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    卷積在信號處理中的應(yīng)用

    2019-08-23 03:06:38謝沛凝
    電子技術(shù)與軟件工程 2019年13期
    關(guān)鍵詞:沖激響應(yīng)飽腹餃子

    文/謝沛凝

    1 前言

    卷積方法是“信號與系統(tǒng)”在論述系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)而提出的,原理是將信號分解為沖擊信號之和,借助系統(tǒng)的沖擊響應(yīng),求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)。在“信號與系統(tǒng)”中,卷積是對線性時不變系統(tǒng)的連續(xù)時間信號即模擬信號的論述,公式表示為r(t)=e(t)*h(t)=∫ e(τ)h(t-τ)dτ 。

    2 離散時間內(nèi)的卷積應(yīng)用

    離散序列的卷積公式:y(n)=x(n)*h(n)= Σx(m)h(n-m),此處m為負(fù)無窮到正無窮。

    卷積的過程就是相當(dāng)于把信號分解為無窮多的沖擊信號,然后進(jìn)行沖擊響應(yīng)的疊加,關(guān)鍵在于疊加。

    拿生活中最簡單的例子,吃餃子為列:

    假設(shè)小明非常的餓,到飯店去吃餃子,每十分鐘上十個餃子,一共要了一百個餃子,分十次吃完。那么在第一個十分鐘內(nèi)小明吃到了十個餃子,感到飽腹感。等了一會又吃了十個餃子,又有飽腹感。直到小明吃完最后十個餃子,他感覺自己跟沒吃一樣,為什么會產(chǎn)生這樣的結(jié)果?

    人即為系統(tǒng),吃餃子即為脈沖以后,會有什么表現(xiàn)(輸出)?

    小明在很餓的情況下一次吃10個餃子相當(dāng)于輸出為0;如果一次連續(xù)吃20個餃子則視為輸出1;吃30個餃子,他會感覺到明顯的飽腹感,即輸出3;一次吃40個餃子,小明可能就會很撐,相當(dāng)于系統(tǒng)輸出5;一下子吃100個餃子,他可能就輸出0。

    見圖1,下面我用一個圖表幫助大家理解,以吃餃子的個數(shù)作為X軸,以飽腹感的程度(輸出)為Y軸,繪制了一條曲線:

    圖1

    小明吃100個餃子還是感到饑餓,是因為每次吃餃子的時間間隔(Δτ=1小時)太長了,所以在十分鐘內(nèi),小明把吃到的10個餃子完全消化了,并沒有產(chǎn)生疊加效應(yīng),始終是一個常數(shù);如果縮短吃餃子的的時間間隔(Δτ=5分鐘),那他的飽腹感可就迅速疊加了;等到小明吃完100個餃子時,飽腹感就會達(dá)到最大,會收到最好的效果。

    這與線性時不變系統(tǒng)對脈沖、輸入、激勵的響應(yīng)有關(guān)。小明吃餃子后會慢慢消化餃子,飽腹的感覺會在慢慢消失,但是不可能突然消失。這樣一來,只要吃餃子的時間間隔很小,每一個餃子產(chǎn)生的效應(yīng)都不會完全衰減,只是對最終的飽腹程度有不同的貢獻(xiàn)。就像系統(tǒng)突然受到一個脈沖信號(信號瞬間消失),系統(tǒng)則會在某一時刻開始緩慢的衰減,直到為0。在衰減過程中又受到了一個瞬間脈沖信號,則信號會在原來衰減的地方累加上本次脈沖信號。若上次脈沖信號完全衰減為0時,本次脈沖信號則重復(fù)上次的動作,即上次脈沖對系統(tǒng)沒有產(chǎn)生影響。

    即:n個餃子造成的飽腹感=Σ(第m個餃子給予的飽腹感*衰減系數(shù)),數(shù)學(xué)表達(dá)為:y(n)=Σx(m)h(n-m)。

    通俗地說卷積的物理意義就在于單位沖激響應(yīng)在輸入信號上的疊加,對于線性時不變系統(tǒng),只要知道該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),那么求卷積就相當(dāng)于把輸入信號的各時間間隔的響應(yīng)乘以沖激響應(yīng)后相疊加,就可以直接得到輸出信號。

    通俗的說:在輸入信號的每個位置,疊加一個單位響應(yīng),就得到了輸出信號。

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