎矩的理論值與實驗值，結(jié)果表明兩者基本一致?？到芎赖龋?］采用有限元法與遺傳算法相結(jié)合的方法，首先利用有限元法計算多跨梁結(jié)構(gòu)各載荷工況下的響應(yīng)值，然后結(jié)合遺傳算法找到在輪印載荷作用下各跨彎矩或剪力的最大、最危險工況，以此對多跨梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。但是有限元法計算較為耗時，而傳統(tǒng)的遺傳算法所需的計算設(shè)計點較多，導(dǎo)致總體計算效率不高，且由于輪印載荷作用位置采取的是離散取值，故無法找到更精確的載荷危險作用工況。

鑒于此，本文將利用IFSM方法并基于哈密頓原理，首先推導(dǎo)出任意邊界條件下多跨梁彎曲問題的平衡方程，并結(jié)合邊界條件聯(lián)立求解，然后通過與有限元計算結(jié)果的對比，驗證所提方法的正確性，最后將該方法與處理連續(xù)變量優(yōu)化問題的遺傳算法進(jìn)一步結(jié)合，求解輪印載荷位置處于連續(xù)變化情況下多跨梁的最危險工況，以獲得其更精確的布置工況。

1 連續(xù)多跨梁彎曲問題理論計算

1.1 物理模型

如圖1所示，假設(shè)n跨連續(xù)梁第i跨的物理參數(shù)為li，Ei，Ii，分別指第i跨的跨長、彈性模量和剖面慣性矩。對于邊界上彈簧的剛度系數(shù)，規(guī)定如下：k0，K0分別指連續(xù)梁的首端位移彈簧及轉(zhuǎn)角彈簧的剛度系數(shù)；kn，Kn分別指連續(xù)梁的尾端位移彈簧及轉(zhuǎn)角彈簧的剛度系數(shù)；ki指中間支撐位移彈簧的剛度系數(shù)，在其上作用一個任意形式的橫向彎曲載荷q（x）。通過改變各彈簧的剛度系數(shù)，即可模擬任意一種邊界條件。例如，當(dāng)模擬兩端為剛性固定、中間簡支時，僅需將兩端的彈簧剛度系數(shù) (k0，K0，kn，Kn)及中間簡支的彈簧剛度系數(shù)ki均設(shè)置為無窮大即可，對于模擬自由邊界，僅需將各彈簧的剛度系數(shù)設(shè)置為0即可。

圖1 任意邊界條件的多跨連續(xù)梁模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the multi-span continuous beams model under arbitrary boundary conditions

1.2 模型半解析求解

1.2.1 位移級數(shù)的表達(dá)形式

對于任意邊界下的連續(xù)梁第i跨位移函數(shù)，可以由如下 IFSM［2］形式表示：

其中，

式中：wi為連續(xù)梁第i跨的位移；φim為形函數(shù)，其中下標(biāo)m為每項級數(shù)的整數(shù)序號；Aim為形函數(shù)的系數(shù)；xi為連續(xù)梁第i跨范圍內(nèi)某個點的位置坐標(biāo)；li為連續(xù)梁第i跨的長度。

上述位移級數(shù)形式在傳統(tǒng)的傅里葉余弦級數(shù)形式的基礎(chǔ)上，增加了4項傅里葉正弦級數(shù)，此形式克服了單一形式的傅里葉級數(shù)在邊界上的不連續(xù)或跳躍現(xiàn)象。從數(shù)學(xué)上可知，該級數(shù)形式可擴(kuò)展并收斂于任意一個函數(shù)f（x）。在實際計算時，位移級數(shù)上限值取為某一正整數(shù)M，即級數(shù)的截斷數(shù)，每個位移wi共包含M+5個未知系數(shù)Aim，而求解這n×（M+5）個未知系數(shù)則是關(guān)鍵。

1.2.2 邊界條件處理

針對圖1所示的n跨連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，其首端邊界方程可分別由式（3）和式（4）表示，尾端邊界方程可分別由式（5）和式（6）表示：

式中，wn，En，In分別為尾端邊界處梁的位移、彈性模量和剖面慣性矩。

對于中間第 i個彈簧（0＜i＜n），其對應(yīng)的邊界連續(xù)條件可描述為

對于n跨連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，共可得到4+4（n-1）=4n個邊界方程。將位移函數(shù)式（1）代入到這4n個邊界條件中，并將位移函數(shù)的某4n個系數(shù)視為待求量進(jìn)行求解，可得到這4n個系數(shù)與剩下的n×（M+1）個系數(shù)之間的關(guān)系式。假設(shè)每跨位移級數(shù)的-2，-1，1，2項為待求量，而剩余的為獨立變量，則該關(guān)系式可表示為

式中，Cb為Aix和Aiy形函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系矩陣，其中，

此時，獨立的未知系數(shù)的個數(shù)剩下n×（M+1）個，由此構(gòu)造出的位移函數(shù)即可滿足該邊界條件，并表示為

1.2.3 基于哈密頓原理推導(dǎo)平衡方程

根據(jù)哈密頓原理，可推導(dǎo)出任意邊界條件下連續(xù)梁在橫向載荷作用下的彎曲平衡方程，即

其中，

式中：UP，US分別為連續(xù)梁的應(yīng)變能和邊界上的彈性勢能；W為外力功；δ為一次變分。

將式（11）～式（13）代入式（10）中，并將滿足邊界條件的位移表達(dá)式（9）代入式（10）中，運用伽遼金方法得到關(guān)于n×（M+1）個獨立系數(shù)的代數(shù)方程組，然后求解該方程組，即可得到n×（M+1）個未知系數(shù)值。將這些系數(shù)值回代到式（9）中，得到該邊界條件下的位移，根據(jù)梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、轉(zhuǎn)角、截面彎矩、截面剪力整體與位移的微分關(guān)系，即可求得相應(yīng)的物理量。

1.3 算例驗證

為驗證本文解析法的正確性，基于某三跨梁模型設(shè)計了2種邊界條件進(jìn)行計算。邊界條件1模擬的是兩端固支、中間支座垂向固定的情況，如圖2所示。邊界條件2模擬的是彈性支撐下多跨梁的情況。為計算簡便，梁截面形狀和材料屬性沿長度方向均相同，各跨距l(xiāng)i均為10 m（總長L=30 m），彈性模量E=210 GPa，泊松比 ν=0.3。梁截面為T型材，腹板高400 mm，腹板厚8 mm，面板寬150 mm，面板厚14 mm，帶板寬1 000 mm，帶板厚15 mm。假設(shè)該三跨梁受到了3組輪印載荷作用，每組輪印載荷簡化為2個集中力，分別為：F1，1=80 kN，F(xiàn)1，2=120 kN；F2，1=60 kN，F(xiàn)2，2=60 kN；F3，1=120 kN，F(xiàn)3，2=80 kN。每組輪印載荷集中力之間的間距 D1，D2，D3分別為 4，6，4 m。每組輪印載荷的首個集中力與連續(xù)梁最左端支座的間距X1，X2，X3分別為5.8，11.8，20.5 m。

圖2 邊界條件1下的三跨梁模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the three-span beams model under boundary condition 1

計算邊界條件1時，將兩端的位移彈簧剛度系數(shù)取為較大值來模擬，均設(shè)為k0=kn=1×1010N/m，兩端的轉(zhuǎn)角彈簧剛度系數(shù)均設(shè)為K0=Kn=1×1010（N·m）/rad。邊界條件2模擬的是彈性支撐下的多跨梁情況，計算時將兩端的位移彈簧剛度系數(shù)均設(shè)為k0=kn=1×108N/m，轉(zhuǎn)角彈簧剛度系數(shù)均設(shè)為 K0=Kn=1×103（N·m）/rad，中間支座剛度系數(shù)分別設(shè)為 k1=5×107N/m，k2=7×107N/m。表1所示為邊界條件1下截斷數(shù)M取值對位移結(jié)果的影響。表2所示為本文方法和有限元法計算得到的各跨最大位移值的對比。圖3和圖4所示為2種邊界條件下多跨梁的整體位移、截面彎矩及截面剪力計算結(jié)果與有限元結(jié)果的對比。

由表1可以看出，當(dāng)截斷數(shù)M=10時，整個計算趨于穩(wěn)定，計算結(jié)果的收斂性較好。由表2可以看出，兩種方法計算結(jié)果的誤差較小。

表1 邊界條件1下M取值對位移結(jié)果的影響Table 1 The impacts of M value on displacement under boundary condition 1

表2 各跨位移計算結(jié)果對比Table 2 The comparisons of calculated displacement for each span

圖3 邊界條件1下本文方法與有限元計算結(jié)果對比Fig.3 Result comparisons of the proposed method and FEM under boundary condition 1

圖4 邊界條件2下本文方法與有限元計算結(jié)果對比Fig.4 Result comparisons of the proposed method and FEM under boundary condition 2

由圖3和圖4可以看出，剪力圖為一系列水平直線，而本文所選用的正弦、余弦形式的形函數(shù)對于水平直線模擬需較多的項數(shù)，綜合考慮，將截斷數(shù)取為M=40。綜合表2及圖3和圖4的計算結(jié)果，可看出本文方法計算得到的整體位移、截面彎矩及截面剪力與有限元計算的結(jié)果基本重合，驗證了本文方法的正確性。同時，本文方法相對于有限元法計算便捷，設(shè)置簡單，故有較好的工程應(yīng)用價值。

2 輪印載荷下多跨梁最危險工況分析

2.1 物理模型

輪印載荷作用下多跨梁最危險工況的問題分析可描述如下［8］：給定多跨梁幾何結(jié)構(gòu)、輪印載荷組的數(shù)量及輪印載荷大小，尋求輪印載荷作用下的最危險布置工況，即使某一個跨梁的截面彎矩、截面剪力或整體位移取得最大值。由于輪印載荷布置位置的搭配較多，很難直接判斷出多跨梁產(chǎn)生最大內(nèi)力時所對應(yīng)的最危險工況位置，故借助遺傳算法對該問題進(jìn)行優(yōu)化計算。

圖5所示為輪印載荷作用下多跨梁物理模型。假設(shè)有e組輪印載荷作用于多跨梁上，第j組輪印載荷中輪印載荷個數(shù)為 sj，F(xiàn)j，a為第j組輪印載荷中第a個輪印載荷的大小，Xj為第j組輪印載荷的首載荷與多跨梁左端的間距，Dj，a為第j組載荷第a個輪印與第a+1個輪印之間的間距。

圖5 多跨梁幾何模型及其輪印載荷示意圖［8］Fig.5 Schematic diagram of the multi-span beams model under multiple patch loading［8］

2.2 數(shù)學(xué)模型

2.2.1 設(shè)計變量

在分析輪印載荷作用下多跨梁最危險工況時，變量為各輪印載荷的布置位置。對應(yīng)上述物理模型，當(dāng)一組輪印中的首載荷（一組輪印載荷中的第1個載荷）位置確定時，該組輪印載荷的布置位置也就相應(yīng)得到確定，故以每組輪印的首載荷與多跨梁左端的間距Xj作為該問題的設(shè)計變量。

2.2.2 目標(biāo)函數(shù)

在分析輪印載荷作用下多跨梁最危險工況的目標(biāo)函數(shù)為多跨梁上某跨的最大彎矩Mi或最大剪力FSi或最大變形wmax時，每個載荷布置工況下的目標(biāo)函數(shù)值通過本文推導(dǎo)的半解析法進(jìn)行求解，結(jié)果表明具有較好的精度，且相對于有限元法極大地減少了計算時間。

2.2.3 約束條件

在實際船舶的裝載甲板上，相鄰車輛之間的間距需要滿足一定的要求，因此在輪印載荷作用下多跨梁最危險工況分析的約束條件為相鄰2組輪印載荷的間距大小。約束條件如式（14）所示，式中Con1j，Con2j分別為第j組與第j+1組輪印載荷之間需要滿足的最小間距及最大間距。

2.3 計算實例

運用本文多跨梁彎曲計算方法并結(jié)合遺傳算法對上述優(yōu)化問題進(jìn)行求解。為方便對比，本文選取文獻(xiàn)［8］中的方案2進(jìn)行計算。該方案的幾何參數(shù)與截面參數(shù)及每組載荷的數(shù)量、大小和間距均與2.1節(jié)算例驗證所用的三跨梁相同，而每組載荷的首載荷與多跨梁左端的間距X1，X2，X3是需要求解的設(shè)計變量，其取值范圍分別為0.5～6 m，10～14 m和20～25.5 m。約束條件為相鄰2組輪印載荷之間的最小間距不小于1 m，最大間距不大于5 m。邊界選用兩端剛性固定、中間支座垂向固定的約束條件，即首、尾兩端的位移彈簧剛度系數(shù)均設(shè)為1×1010N/m，兩端的轉(zhuǎn)角彈簧剛度系數(shù)均設(shè)為1×1010（N·m）/rad，而中間的位移彈簧剛度系數(shù)設(shè)為1×1010N/m。使用Matlab軟件自帶的遺傳算法ga函數(shù)尋求最危險工況的結(jié)果，該函數(shù)可以處理設(shè)計變量連續(xù)取值的優(yōu)化問題。計算時，種群個數(shù)設(shè)為100個，遺傳代數(shù)設(shè)為100代。最終優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)［8］計算結(jié)果的對比如表3所示。

由表3可以看出，相比文獻(xiàn)［8］，由于本文采用的遺傳算法可以處理設(shè)計變量連續(xù)取值的優(yōu)化問題，所以能夠找到更精確的最危險輪印載荷布置工況。該工況的最大彎矩或最大剪力比文獻(xiàn)［8］的工況更大，同時，設(shè)計變量連續(xù)取值也更貼近工程實際，這是因為車輛在裝載甲板上的移動是連續(xù)的，而不是階躍的。

表3 多跨梁最危險工況計算結(jié)果Table 3 Numerical results of the worst-case analysis of multi-span beams

3 結(jié) 論

本文基于能量原理并結(jié)合邊界條件，分析了任意邊界條件下連續(xù)多跨梁結(jié)構(gòu)的彎曲問題。通過將本文方法計算的結(jié)果與有限元法計算結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了本文方法的正確性。運用此方法分析輪印載荷下多跨梁的最危險工況，得到了滿意的結(jié)果，其計算精度較高，耗時少。根據(jù)本文的研究，主要得到如下結(jié)論：

1）推導(dǎo)的計算方法隨著傅里葉級數(shù)截斷數(shù)的增加，計算結(jié)果很快收斂，數(shù)值穩(wěn)定性較好；與算例的有限元法計算結(jié)果相比，計算的位移誤差小于0.05%。同時，由于基于能量原理，本文計算過程不需要平衡方程，故易于推廣到板結(jié)構(gòu)及其他更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

2）在計算分析輪印載荷下多跨梁最危險工況時，運用此方法得到了更精確的最危險布置工況。